第01讲 集合及其运算（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 4 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 5 知识点4 集合的运算性质 5 题型破译 6 题型1 元素与集合的关系 6 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 7 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 9 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 11 题型5 数集的运算 12 题型6 点集的运算 13 题型7 Venn图的运算 14 题型8 利用集合的运算结果求参数 16 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 题型9 容斥原理 19 题型10 集合的新定义问题 22 04真题溯源·考向感知 24 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 多选题 填空题 解答题 选择题1 选择题1 选择题1 考情分析： 天津卷中集合专题为热点内容，主要考查数集集合的基本运算（交、并、补），题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。考察学生对集合运算规则的理解和应用能力。 天津卷在集合的考察上注重基础知识的掌握和基本运算能力的培养，同时也会结合逻辑用语和实际问题，考查学生的综合应用能力。学生在备考时应重点掌握集合的基本运算规则和表示方法，并通过大量练习提高解题速度和准确率。 复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 自主检测（2023.和平三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由，可得，，故， 故选：B 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测 1．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 2．（24-25高三上·第一百中学二月考）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，即可判断. 【详解】解：因为， ，所以. 故选：B. 3．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 4．（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 /CUA 自主检测 已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，. 故选：C. 知识点4 集合的运算性质 1. 集合的交集和并集满足交换律，即 和 。 2. 集合的交集和并集满足结合律，即 和 。 3. 集合的交集和并集满足分配律，即 和 。 4. 集合的交集和并集满足幂等律，即 和 。 5. 集合的并集和空集满足单位律，即 和 。 6. 集合的并集和补集满足补集律，即 和 。 7. 集合的补集与并集、交集之间的关系，即 和 。 8. 集合的并集和交集满足吸收律，即 和 。 9. 集合的补集的补集等于原集合，即 。 10. 集合的并集和交集满足泛界律，即 和 。 11. 任何集合与自身相等，即 12. 如果 且 ，则 13. 如果 ，则 则 14. 集合的交集和并集满足分配律，即 和 自主检测 1．（22高三·天津47中·线上练习）设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁UM），然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为N∩（∁UM）， ∵， ∴∁UM＝， 即N∩（∁UM）＝ 故选C． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集及交集的运算结果求出. 【详解】全集，， 则， 所以. 故选：D 3．（2023·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解； 【详解】因为，， ∴，， ∴，中元素个数为4个， 故选：B． 4．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）已知全集,集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合,集合,从而得到,由此能求出. 【详解】集合 集合,所以或 所以 故选: . 5．（2020·天津宁河·一模）已知R为实数集，A＝{x|x2﹣1≤0}，B＝{x|≥1}，则A∩(∁RB)＝（　　） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤0或x＝1} 【答案】C 【解析】由集合的不等式描述求集合A、B，根据集合的交补运算求A∩(∁RB)即可. 【详解】∵R为实数集，A＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|≥1}＝{x|0＜x≤1}， ∴∁RB＝{x|x≤0或x＞1}， ∴A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x≤0}． 故选：C． 6．（2018·浙江台州·三模）设全集是实数集，或，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】：首先解一元二次不等式，求得集合N，应用补集的定义求得集合M，再结合交集定义求得，从而求得结果． 【详解】： 由于，所以，，所以，故选C． 【点睛】：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合中元素的特征，从而求得结果． 题型1 元素与集合的关系 例1-1（2024.天津七中．高一10月月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中的元素满足互异性，即可分类讨论求解. 【详解】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 例1-2（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可. 【详解】由知：， 当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 当，即或， 若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合； 若，则，，满足要求. 综上，. 故选：A 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． （3）常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般根据题目得出所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数． 【变式训练1-1】1．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是集合的元素，所以，故①正确； 对于②：因为是集合的元素，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以与之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，则，故⑤对； 综上所述：正确的个数为3. 故选：C. 【变式训练1-2】（19-20高三上·天津和平·期末）设集合，，则集合等于 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合B定义，确定大小关系，再用列举法依次写出结果，最后对照选择. 【详解】 因此 从而，故选B. . 【变式训练1-3】（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【详解】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 题型2 集合中元素的特征 例2-1（24-25高一上·天津一中滨海学校·阶段练习）已知，若集合，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可． 【详解】根据题意，，故，则， 则,0,,,，由集合的互异性知且， 故,0,,,，则，即或（舍， 当，时，,0,,,，符合题意， 所以． 故选：A． 例2-2（2020·天津静海·高一期中）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【变式训练2-2·变考法】设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 【变式训练2-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）若集合，则满足的实数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交集的结果求出的值即可. 【详解】由，得，则， 由，得，于是或，则或， 所以实数a的个数为2. 故选：A 题型3 集合间的基本关系 例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 例3-4（24-25高二下·天津市第25中学·期中）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练3-1】（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ；若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】利用空集的意义列式求a的范围；利用交集的结果，借助集合的包含关系求出a的范围. 【详解】由，得，解得，所以实数a的取值范围是； 由，得， 【变式训练3-2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 故选：AC. 【变式训练3-3】（20-21高一上·天津静海·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集； ②若，则有2个； ③集合，集合中所有元素之和为； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①根据空集的定义，可知{0}不是空集，可判断是否正确； ②由，可知集合中一定有1，从而可得出的可能情况，即可判断是否正确；③集合，可判断是否正确；④集合，是有限集，可判断是否正确． 【详解】解：①空集是不含任何元素的集合，所以不是空集，故①不正确； ②若，则集合中一定有1，所以集合的可能为： ，即有3个，故②不正确； ③集合，则， 所以集合中所有元素之和为：，故③正确； ④集合，是有限集，故④正确； 所以正确的命题的个数是2个. 故选：C． 题型4 （真）子集的个数 例4-1（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】化简集合，将题目等价转换为求已知集合的子集个数即可求解. 【详解】集合， ， 而题目等价于求的子集的个数，故所求为. 故选：D. 例4-2（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】D 【分析】先求出分式不等式及一元二次不等式的解集，求出，然后求其真子集个数即可. 【详解】等价于，所以，所以， 解得，所以， 所以，所以的真子集个数为. 故选：D 【变式训练4-2·变载体】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 例4-3（24-25高二下·天津河北·阶段练习）设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）. 【答案】24 【分析】根据条件且，即可确定集合的元素取值情况，然后确定集合P的个数即可． 【详解】集合的子集有：共个； 又，， 所以不能为：，共8个， 则满足且的集合的个数是． 故答案为：． 例4-4（24-25高一上·天津河西·期中）已知集合，，则的子集个数为 ． 【答案】 【分析】先求得，进而求得子集的个数. 【详解】依题意，， 所以，一共个元素，子集的个数为个. 故答案为： 例4-5（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，则满足的集合个数为 【答案】 【分析】利用常用数集的定义化简集合，再由条件得到集合为集合的真子集，从而得解. 【详解】因为，， 所以的取值为，即的取值为， 所以，有6个元素， 又，即集合为集合的真子集， 所以集合个数为. 故答案为：. 例4-6（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设集合A={a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有 个． 【答案】3 【分析】求得集合元素的个数，由此求得的真子集的个数. 【详解】， 由于，所以， 集合有个元素，其真子集的个数为个. 故答案为： 题型5 数集的运算 例5-1（11-12高三·天津·开学考试）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用集合并集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 例5-2（20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知全集，集合． (1)当m=3时，求与； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)A∩B=[2，4]； (2) (3) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得和. （2）根据列不等式组，由此求得的取值范围. （3）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由得，解得，所以． 当m=3时，，或， 所以A∩B=[2，4]，. （2）由（1）知，或， 若，则有， 解得. （3）因为，所以B A， 当B=时，则，所以， 当B≠时，即时，则， 解得, 综上所述，的取值范围是． 例5-3（20-21高三上·天津·阶段练习）已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据并集的定义计算可得； （2）由，可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】解：（1）因为，所以， 或. 当时， 所以或. 所以或. （2）因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得， 解得. 综上，实数的取值范围是. 求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。主要考查了利用集合的运算求参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力. 重点· 例5-4（20-21高三上·天津南开·开学考试）已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先求得集合，再由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，即， 又由集合 当时，即，解得，此时符合题意； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围. 例5-5（20-21高三上·天津南开·开学考试）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合．求： (1)集合; (2)． 【答案】(1) ;; (2) ;. 【分析】(1)求函数f(x)的定义域求得A,求函数g(x)的定义域求得B． (2)根据两个集合的交集的定义求得,再根据两个集合的并集的定义求得,再根据补集的定义求得． 【详解】(1)由，得，∴． 由,得,∴． (2) ,, ∴. 【点睛】本题结合函数定义域，考查集合的运算，属于基础题. 例5-6（高三上·天津静海·阶段练习）已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为，全集， 求使的实数的取值范围. 【答案】. 【详解】试题分析：求解不等式得到集合,进而得到,通过利用指数函数的单调性解，可得到集合,再利用可得到实数的取值范围. 试题解析：由解得，. 所以. 由得，即，解得. 所以. 因为，所以，故有. 即的取值范围是. 考点：1.指数函数的单调性；2.集合间的运算；3.绝对值不等式. 题型6 点集的运算（选讲） 例6-1已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程组，解得，则. 故选：C． 例6-2（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 【变式训练6-1】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 故， 故选：C 【变式训练6-2】已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】由，得或或或 . 故答案为： 题型7 Venn图的运算 例7-1（23高三下·天津第二十中学·期中）已知全集，集合1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A． B．1， C．2， D．1，2， 【答案】C 【分析】先求出集合A，B，从而得到，图中阴影部分表示的集合为，由此能求出结果． 【详解】集合1，2，3，4，5，，或，．图中阴影部分表示的集合为2，．故选C． 【点睛】本题考查阴影部分表示的集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例7-2（17高三·天津河北·二模）已知全集为，若集合，集合，则图中阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，由图可知阴影部分表示的为，从而可求得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的为， 因为或， 所以， 因为， 所以， 故选：A 例7-3（24高三下·耀华中学·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， 阴影部分为. 故选：B 例7-4（23高三上·实验中学·9月统练）设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式可求得集合，再由图中阴影部分利用集合的基本运算即可求得结果. 【详解】解集合对应的不等式可得，即； 易知图中阴影部分对应的集合可表示为， 由可得， 因此，即图中阴影部分对应的集合为. 故选：D 例7-5（25·天津四中·统练）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 例7-6（25高三·实验中学）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分表示的集合为，故求出后可求交集. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为，，则或， 则， 故选：A. 例7-7（25高三·天津河北·质检）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得. 【详解】由图知阴影部分表示的集合是, 因，， 则，故. 故选：D. 题型8 利用集合的运算结果求参数 例8-1（23高三上·杨村三中·阶段练习）已知集合，或. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】(1)根据两个集合交集运算性质即可解得; (2) “”是“”的充分不必要条件即，然后求解出集合B的补集，根据集合间的关系列出关于a的不等式即可解得范围. 【详解】（1）当时，，又或， 或 （2）或， . 由“”是“”的充分不必要条件，得，. 又， ， 即实数的取值范围是. 【点睛】：本题考查了集合交集的运算、利用集合间的关系求解参数的范围，属于中档题目，解题中需要准确的将充分条件和必要条件的关系转化为集合间的关系. 例8-2设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式训练8-1】设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 【变式训练8-2·变考法】已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 【变式训练8-3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，或， 由得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 题型9 容斥原理（选讲） 例9-1高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 例9-2（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    【点睛】本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 【变式训练9-1】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 【变式训练9-2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 【变式训练9-3】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【答案】A 【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故选：A. 题型10 集合的新定义问题（选讲） 例10-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 例10-2给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】ABD 【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误. 【变式训练10-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 【变式训练10-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 【变式训练10-3·变考法】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 3．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 4．（2005·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】因为或， 或， 所以. 故选：D. 5．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 1．（人教2019A版·选择性必修三·二项式定理）若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？ 【答案】 【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案. 【详解】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集. 2．（人教2019A版·必修一·习题1.2·综合运用）在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【答案】DC 【解析】集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【详解】集合表示直线与直线交点的集合， 即. DC 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 3．（人教2019A版·必修一·习题1.2·拓广探索）请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示.    【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 4．（人教2019A版·必修一·习题1.2·综合运用）举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【答案】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【解析】根据子集的定义写出一个子集即可. 【详解】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 5．（人教2019A版·必修一·习题1.2·复习巩固）指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【答案】DCBA，Venn图见解析. 【分析】根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案. 【详解】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 6．（人教2019A版·必修一·练习1.2）判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】(1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【详解】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故. (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型. 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合及其运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 元素与集合 3 知识点2 集合的基本关系 4 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 5 知识点4 集合的运算性质 5 题型破译 6 题型1 元素与集合的关系 6 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 集合中元素的特征 7 【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点 题型3 集合间的基本关系 9 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 【易错分析】易忽略集合为空集 题型4 （真）子集的个数 11 题型5 数集的运算 12 题型6 点集的运算（选讲） 13 题型7 Venn图的运算 14 题型8 利用集合的运算结果求参数 16 【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法 题型9 容斥原理（选讲） 19 题型10 集合的新定义问题（选讲） 22 04真题溯源·考向感知 24 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 多选题 填空题 解答题 选择题1 选择题1 选择题1 考情分析： 天津卷中集合专题为热点内容，主要考查数集集合的基本运算（交、并、补），题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。考察学生对集合运算规则的理解和应用能力。 天津卷在集合的考察上注重基础知识的掌握和基本运算能力的培养，同时也会结合逻辑用语和实际问题，考查学生的综合应用能力。学生在备考时应重点掌握集合的基本运算规则和表示方法，并通过大量练习提高解题速度和准确率。 复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 知识点1 元素与集合 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作 ； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 自主检测（2023.和平三模）设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 知识点2 集合的基本关系 文字语言 符号语言 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 自主检测 1．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·第一百中学二月考）已知集合，，则（ ） 3．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 知识点3 集合的交集、并集、补集运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 /CUA 自主检测 已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 集合的运算性质 1. 集合的交集和并集满足交换律，即 和 。 2. 集合的交集和并集满足结合律，即 和 。 3. 集合的交集和并集满足分配律，即 和 。 4. 集合的交集和并集满足幂等律，即 和 。 5. 集合的并集和空集满足单位律，即 和 。 6. 集合的并集和补集满足补集律，即 和 。 7. 集合的补集与并集、交集之间的关系，即 和 。 8. 集合的并集和交集满足吸收律，即 和 。 9. 集合的补集的补集等于原集合，即 。 10. 集合的并集和交集满足泛界律，即 和 。 11. 任何集合与自身相等，即 12. 如果 且 ，则 13. 如果 ，则 则 14. 集合的交集和并集满足分配律，即 和 自主检测 1．（22高三·天津47中·线上练习）设全集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知全集，若，则集合（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）已知全集,集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020·天津宁河·一模）已知R为实数集，A＝{x|x2﹣1≤0}，B＝{x|≥1}，则A∩(∁RB)＝（　　） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤0或x＝1} 6．（2018·浙江台州·三模）设全集是实数集，或，，则 A． B． C． D． 题型1 元素与集合的关系 例1-1（2024.天津七中．高一10月月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 例1-2（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 判断元素与集合关系 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． （3）常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般根据题目得出所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数． 【变式训练1-1】1．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练1-2】（19-20高三上·天津和平·期末）设集合，，则集合等于 A． B． C． D．. 【变式训练1-3】（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 题型2 集合中元素的特征 例2-1（24-25高一上·天津一中滨海学校·阶段练习）已知，若集合，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 例2-2（2020·天津静海·高一期中）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2-2·变考法】设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【变式训练2-3】（24-25高一上·天津·阶段练习）若集合，则满足的实数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3 集合间的基本关系 例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3-4（24-25高二下·天津市第25中学·期中）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 易错分析 易忽略集合为空集 注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性. 【变式训练3-1】（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ；若，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练3-2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练3-3】（20-21高一上·天津静海·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集； ②若，则有2个； ③集合，集合中所有元素之和为； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 （真）子集的个数 例4-1（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4-2（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【变式训练4-2·变载体】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 例4-3（24-25高二下·天津河北·阶段练习）设集合，，则满足且的不同集合的个数是 （结果用数字表示）. 例4-4（24-25高一上·天津河西·期中）已知集合，，则的子集个数为 ． 例4-5（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，则满足的集合个数为 例4-6（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设集合A={a|a2–a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有 个． 题型5 数集的运算 例5-1（11-12高三·天津·开学考试）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 例5-2（20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知全集，集合． (1)当m=3时，求与； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 例5-3（20-21高三上·天津·阶段练习）已知集合，. （1）若，求集合，集合； （2）若，求实数的取值范围. 求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。主要考查了利用集合的运算求参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力. 重点· 例5-4（20-21高三上·天津南开·开学考试）已知集合，，且，求实数的取值范围． 例5-5（20-21高三上·天津南开·开学考试）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合．求： (1)集合; (2)． 例5-6（高三上·天津静海·阶段练习）已知不等式的解集为，关于的不等式的解集为，全集，求使的实数的取值范围. 题型6 点集的运算（选讲） 例6-1已知集合，则（ ） A． B． C． D． 例6-2（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式训练6-1】若集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知集合，，则 ． 题型7 Venn图的运算 例7-1（23高三下·天津第二十中学·期中）已知全集，集合1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A． B．1， C．2， D．1，2， 例7-2（17高三·天津河北·二模）已知全集为，若集合，集合，则图中阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 例7-3（24高三下·耀华中学·二模）设全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）      A． B． C． D． 例7-4（23高三上·实验中学·9月统练）设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（    ） A． B． C． D． 例7-5（25·天津四中·统练）已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 例7-6（25高三·实验中学·统练）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 例7-7（25高三·天津河北·质检）如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型8 利用集合的运算结果求参数 例8-1（23高三上·杨村三中·阶段练习）已知集合，或. （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围. 例8-2设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 （1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 （2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 【变式训练8-1】设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2·变考法】已知集合和，满足，，则实数 ． 【变式训练8-3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9 容斥原理（选讲） 例9-1高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 例9-2（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【变式训练9-1】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【变式训练9-3】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 题型10 集合的新定义问题（选讲） 例10-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 例10-2给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【变式训练10-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练10-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3·变考法】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2005·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（人教2019A版·选择性必修三·二项式定理）若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？ 2．（人教2019A版·必修一·习题1.2·综合运用）在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 3．（人教2019A版·必修一·习题1.2·拓广探索）请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 4．（人教2019A版·必修一·习题1.2·综合运用）举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 5．（人教2019A版·必修一·习题1.2·复习巩固）指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 6．（人教2019A版·必修一·练习1.2）判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$