精品解析：广西南宁市第十四中学2025-2026学年八年级上册期中数学试卷

2025～2026学年度上学期八年级数学自主测评 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择題（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 3. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 7. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. 计算的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 若的运算结果中不含的一次项，则的值等于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 10. 已知，，则的值是（ ）． A. 6 B. 7 C. 11 D. 12 11. 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，M，N分别是和上的动点，当取得最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___． 14. 如图，，，，则的度数是______． 15. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 _________． 16. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值： ，其中． 19. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴的对称图形； （2）若点是内一点，则点P关于x轴的对称点的坐标为______； （3）与关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称，则______． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 21. 阅读与思考： 【感知】已知，，求的值． 解：∵，∴，即． ∵，∴ 【探究】参考上述过程，解答下列问题： （1）若，，则______； （2）若a满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，，E，F是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．若长方形的面积为50，求图中阴影部分的面积和． 22. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B点为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，直接写出点C的坐标是 ． （2）如图2，若，D是延长线上一点，以点D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，连接，求的大小． （3）如图3，若，P、E是x轴上两动点，P在点A右边，E在O点左边，且，过点O作的垂线交的延长线于点F，连接，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期八年级数学自主测评 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择題（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为． 故选：D． 3. 一个三角形的两边长为和，第三边长为奇数，则第三边长是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第三边长为，则由三角形三边关系得不等式，再根据第三边为奇数可得答案． 【详解】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得， 即． ∵第三边长为奇数， ∴， 故选： C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，利用三角形的三边关系得到第三边的取值范围是解本题的关键． 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，计算正确； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：B． 6. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 7. 如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，计算的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出 ，进而根据 求出即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】此题考查了垂直平分线的作法和性质等知识，根据垂直平分线的性质得出 是解题关键． 8. 计算的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算；解题的关键是熟记“乘方的积等于积的乘方”． 9. 若的运算结果中不含的一次项，则的值等于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式计算，再根据运算结果中不含x的一次项得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵中不含x的一次项， ∴，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 10. 已知，，则的值是（ ）． A. 6 B. 7 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将 分解为 ，再计算 即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 11. 如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 12. 如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，M，N分别是和上的动点，当取得最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作B点关于的对称点E，过E点作交于点N，交于M，连结，此时的值最小，在中，求出即可． 【详解】解：作B点关于的对称点E，过E点作交于点N，交于M，连结， ∵，平分， ∴E点在上， ∵，此时的值最小， 由对称性可知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短距离问题，含直角三角形的性质，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 14. 如图，，，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，若，则的度数为 _________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，，再根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式等知识，解题的关键是： （1）根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则计算即可； （2）原式变形为，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】2x-3y，7 【解析】 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解：原式=（4x2-4xy+y2-2xy-y2）÷2x =（4x2-6xy）÷2x =2x-3y． 当x=2，y=-1时，原式=2×2-3×（-1）=7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 19. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴的对称图形； （2）若点是内一点，则点P关于x轴的对称点的坐标为______； （3）与关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称，则______． 【答案】（1） 如图： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （3）首先求出点A到直线的距离为，然后可得点到直线的距离也是，再计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴点A到直线的距离为， 由轴对称的性质可得点到直线的距离也是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质，找出对应点位置是解题的关键． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵在中，，， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可； （2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 【点睛】本题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 21. 阅读与思考： 【感知】已知，，求的值． 解：∵，∴，即． ∵，∴ 【探究】参考上述过程，解答下列问题： （1）若，，则______； （2）若a满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，，E，F是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．若长方形的面积为50，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）7 （2）4 （3）116 【解析】 【分析】（1）参考题意，利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设，则，，根据长方形面积，得到，再利用完全平方公式变形，得到，即，即可得到阴影部分的面积和． 【小问1详解】 解：， ，即， ， ， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：，且， ， ； 【小问3详解】 解：设， 长方形中，，， ， ，， 长方形的面积为50， ， ， ， 正方形和的面积和为， 阴影部分的面积和为116． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． 22. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2） 解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3） ；理由如下： 如图，在的延长线上找一点E，使， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【小问1详解】 略；略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B点为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，直接写出点C的坐标是 ． （2）如图2，若，D是延长线上一点，以点D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，连接，求的大小． （3）如图3，若，P、E是x轴上两动点，P在点A右边，E在O点左边，且，过点O作的垂线交的延长线于点F，连接，求证：平分． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图：作轴交的延长线于， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质可得，，从而得出，，作轴于，则，证明，得出，，求出，即可得解； （2）作轴于，则，证明，得出，，再证明为等腰直角三角形，即可得解； （3）作轴交的延长线于，先证明得出，再证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于，则， ， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，作轴于，则， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、非负数的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $