第05讲 指数与指数函数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 指数与指数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 4 知识点2 根式的概念和运算法则 4 知识点3 分数指数幂的概念和运算法则 5 知识点4 有无理数指数幂的运算 6 知识点5 指数函数的概念 7 知识点6 指数函数的图象及性质 7 知识点7 指数函数底数变化与图像分布规律 8 题型破译 9 题型1 利用根式的性质化简或求值 9 题型2 有限制条件的根式的化简 11 题型3 利用分数指数幂的运算性质化简求值 13 题型4 指数函数的定义域、值域 15 题型5 指数复合函数的单调性及其应用 17 题型6 比较指数幂的大小 20 题型7 解指数型不等式 22 题型8 根据分段函数的单调性求参数 23 04真题溯源·考向感知 26 05课本典例·高考素材 29 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）判断指数函数的单调性 （2）根据分段函数的单调性求参数 （3）指数型复合函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第7题，5分 天津卷，第5题，5分 天津卷，第3题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的命题载体内容，通常会结合实际应用及一次分段函数综合考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、比较指数幂的大小。 复习目标： 1.要注意上述等式在形式上的联系与区别. 2.计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误 3.当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． 4.指数式大小比较方法 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 自主检测下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：B. 知识点2 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，；（2） ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 自主检测式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【详解】 故选：A. 知识点3 分数指数幂的概念和运算法则 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 自主检测十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A不正确； 由，所以选项B不正确； 由，所以选项C正确； 当时，显然不成立，所以选项D不正确， 故选：C 知识点4 有无理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 自主检测下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用指对数的运算性质化简求值判断各项正误. 【详解】，A对； ，B对； ，C对； ，D错. 故选：D 知识点5 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 自主检测若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 知识点6 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 自主检测函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性，结合对应函数值符号及排除法，即可得答案. 【详解】由题意，函数定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、B； 当，则恒成立，排除D. 故选：C 知识点7 指数函数底数变化与图像分布规律 1、指数式大小比较方法 （1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法 （3）分类讨论法 （4）比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判 断，或即可． 2、简单指数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解． 自主检测设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小. 【详解】因为， 则. 故选：B. 题型1 利用根式的性质化简或求值 例1-1（2025·天津蓟州·联考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的运算性质及指数，对数的运算性质即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 例1-2已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 方法技巧 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式训练1-1·变考法】）下列函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同一函数的定义判断. 【详解】的定义域为R， A. ，且定义域为R，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A 【变式训练1-2】（2025·天津滨海新·调研）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据根式的性质可知A不正确；根据指数幂的运算性质计算可知B不正确；根据对数的性质可知C不正确；根据对数的运算法则计算可知D正确. 【详解】因为为奇数，所以，故A不正确； ，故B不正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：D 【变式训练1-3】 . 已知，则化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的运算性质即可得出． 【详解】解：原式． 故选：B． 题型2 有限制条件的根式的化简 例2-1已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 例2-2（2025·天津·开学考试）已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，则， 则. 故选：D. 方法技巧 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式训练2-1·变考法】若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数运算性质结合指数式与对数式的互化求出，再代入计算作答. 【详解】因为，则，因此， 所以. 故选：C 【变式训练2-2】（2024·天津·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数与指数式的互化公式，结合对数的运算公式、指数与对数恒等式进行求解即可. 【详解】因为，所以．因为， 所以， 故． 故选：C 【变式训练2-3】已知，则am＋2n等于(　　) A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】先把对数式化为指数式，然后再根据幂的运算性质求出结果． 【详解】∵， ∴am＝，an＝3. ∴am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝． 故选D． 题型3 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例3-1（2025·天津·联考）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【详解】因为，所以. 故选：D. 例3-2设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数幂的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A. 方法技巧 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式训练3-1·变载体】若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误. 【详解】A：，对； B：，错； C、D：由对数的运算性质有、，错. 故选：A 【变式训练3-2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式训练3-3】已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】A 【分析】将根式都整理为分数指数幂形式，构建以为指数的幂函数，由其指数大于1单调递增判定，同理判定；对于，对其分数指数幂取对数，再令特值，代值比较大小可得，综上既得答案. 【详解】有题意知，， 因为幂函数中，函数在上单调递增， 因为，所以，即，同理， 对于分别取对数得， 不妨设，则， 其中，易得，则， 综上所述，. 故选：A 题型4 指数函数的定义域、值域 例4-1如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得为奇函数，有，再由图象得函数的定义域为，结合图象即可判断各选项. 【详解】由题意得为奇函数，即，定义域为， A，由定义域为，不符合，错误； B，由定义域为，且， 但趋向于，趋向于，不符合图象，错误； C，由定义域为，且， 但在上恒成立，不符合图象，错误； D，由定义域为，且，符合图象，正确. 故选：D. 例4-2（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 方法技巧 求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义． 【变式训练4-1】若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 【变式训练4-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 【变式训练4-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的值域可化简集合A，根据指数函数的值域化简集合B，然后利用集合交集的运算求解即可， 【详解】因为时，，所以集合， 因为时，，所以集合， 所以， 故选：A， 题型5 指数复合函数的单调性及其应用 例5-1函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 例5-2（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可. 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 方法技巧 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式训练5-1·变考法】（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练5-2·变考法】（2025·天津·联考）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为定义在上的偶函数，且在内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，可得， 若，则，可得， 可知为定义在上的偶函数，可得， 又因为当时，在内单调递增，且， 可得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C. 【变式训练5-3】下列函数是偶函数且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案． 【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，不合题意； 对于B，的定义域为，，则为偶函数， 在上，为增函数，符合题意； 对于C，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意； 对于D，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意． 故选：B． 题型6 比较指数幂的大小 例6-1（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 例6-2（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 方法技巧 在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断． 【变式训练6-1·变考法】（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 【变式训练6-2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论. 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 题型7 解指数型不等式 例7-1（2025·天津蓟州·调研）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性解不等式分别求出集合，再求交集即可. 【详解】集合， 集合， 则. 故选：A. 例7-2（2025·天津·联考）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知a的取值范围. 【详解】因为，所以， ∴，即对恒成立， ∵， ∴恒成立， 当时，有最小值-4， ∴， 故选：A 方法技巧 利用指数函数的单调性求解 【变式训练7-1】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数函数及指数函数的性质得到，即可判断. 【详解】因为，则由，可得，所以， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式训练7-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】，所以， ， 所以. 故选：D 【变式训练7-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合A，B，然后即可得出答案. 【详解】，所以， ，所以， 所以，所以， 故选：D. 题型8 根据分段函数的单调性求参数 例8-1（2025·天津·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 例8-2已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断函数的单调性，再根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解不等式组即可求解 【详解】因为对任意，都有成立， 所以函数在R上单调递减， 所以，即 解得， 故选：B. 方法技巧 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 【变式训练8-1】设函数则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数对应的不等式，分类讨论建立不等式，分别求得解集后再求交集. 【详解】当时，， 因为，所以，即，因为，所以； 当时，，所以，所以. 综上，，即. 故选：B. 【变式训练8-2】已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 【变式训练8-3】若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可. 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 6．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 7．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 8．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 1.已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)存在实数，使函数为奇函数 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （2）利用函数奇偶性的性质即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数， 则为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，则,， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）假设存在实数a，使为奇函数，则， 所以，解得， 当时，，其定义域为， 所以，则为奇函数， 故存在实数，满足题意. 2.判断下列结论是否正确： (1)若，则； (2)若，则； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确 (4)正确 (5)不正确 【分析】结合对数、指数互换运算、幂运算即可求解. 【详解】（1）若，则；故结论不正确. （2）若，则；故结论不正确. （3）因为，则； 故结论不正确. （4）因为，则；故结论正确. （5）因为，则； 故结论不正确. 3.对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 【答案】(1)图见解析，交点个数为2 (2)见解析 【分析】（1）画出函数图象，观察图象即可得出交点个数，并且分析和时没有交点. （2）构造函数，通过证明当时，即可证明当时，比增长得快. 【详解】（1）     由图可知，两函数图象在第一象限内有两个交点，故交点个数为2， 且随着增大，的值总大于的值，两图象再无交点， 当时，，所以此时两函数图象也没有交点， 综上所述：两函数图象共有两个交点. （2）由图可知当时，比增长得快， 不妨设，求导得， 继续对求导得，再求导得， 因为， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 因此当时，比增长得快. 4.已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可； （2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）把，代入， 得，结合且，解得， 所以. （2）由（1）知可化为， 故在上恒成立， 则在上的最小值不小于. 由指数函数的单调性可知函数在上为减函数， 所以当时，有最小值2，故， 故的取值范围为. 5.求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】最大值为9；最小值为. 【分析】令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：令， 则原函数转化为， 当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 6.（1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？ （2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的性质”，谈谈你对该观点的看法．    【答案】（1）答案见解析；（2）看法见解析. 【分析】（1）根据指数函数的性质分析即得. （2）数形结合即可解释. 【详解】（1）根据指数函数的图象知，指数函数的定义域为R；值域为；图象都过点； 当时，函数在R上单调递减，当时，函数在R上单调递增； 当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则； 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称； 几个指数函数图象在y轴右侧，具有底数越大，图象越高的特点. （2）因为指数函数的图象直观地反映了指数函数的性质，所以理解了指数函数的图象就掌握了指数函数的性质. 7.已知函数，且，求实数a的值． 【答案】 【分析】根据题意先依次求得，，再利用指数函数的性质判断得，从而得解. 【详解】因为，所以， 又，故， 又在上恒成立，所以， 故，则. 8.已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 故可得. 9.求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的性质即可得解； （2）利用二次函数的性质与指数函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由于，则， 故的值域为. （2）当时，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 则，又为减函数， 所以的值域为，即. 10.已知下列不等式成立，比较m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且） 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为在上单调递增， 又，所以； （2）因为在上单调递减， 又，所以； （3）当时，在上单调递减， 又且，所以； 当时，在上单调递增， 又且，所以. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 指数与指数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 4 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 4 知识点2 根式的概念和运算法则 4 知识点3 分数指数幂的概念和运算法则 5 知识点4 有无理数指数幂的运算 5 知识点5 指数函数的概念 6 知识点6 指数函数的图象及性质 6 知识点7 指数函数底数变化与图像分布规律 7 题型破译 8 题型1 利用根式的性质化简或求值 8 题型2 有限制条件的根式的化简 8 题型3 利用分数指数幂的运算性质化简求值 9 题型4 指数函数的定义域、值域 10 题型5 指数复合函数的单调性及其应用 11 题型6 比较指数幂的大小 12 题型7 解指数型不等式 12 题型8 根据分段函数的单调性求参数 13 04真题溯源·考向感知 14 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）判断指数函数的单调性 （2）根据分段函数的单调性求参数 （3）指数型复合函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第7题，5分 天津卷，第5题，5分 天津卷，第3题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的命题载体内容，通常会结合实际应用及一次分段函数综合考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、比较指数幂的大小。 复习目标： 1.要注意上述等式在形式上的联系与区别. 2.计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误 3.当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． 4.指数式大小比较方法 知识点1 整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 自主检测下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为_______时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为_______时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，；（2） ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 自主检测式子的值为（    ） A． B． C． D．1 知识点3 分数指数幂的概念和运算法则 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成_______，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 自主检测十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 有无理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1）（2）（3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为_______指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 自主检测下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点5 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 自主检测若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 知识点6 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度_______． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 自主检测函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 知识点7 指数函数底数变化与图像分布规律 1、指数式大小比较方法 （1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法 （3）分类讨论法 （4）比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判 断，或即可． 2、简单指数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的_______求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解． 自主检测设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型1 利用根式的性质化简或求值 例1-1（2025·天津蓟州·联考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例1-2已知，则（   ） A． B．1 C． D． 方法技巧 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 【变式训练1-1·变考法】）下列函数与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2025·天津滨海新·调研）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】 . 已知，则化为（    ） A． B． C． D． 题型2 有限制条件的根式的化简 例2-1已知，则（    ） A． B． C． D． 例2-2（2025·天津·开学考试）已知，则（   ） A． B．6 C．8 D．9 方法技巧 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 【变式训练2-1·变考法】若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练2-2】（2024·天津·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知，则am＋2n等于(　　) A．3 B． C．9 D． 题型3 利用分数指数幂的运算性质化简求值 例3-1（2025·天津·联考）设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 例3-2设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 【变式训练3-1·变载体】若，，则下列式子一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 题型4 指数函数的定义域、值域 例4-1如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 例4-2（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 方法技巧 求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义． 【变式训练4-1】若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练4-2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型5 指数复合函数的单调性及其应用 例5-1函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例5-2（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 【变式训练5-1·变考法】（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-2·变考法】（2025·天津·联考）已知函数，若实数a满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】下列函数是偶函数且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 题型6 比较指数幂的大小 例6-1（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 例6-2（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 方法技巧 在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断． 【变式训练6-1·变考法】（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型7 解指数型不等式 例7-1（2025·天津蓟州·调研）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 例7-2（2025·天津·联考）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 方法技巧 利用指数函数的单调性求解 【变式训练7-1】若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型8 根据分段函数的单调性求参数 例8-1（2025·天津·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例8-2已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 方法技巧 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 【变式训练8-1】设函数则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 8．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 1.已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 2.判断下列结论是否正确： (1)若，则； (2)若，则； (3)； (4)； (5)． 3.对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 4.已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 5.求函数在区间上的最大值和最小值． 6.（1）从图中你能抽象出指数函数的哪些性质？ （2）有的同学认为“理解了此图就掌握了指数函数的性质”，谈谈你对该观点的看法．    7.已知函数，且，求实数a的值． 8.已知，，求的值． 9.求下列函数的值域： (1)； (2)． 10.已知下列不等式成立，比较m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$