精品解析：江西省新余市第四中学2025-2026学年九年级上学期10月阶段性检测数学试题

2025—2026学年度初三上学期数学阶段测试 一、选择题 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标． 【详解】∵y＝−3（x＋1）2＋2， ∴顶点为（−1，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键． 2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.熟知二者的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上，则m、n的大小关系是（ ） A. m＜n B. m=n C. m＞n D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】把A,B坐标代入即可比较． 【详解】∵点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上 ∴m=，n= ∴m＜n 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的函数值大小，解题的关键是熟知二次函数坐标的特点． 4. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图象知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 5. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 二、填空题 7. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 【答案】1 【解析】 【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把x＝代入方程得， 解得m＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数图像的平移规律"上加下减，左加右减”进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2的图象向下平移3个单位所得函数图象的解析式式是：y=2x2-3；由“左加右减”的原则可知，再向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式y=2（x+2）2-3． 故答案为y=2（x+2）2-3． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，掌握函数图象平移的法则是解答本题的关键． 9. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境．设这次聚会的同学共人，则每人需和除自己外的个人握手，而两个人之间仅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这次聚会的同学共有人， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，， ， ，即这次参加聚会的人数为． 故答案为：． 10. 在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1．小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是，1和两个根是5，，得出，，从而得出符合题意的方程． 【详解】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：，， 则以α、β为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 11. 某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的条件、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先说明“美丽三角形”是直角三角形，然后分为斜边和直角边两种情况，分别运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是的中线，且为“美丽三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图：当为斜边时， 设点， ∵， ∴，， ， ∵为“美丽三角形”，即直角三角形， 当时， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或； 如图：当为直角边，时，， ∴，解得：； ∴ 如图：当为直角边，时，点P不在边上，不符合题意． 故答案为：或或． 三、解答题 13. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 。 ， ∴，． 14. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程：的一个解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、解一元二次方程等知识，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 先由分式混合运算化简得到，再解一元二次方程，根据分式分母不为零得到，代入化简后的式子计算即可得到答案． 【详解】解： ， 解方程得：，， 分式分母不能为零， ， 把代入． 15. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式； （2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：抛物线与直线交于点和， 联立，整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 点在第三象限，点在第一象限， ，． 16. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的三角形； （2）将三角形、、绕坐标原点逆时针旋转，画出图形，直接写出的对应点的坐标． 【答案】（1） △A´B´C´就是所求的三角形； （2）如图； 【解析】 【分析】(1) 根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A´、B´、 C´的位置，然后顺次连接即可； (2)根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标． 【详解】（1）先找出点A、B、C关于原点对称的点A´、B´、C´，再连接A´B´、A´C´、B´C´； （2）找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁，△A₁B₁C₁就是所求的三角形，其中B的对应点B₁(0,-6) 【点睛】本题考查了关于中心对称和旋转的性质．利用关于原点对称作图，关键是根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，先描出各个关键点的对称点；画旋转后的图形，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 17. 已知抛物线y＝－x2＋2(m－1)x＋m＋1. (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若抛物线与x轴交于A，B两点，且A点在原点的右边，B点在原点的左边，求m的取值范围． 【答案】 (1)证明：∵b2－4ac＝[2(m－1)]2－4×(－1)×(m＋1)＝(2m－1)2＋7>0， ∴抛物线与x轴总有两个不同的交点． (2)m>－1 【解析】 【详解】(1)略 (2)设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1>0，x2<0， ∴x1x2＝－(m＋1)<0． ∴m>－1． 18. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果； （2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接， 当时，， ， 由得，， ， 当时，， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图， 抛物线的对称轴为：直线， 连接， 根据抛物线对称性可得：， 则， 故当三点共线，的值最大，最大值即为的长， 设直线的解析式为：， ， ， ， 当时，， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入，得出关于，的二元一次方程组． （2）要使的面积最大，则的边上的高最大． （3）以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则与其对边（或长度相等．轴，说明抛物线的对称轴是线段的垂直平分线． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于，两点， ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 令，则， 点． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时，的面积最大， 此时设过点的直线为， 联立， 消掉得，， 整理得，， ， 解得， 此时， ， 点，时，的面积最大； 【小问3详解】 假设存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 在第二象限，则轴，如图：有符合要求的两个点、，此时． 轴， 、关于对称轴对称， ， ， ，， ，． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组，把问题转化为二次方程，利用判别式解决问题，属于中考压轴题． 20. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得： ， 解得：， ∵为了让游客尽可能得到优惠， ∴， 即售价应降低元． 21. 在中，，. （Ⅰ）如图Ⅰ，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接. 求证：（1）； （2）. （Ⅱ）如图Ⅱ，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接，. （1）的结论是否仍然成立？并请你说明理由； （2）若，，求的长. 【答案】 （Ⅰ）（1）∵， ∴，即， 在和中，， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （Ⅱ）（1）的结论仍然成立， 理由：∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 即， 在与中，， ∴； （2）6. 【解析】 【分析】（Ⅰ）（1）根据旋转的性质，得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后根据SAS证明全等即可； （2）由全等的性质，得到BD=CE，然后即可得到结论； （Ⅱ）（1）与（Ⅰ）同理，即可得到； （2）根据全等的性质，得到，然后利用勾股定理求出DE，根据特殊角的三角函数值，即可求出答案. 【详解】解：（Ⅰ）（1）略． （2）略． （Ⅱ）（1）略． （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对友好方程．如2x2-7x+3=0的友好方程是3x2-7x+2=0． （1）写出一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程 ． （2）已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1=2，x2=-4，它的友好方程的两根、 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其友好方程cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． （3）已知关于x的方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1)2-bx+b=2020的两根为 ． 【答案】（1）-8x2+2x+1＝0； （2）x3＝，x4＝；互为倒数 证明：∵ 一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 友好方程cx2+bx+a=0的两根为 ∴ ． ． 即原方程的两根与友好方程的两根互为倒数． （3）x1=0，x2=2021． 【解析】 【分析】（1）根据新定义得出其“友好方程”即可； （2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得结论，根据原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出-x2+bx+2020=0，即x2-bx-2020=0的两根为x1=-1，x2=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2020=0，把x-1看做整体即可求解． 【详解】解：（1）一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程是-8x2+2x+1＝0； 故答案为：-8x2+2x+1＝0 （2略 ） （3）∵方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=， ∴该方程的“友好方程”为：-x2+bx+2020=0，即x2-bx-2020=0的两根为x1=-1，x2=2020， 则（x-1）2-bx+b=2020，即（x-1）2-b（x-1）-2020=0中x-1=-1或x-1=2020， ∴该方程的解为x1=0，x2=2021． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． 23. 如图所示，抛物线的顶点为A，直线与轴的交点为点B （1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明点A在直线上，并求的度数； （3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为 （2） （3）存在，①时，，；② 时，，；③ 时，，；④ 时，， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标． （2）将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y＝x−m上的．求的度数，可通过求的正切值来得出，根据直线的解析式可得出B点坐标，即可得出的长，的长已求出，因此可在三角形中得出的正切值．即可得出的度数． （3）本题可分成四种情况：一：：①，，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．②，，此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．二：：①，，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过的度数和即的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．②，，同①因此本题共有8个符合条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：对称轴：； 顶点：． 【小问2详解】 解：将代入函数， 得， ∴点在直线l上． 当时，， ∴， ， ∴． 【小问3详解】 解：以点P、Q、A为顶点的三角形与全等共有以下四种情况： ①当，，时， 如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为， 代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 其关于对称轴的对称点也满足条件． ②当，，时， 点P坐标为， 代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 还有关于对称轴的对称点． ③当，，时， 点P坐标为，代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有， 还有关于对称轴的对称点． ④当，，时， 点P坐标为， 代入抛物线， 得， ∵， ∴， 这时有． 还有关于对称轴对称的点． 所以当时，有点，； 当时，有点，； 当时，有点，； 当时，有点，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关知识以及全等三角形的判定，要注意（3）小题中，要分类讨论，将所有的情况都考虑到，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度初三上学期数学阶段测试 一、选择题 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上，则m、n的大小关系是（ ） A. m＜n B. m=n C. m＞n D. 不能确定 4. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A. B. 且 C. D. 且 二、填空题 7. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________． 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为_____________ 9. 在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 10. 在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1．小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是__________． 11. 某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 三、解答题 13. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 14. 先化简，再求值：，其中是一元二次方程：的一个解． 15. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 16. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的三角形； （2）将三角形、、绕坐标原点逆时针旋转，画出图形，直接写出的对应点的坐标． 17. 已知抛物线y＝－x2＋2(m－1)x＋m＋1. (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若抛物线与x轴交于A，B两点，且A点在原点的右边，B点在原点的左边，求m的取值范围． 18. 如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上． （1）求四边形的面积； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标． 20. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 21. 在中，，. （Ⅰ）如图Ⅰ，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接. 求证：（1）； （2）. （Ⅱ）如图Ⅱ，为外一点，且，仍将线段绕点逆时针旋转得到，连接，. （1）的结论是否仍然成立？并请你说明理由； （2）若，，求的长. 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对友好方程．如2x2-7x+3=0的友好方程是3x2-7x+2=0． （1）写出一元二次方程x2+2x-8=0的友好方程 ． （2）已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1=2，x2=-4，它的友好方程的两根、 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其友好方程cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论． （3）已知关于x的方程2020x2+bx-1=0的两根是x1=-1，x2=．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1)2-bx+b=2020的两根为 ． 23. 如图所示，抛物线的顶点为A，直线与轴的交点为点B （1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明点A在直线上，并求的度数； （3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $