第22章 相似形（复习课件）数学沪科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了相似形的核心知识，包括相似图形定义、比例性质、相似三角形判定与性质及位似变换等，通过知识结构图将各知识点串联，清晰呈现相似与全等的联系、判定与性质的逻辑关系，帮助学生构建完整知识网络。 其特色在于分层设计复习路径，题型剖析涵盖基础判定到综合动点问题，针对训练结合实际测量情境，如利用相似解决路灯高度问题，培养几何直观与应用意识，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

单元复习课件 第22章 相似形 沪科版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握相似图形定义、相似三角形判定及性质，能准确辨析相似与全等的联系与区别； 3.会运用相似知识解决实际问题（如测量、投影），培养几何直观与逻辑推理素养，适应新中考对综合应用能力的要求。 2. 提升利用相似性质计算线段比、周长比、面积比的能力，能结合坐标与图形变换解决相似相关几何问题； 单元学习目标 相似形 基本性质 比例性质：合并性质 等比性质 比例线段 位似 相似三角形 相似形知识结构图 性质： 位似图形相似 对应边互相平行或者共线 对应点到位似中心的距离之比=相似比 定义： 相似图形 对应点连线交于一点 对应线段平行或共线 相似多边形： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形称为相似多边形 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数 平行线分线段比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 性质 对应性 周长比=相似比 面积比=相似比² 对应线段的比=相似比 判定 1.三边成比例 2.两角分别相等 3.两边夹一角 4.平行于三角形条边的直线 5.斜边和直角边成比例(Rt) 单元知识图谱 一、 相似多边形的概念 对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 2、相似多边形： 3、相似比： 相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数. 1、相似图形： 把形状相同的图形叫做相似形. 考点串讲 二、相似多边形的性质 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方. 考点串讲 三、成比例线段 1. 两条线段的比 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成=，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 2. 比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果=,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 考点串讲 三、成比例线段 3. 比例中项： 如果比例线段的内项是两条相同的线段，即=，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 4.平行线分线段成比例定理： 5.平行线分线段成比例推论： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 考点串讲 三、成比例线段 6.黄金分割： 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足=（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 考点串讲 四、相似三角形的判定 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 1、相似三角形的定义： 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF。 2、相似三角形的判定方法： 考点串讲 五、相似三角形的性质 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 考点串讲 六、图形的位似变换 1、位似图形 （1）位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 （2）利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小。 2、位似图形的性质 （1）两个位似图形一定是相似形； （2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点； （3）对应边互相平行（或在同一直线）； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 考点串讲 六、图形的位似变换 3、画位似图形 画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 4、判断位似图形的方法 首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心。 5、位似变换： 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换。 考点串讲 六、图形的位似变换 6、平面直角坐标系中的位似图形 ①在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． ②当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k； 当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k. ③当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 . 7、似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 考点串讲 题型一、相似图形的判定 D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 例1、下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） B． C． D． 解： A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； 故选：D． A． D 题型剖析 题型二、相似多边形的识别 例2、下列各组多边形中，一定相似的是           （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． ①④ 解： ①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 题型剖析 题型三、相似多边形的性质 例3．如图，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′。 (1)∠B=_______； (2)求边x，y的长度． 69° （1）解： ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′ 相似 ∴∠C=∠C’=135° ∵四边形内角和为360°，∠A=60°，∠D=96°， ∴∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-60°-96°-135°=69° 故答案为：69°。 （2）∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′ 相似 ∴ ∵AD=12, A′D′=8 ，AB=y, BC=6, B′C′=x, ∴ , 解得x=4 , y=18 题型剖析 题型三、相似多边形的性质 例4、如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，若AB=18，EF=4，FG=6，∠B=77°，∠C=83°，∠E=117°，求线段BC的长和∠H的大小. 解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH ∠B=77°，∠C=83°， ∴∠F=∠B=77°，∠G=∠C=83°，， ∵∠E=117°， ∴∠H=360°-77°-83°-117°=83°， ∵AB=18 , EF=4 ，FG=6， ∴， ∴ BC=27. 题型剖析 题型四、成比例线段 例5、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交对角线AC于点F.若AC=6，则AF的长为 ． 2 解： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD// BC, AD=BC, ∵点E是AD的中点， ∴BC=AD=2AE， ∴AE// BC， ∴ , ∴ FC=2AF , ∵ AC=6 , ∴ FC=4 , AF=2 题型剖析 题型四、成比例线段 例6、已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:6，且3a+2bx+c=26. (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． (2)解： ∵线段a,b,c,d是成比例线段， ∴bc=ad, ∴4×12=6×d, 即d=8, （1）解：a:b:c=3:2:6， ∴设a=3k，b=2k，c=6k， 又∵a+2b+c=26， ∴3k+2×2k+6k=26， 即3k+4k+6k=26， 合并同类项，得：13k=26， 系数化为1，得：k=2， ∴a=3k=3×2=6， b=2k=2×2=4， c=6k=6×2=12； 题型剖析 题型五、比例的性质 例7、若 = = = k，则k的值为 . 4或-2 解：当a+b+c≠0时， ∵ ∴ 2b+2c=ak , 2a+2c=bk , 2a+2b=ck , ∴ 2b+2c+2a+2c+2a+2b=k(a+b+c) 即4(a+b+c)=k(a+b+c) ∴ k =4 ; 当a+b+c=0时，a=-(b+c), 则k= 综上所述，k=4 或-2 题型剖析 题型五、比例的性质 例8、如图，在∆ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F。若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= . 解：∵CD=CA，过点D作DE∥CB，CD=CA，DE=DC， ∴==1，CD=CA=DE， ∴AF=EF， ∴DE=CD=AC=2CF=2， ∴ AD =AC+CD=4， ∵DE ∥CB， ∴∠CFA=∠E，∠ACB=∠D， ∵∠CAB=∠CFA， ∴∠CAB=∠E， ∴CD=CA， DE =CD, ∴CA=DE， ∴△CAB≌△DEA， ∴BC=AD=4， ∴BF=BC-CF=3. 3 题型剖析 题型六、由平行判断成比例的线段 例9、如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE的延长线与AC交于点F，则= . 解：作DH//BF交AC于H， ∵DH//BF，D是△ABC 中BC上的中点， ∴CD=BD， ∴=, ∴CH =HF， ∵DH//BF，BE是△ABD的中线， ∴AE=DE，且 ∴AF=FH， ∴AF =FH=HC， ∴AF: FC=1:2, ∴= 题型剖析 题型七、由平行截线求相关线段的长或比值 例10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5。正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 3 。 解：过点G作GH⊥AC，则：∠AHG=∠GHD=90°， ∴∠DGH+HDG=90°， ∵∠ACB=90°，AC=BC=5， ∴ AB=,∠A=∠B=45°， ∴∠AGH=45°=∠A， ∴AH =HG， 设AH=HG=x，则CH=AC-AH=5-x， ∵正方形DEFG， ∴ DG=DE,∠GDE=90°, ∴∠HDG+∠CDE=90°， ∴∠HGD=∠CDE， ∴∠C=∠GHD=90°， ∴△GHD≌△DCE， ∴CD=GH=x， ∴DH=CH-CD=5-2x 在Rt△GHD中，由勾股定理，得：GD²=DH²+GH²， ∴()²=(5-2x)²+x²，解得：x=2， ∴AH =2,CH=3, ∵∠C=∠AHD=90°, ∴HG∥ BC，∴== ∴BG=AB=×5=3 题型剖析 题型七、由平行截线求相关线段的长或比值 例11、如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为( ) A．1 B．2 C．5 D．10 解：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA , AB∥CD,AD∥BC , ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° ∵ E，F，G，H分别为各边中点， ∴ CG=DG=CD=AH, AE=AB , ∴ DG=CG=AE ∴ 四边形AECG是平行四边形， ∴ AG∥CE ,同理DF∥BH, ∴ 四边形MNPQ是平行四边形， ∵AG∥CE ,∴ ∴ DQ=PQ,同理AM=QM, ∵ DG=AH , ∠ADG=∠BAH=90°, AD=BA ∴ △ADG≌△BAH(SAS),∴∠DAG=∠ABH , ∵ ∠DAG+∠GAB=90°,∴∠ABH+∠GAB=90° ∴ ∠QMN=∠AMB=90°,同理∠AQD=90°， ∴ 平行四边形MNPQ是矩形， ∵ ∠AQD=∠AMB=90°,∠DAG=∠ABH, AD=BA,∴△ADQ≌△BAM(AAS),∴DQ=AM, 又DQ=PQ，AM=QM,∴DQ=AM=PQ=QM, ∴矩形MNPQ是正方形，在Rt△ADQ中， AD2=DQ2+AQ2,∴ 52=QM2+(2QM)2, ∴ QM2=5,∴ 正方形MNPQ的面积为5。 C 题型剖析 例12、如图，线段AB上的点C满足关系式：AC²=BC·AB，且AB=2，则AC的长为（ ） A.-1或3- B. C.-1 D.3- 题型八、黄金分割 C 解：设AC=x , 则BC=AB-AC=2-x , ∵AC2=BC∙AB ,∴x2=2(2-x), 整理得，x2+2x-4=0, 解得x=-1或x=-1(不符合题意，舍去） ∴ AC=-1 题型剖析 题型八、黄金分割 例13、 如图，在正五边形ABCDE中，连接它们的对角线，其中点C是对角线AB与对角线EG的交点，已知点C为BD的黄金分割点，BE=2，则CD的长度为（    ） A.3+ B.3- C.-1+ D．1+ 解：∵ 五边形ABCDE为正五边形 ∴ AE=BE=2,∠AEB=∠EBG==108° ,BE=BG, ∴ ∠EAB=∠EBA=36° , ∠BEG=∠BGE=, ∴ ∠DEC=108°-36°-36° =36° , ∴ ∠BDE=180°-∠BED-∠EBD=72° ∴ ∠ ECD=180°-∠DEC-∠BDE=72°，∴ BE=BD=2 ∵ 点C为线段BD 的黄金分割点，设CD=x,则BC=BD-CD=2-x ∴，化简得x2 -6x+4=0,∴ x=3± , ∵ CD<2，∴ CD=3- B 题型剖析 题型九、利用平行判定相似 例14、如图是一张三角形纸片ABC，沿BC边上的中线AD折叠，点C落在点E处，AE与BC相交于点F，若AD与AB垂直，且AB=2,AD=3，则AF的长为 ． 解：如图所示，取AC的中点M， 作射线MD交AE于点N， ∴AD为△ABC的中线， ∴D为BC的中点， ∵M为AC的中点， ∴ DM // AB， DM=AB. ∵AD与AB垂直，AB=2，AD=3， ∴∠ADM=90°,DM=AB=1, ∴AM = == , ∵三角形ABC沿BC边上的中线AD折叠， .∠DAM=∠DAN， ∠ADM=∠ADN=90°， AD= AD， :. △DAM≌△DAN(ASA), ∴ AN = AM =, DN =DM =1, ∴DM // AB， ∴== ∴AF=2FN , ∴AF=AN= 题型剖析 题型十、利用两角对应相等判定相似 例15、如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点 D 落在BC边的点 F 处. (1)求证： △ ABF ∽△ FCE； (2)若𝐹是BC中点，求的值 解：（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝐵 = ∠𝐶 = ∠𝐷 = 90°， ∴∠BAF + ∠AFB = 90°， 由折叠的性质得： ∠AFE = ∠𝐷 = 90°， ∴∠CFE + ∠AFB= 90°， ∴∠BAF = ∠CFE， 在 △ ABF和 △ FCE中， ∠𝐵 = ∠𝐶 = 90° ∠BAF = ∠CFE ， ∴ △ ABF ∽△ FCE 题型剖析 题型十、利用两角对应相等判定相似 例15、如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点 D 落在BC边的点 F 处； (1)求证： △ ABF ∽△ FCE； (2)若𝐹是BC中点，求的值 （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B = 90°，AD = BC， 设AD = BC = 2𝑥(𝑥 > 0)， ∵F是BC中点， ∴BF =BC = 𝑥， 由折叠的性质得：AF = AD = 2𝑥， 在Rt △ ABF中， AB = =， ∴= = 题型剖析 题型十、利用两角对应相等判定相似 例16、依据下列条件不能判断 △ ABC和 △ DEF相似的是（ ） A．∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60° B．∠A= ∠E = 45°，AB = 12 cm，AC = 15 cm，ED = 20 cm，EF= 16 cm C．∠A = ∠D= 45°，AB = 12 cm，AC = 15 cm，ED = 16 cm，EF = 20 cm D．AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm 选项 A： ∵ ∠A = 40°，∠B = 80°， ∴ ∠C = 180°−∠A−∠B = 60°， ∴ ∠C = ∠F． 又 ∵ ∠B = ∠E，∴△ ABC ∽△DEF， 故此选项不符合题意； 选项 B： ∵ AB = 12 cm，AC = 15 cm，ED= 20 cm，EF = 16 cm，∴ 又 ∵ ∠A = ∠E，∴△ ABC ∽△ EFD， 故此选项不符合题意； 选项 C： ∵ AB = 12 cm，AC = 15 cm，ED = 16 cm，EF = 20 cm，∴= 又 ∵ ∠A = ∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项 D： ∵ AB = 1 cm，BC = 2 cm， CA = 1.5 cm，DE = 6 cm， EF= 4 cm，FD= 8 cm， ∴===，∴△ ABC ∽△ EFD， 故此选项不符合题意．故选 C． C 题型剖析 题型十一、相似三角形的判定 例17、如图，点 D、E 分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点 O，AD ∙AB = AE∙AC，DF∥BE.求证： △ ADF∽△ ACD. 证明： ∵ AD ∙AB = AE∙AC， ∴ = ， ∵ ∠EAB = ∠DAC， ∴△ ADC ∽△ AEB， ∵ DF∥BE， ∴△ ADF ∽△ ABE， ∴△ ADF ∽△ ACD． 题型剖析 题型十一、相似三角形的判定 例18、如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE = 3，EC = 6，CF = 2. 求证： △ ABE∽△ ECF. 解： ∵ BE = 3，EC = 6， ∴ BC = 9， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB = CB = 9，∠B = ∠C = 90°， ∵ = = ， = ， ∴ = 又 ∵ ∠B = ∠C = 90°， ∴△ ABE∽△ ECF． 题型剖析 题型十二、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 例19、如图，在 △ ABC中，点D在线段AB上，添加一个条件，使得 △ ABC ∽△ ACD，则添加的条件是 ．（只填一个） ∠ACD = ∠ABC 解：①两角对应相等的两个三角形相似： ∵ ∠𝐴 = ∠𝐴， ∴ 当∠ACD = ∠ABC时， △ ABC ∽△ ACD； 当∠ADC = ∠ACB时， △ ABC ∽△ ACD； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ∵ ∠𝐴 = ∠𝐴， ∴ 当 = 时， △ ABC ∽△ ACD； 综上所述，添加∠ACD = ∠ABC或∠ADC = ∠ACB或 = ，使得 △ ABC ∽△ ACD， 故答案为：∠ACD = ∠ABC（答案不唯一）． 题型剖析 例20、如图，将 △ ABC沿BC边向右平移 2 个单位长度得到 △ DEF．若BC = 4，阴影部分的面积为 6，则 △ ABC的面积为 ． 题型十三、利用相似三角形的性质 24 解：如图，设AC与DE交于点𝐺． ∵ 将 △ ABC沿BC边向右平移 2 个单位长度得到 △ DEF， ∴ BE = 2，AB∥DE， ∴ CE = BC−BE = 4−2 = 2， △ GEC ∽△ ABC， ∴ = = ， ∵ =，即 = ， ∴ S△ABC = 24． 故答案为：24． 题型剖析 题型十四、相似三角形——动点问题 (1)当动点运动时间t为多少秒时,△ BDE与 △ ABC相似； (2)在运动过程中，当CD⊥ DE时，t为何值？请说明理由. 解：(1)设经过运动时间为 t 秒时， △ BDE与 △ ABC相似. 则AD = 𝑡(cm)，BD = (4−𝑡)(cm)， BE = 2𝑡(cm)，CE = (5−2𝑡)(cm) (0 ≤ ≤ )； ①当∠EDB = 90∘，即ED ⊥AB时， ∵ ∠𝐵 = ∠𝐵 ∠EDB = ∠CAB = 90∘ ∴ Rt △ BDE∽Rt △ ABC， ∴ = ，即= ， ∴ = . ②当∠DEB = 90∘，即DE ⊥ BC时， 例21、如图，Rt △ ABC的两条直角边AB = 4cm，AC = 3cm，点 D沿AB从 A 向 B 运动，速度 是1cm/秒，同时，点 E 沿BC从 B 向 C 运动，速度为2cm/秒．动点 E 到达点 C 时运动终止．连接DE、CD、AE. ∵ ∠𝐵 = ∠𝐵 ∠DEB = ∠CAB = 90∘ ∴ Rt △ BDE∽Rt △ ABC， ∴ = ，即 =t ，∴ t= ． ∵ t=和t= 都符合0 ≤ ≤ . ∴当动点运动 秒或 秒时， △ BDE与 △ ABC相似． 题型剖析 题型十四、相似三角形——动点问题 (2)如图，过点 E 作EF ⊥ AB于 F， 设经过运动时间为 t 秒时，CD ⊥ DE，则AD = 𝑡(cm)， BD = (4−𝑡)(cm)，BE = 2𝑡(cm)，CE = (5−2𝑡)(cm) (0 ≤ t≤ )； ∵ ， ∴ Rt△BFE∽Rt△BAC . ∴ = ，即 = ， ∴ BF =，EF = = (2)在运动过程中，当CD⊥ DE时，t为何值？请说明理由. 例21、如图，Rt △ ABC的两条直角边AB = 4cm，AC = 3cm，点 D沿AB从 A 向 B 运动，速度 是1cm/秒，同时，点 E 沿BC从 B 向 C 运动，速度为2cm/秒．动点 E 到达点 C 时运动终止．连接DE、CD、AE. ∴ DF = AB−AD−BF = 4−− = 4− ， ∵ CD ⊥ DE， ∴ ∠CDE = 90∘， ∴ ∠ADC + ∠EDF = 90∘， ∵ ∠BAC = 90∘， ∴ ∠ADC + ∠ACD = 90∘， ∴ ∠ACD = ∠EDF， ∵ ∠CAD = ∠EFD = 90∘，∴ Rt△ ACD∽Rt△FDE， ∴ = ，即 =，∴ t= （秒）. 题型剖析 题型十五、相似三角形的判定与性质综合 例22、如图Rt △ ABC中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为 D，AE平分 ∠BAC，分别交BD，BC 于点 F，E．若AB:BC = 3:4，则BF:FD为（ ） A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1 A 解：∵AB:BC = 3:4， 设AB = 3𝑥，BC = 4𝑥， ∵∠ABC = 90°， ∴AC = = 5𝑥，∠ABD + ∠CBD = 90°， ∵BD ⊥ AC， ∴∠ADB = ∠ABC = 90°， ∠CBD + ∠𝐶 = 90°， ∴∠𝐶 = ∠ABD， ∴ △ ACB ∽△ABD， ∴ = = ， ∵AE平分∠BAC， ∴点 F 到AB、AC的距离相等， 又点 A 到BF、DF的距离相等， ∴ = = = ， 即BF:FD = 5:3， 故选：A． 题型剖析 题型十六、求位似图形的对应坐标 例23、如图，在直角坐标系中，A(0,−1)，B(2,0) ，以A为位似中心，把 △ ABC按相似比1:3放大，放大后的图形记作 △ ADE，则点D的坐标为 ． (6,2) 解：如图，过点D作DH ⊥ 𝑥轴于点H， ∵ A(0,−1)，B(2,0)， ∴ OA = 1，OB = 2， ∵ 以A为位似中心，把 △ ABC按相似比1:3放大，放大后的图形记作 △ ADE， ∴ AB = AD， ∴ AB = BD， ∵ ∠AOB = ∠DHB = 90°， ∠ABO = ∠DBH， ∴ △ AOB∽△ DHB， ∴ = = = ， ∴ = = ， ∴ DH= 2，BH = 4， ∴ OH = OB + BH = 2 + 4 = 6 ∴ D(6,2)， 故答案为：(6,2) 题型剖析 题型十七、相似三角形实际应用 例24、图 1 是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为 6cm，其 它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图 2 所示，此时液面宽度为 cm． 解：如图，过点O作OM ⊥ CD，垂足为M，过点O′作O′N ⊥ AB，垂足为N， ∵AB∥CD， ∴△ CDO ∽△ABO′， ∴ = ， ∵ OM = 15−7 = 8(c𝑚)， O′N = 11−7 = 4(c𝑚)， ∴ = ， 解得：AB = 3， 故答案为：3 3 题型剖析 1．如图，已知 AB ∥CD ∥EF ， AD : AF= 3: 5 ，BE = 24，那么 BC 的长等于（ ） A．4 B． C． D．8 C 2、已知线段a =1，b = 9 ，线段 c 是线段 a、b 的比例中项，则c = （ ） A．1 B．±3 C．3 D．9 C 解： ∵ AB ∥CD ∥EF ， ∴ = ∵ BE = 24 ， 解得BC= 解：因为线段 c 是线段 a 、b 的比例中项，线段a = 1，b = 9 ， 所以c2 = ab = 1 × 9 = 9 ， 所以c =3 或c = -3 （舍去）， 故选：C． 针对训练 3．如图，点 A 、B、 C、 D 的坐标分别是（1, 0 ）、（5, 0 ）、（3, 2）、（4,1），如果以点C、 D、 E 为顶点 的直角三角形与△ ABC 相似，则 E 点的坐标可能是下列的（ ）K0egYlMbwyQYaZScqzyo40JXxpKxGFUaX6UUo9xlIH ①（2,1 ） ②(3,1) ③(4, 2) ④(5, 2） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ D 解：在 △ABC 中， AB = 4 ，BC = AC ，则 △ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB = 90° ①当点 E 的坐标为(2,1) 时， ∠DCE=90°,CE=CD ，则 △DCE∽△BCA ， 故符合题意； ②当点E 的坐标为(3,1) 时，∠CED = 90°, CE=DE=1 ，则 △CED∽△ACB， 故符合题意； ③当点E 的坐标为(4, 2) 时，∠CED = 90° , CE=DE=1 ，则 △CED∽△ACB，故符合题意； ④当点E 的坐标为(5, 2) 时，∠CDE = 90°，CD=DE，则△CDE∽△ACB ，故符合题意； 故选：D． 针对训练 4．如图，在三角形纸片 ABC 中， AB = 6， BC = 8， AC = 4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ ABC 相似的是（　　） B 解：A：∵ ,对应边 = ≠ 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 △ABC 不相似，故该选项不合题意； B：∵ =， 即=， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 △ABC 相似，故该选项符合题意； C: ∵ ,，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 △ABC 不相似，故该选项不合题意； D：∵ =,对应边 = ≠ ， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与 △ABC 不相似，故该选项不合题意． 针对训练 5.若a:b=1:2，且b是a，c的比例中项，则b:c等于（ ） A.1:3 B.1:2 C.2:3 D.2:1 B 解： ∵ b 是 a ，c 的比例中项, ∴ , ∵ a : b = 1: 2 ∴ =，即 b : c = 1: 2 故选 B 针对训练 6.已知点P是线段AB的黄金分割点且AP>BP，若AB=2，那么线段BP为（ ） A.-1 B.2- C.3- D.4- C 解得 BP= 则BP=3- 解：由题意知，即，整理得-6BP+4=0， 针对训练 7．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果AD//BE//CF，且DE:EF=2:3，AC=10，那么BC= 6 解：∵DE : EF = 2 : 3 ，∴ EF=DE ∵AD‖BE ‖ CF ， ∴ == ∴ AB=AC=×10=4 ∴BC = AC-AB = 6 针对训练 8．如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2 米，小丽距路灯灯杆的底部3米， 那么路灯灯泡距地面的高度是 米 4 解：结合题意画出图形得∠DAC = ∠EAB ， ∠DCA = ∠EBA = 90° , ∴ △ADC∽△AEB ， 因为小明的身高为1.6 米，他在路灯下的影子长为2 米；小明距路灯杆底部为3 米， ∴ AC = 2 ， BC = 3 ， CD = 1.6 ， ∴ = 解得： BE = 4 ， 则路灯灯泡距地面的高度是4米． 针对训练 9．已知点 P 为等边三角形 ABC 的重心，D 为△ ABC 一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为 2，那么 PD = ． 解：延长 AG 交BC 于点D ， 等边 △ABC ，∴AD 丄 BC ， ∵ D 为△ABC 一边上的中点， ∴BD = DC = 1 ， ∴AD= = =3 ， ∵点P为等边三角形ABC 的重心， ∴ PD= 针对训练 10．在△ABC 中， AC = 6 ，P 是 AB 上的一点，Q 为 AC 上一点，直线 PQ把△ABC 分成面 积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线 PQ有两条，那么边 AB 长度的 取值范围是 ． 3 ≤AB ≤6且 AB ≠ 6 解：如图所示，当△APQ∽△ABC 时， = ∴只要满足 = = 都能满足题意； 如图所示，当 △APQ∽△ACB 时， ∵直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分， ∴ = ∴△APQ∽△ACB ， ∵ = , = = ∴ AP=AC=3 ,AQ=AB ∴AP ≤ AB，AQ ≤ AC ， ∴3 ≤ AB ≤ 6 ， 综上所述，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分， 且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是3 ≤ AB ≤ 6 且AB ≠ 6 ． 针对训练 解：∵ AB ∥EF∥ CD ， ∴=， ∴CE = 6 ， EB =18 ， DF = 4， ∴= ， 解得： AF =12， ∴ AD = AF+DF = 12+ 4=16． 11.如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.如果CE=6，EB=18，DF=4，求AD的长. 针对训练 三、解答题 11．如图，在四边形 ABCD中， AB = BC =AD ，连接 AC ，且 AC 恰好平分∠BAD ，点 E 在边 AD 上， BE 与AC 交于点 O． (1)求证：△AOE∽△COB ； (2)若 AC= 3AO ，试判断 AE 与 AD 之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）证明：在四边形 ABCD中， AB=BC=AD， ∴∠BAC=∠BCA， ∵AC 恰好平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠ CAE， ∴∠CAE=∠BCA， ∵∠AOE=∠COB ， ∴△AOEB ∽△COB； （2）AE =AD ，理由如下： ∵△AOE∽△COB， AC=3AO， ∴=， ∵BC=AD ， ∴AE=AD． 针对训练 相似图形本质： 2.相似三角形判定： 3.相似三角形性质： 4.应用方向： 形状相同、大小成比例（相似比≠0），全等图形是特殊相似（相似比 = 1）； AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）； 对应角相等、对应边成比例；周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方； 用判定证相似，结合性质算线段 / 周长 / 面积；解决测量、投影等实际问题。 课堂总结 感谢聆听! $