江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷

江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：选项A、、均不能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B能找到一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2.如图，已知≌，、、、在同一条直线上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：≌， ，，， ，，， 选项A、、结论正确，不符合题意； 与的大小不能确定，不一定相等，故C选项结论错误，符合题意； 故选：． 根据全等三角形的性质得到，，，根据平行线的判定定理判断即可． 本题考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键． 3.在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. C. ，， D. 【答案】C  【解析】解：、：：：：， 设，，， ，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、， ，， 又， ， ， 是直角三角形，不符合题意； C、，，，， 不是直角三角形，符合题意； D、，， ， 是直角三角形，不符合题意， 故选：． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 本题考查了三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 4.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查实数分类及计算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知进行计算，并判断每一步输出结果即可得到答案． 【解答】 解：的算术平方根是，不是无理数，是有理数， 再取的平方根，而的平方根为，是无理数， 输出值． 5.如图，在中，，，，是边上的中线，过点作的垂线交于点，交于点，连结，则与和为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设为，为， 过点作交的延长线于点，如图： ，， ， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ≌， ． 点是的中点， ， ． ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 即， 故选：． 设为，为，过点作交的延长线于点，证明≌，可得又点是的中点，即得，从而可得≌，得，即可得． 本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定以及性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数、、所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论时，将向不同方向旋转，体现了结论结论解题思路的拓展应用． 证明≌，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论正确； 由是等边三角形，可知结论正确； 在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论正确； 四边形，故结论错误； 如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论正确．【解答】 解：由题意可知，，， 又，， ≌，又， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故结论正确； 如图，连接， ，且， 是等边三角形， ． 故结论正确； ≌，． 在中，三边长为，，，这是一组勾股数， 是直角三角形，， ， 故结论正确； 四边形， 故结论错误； 如图所示，将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点． 易知是边长为的等边三角形，是边长为、、的直角三角形， 则， 故结论正确． 综上所述，正确的结论为：． 故选A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是      ． 【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 这个正数是． 故答案为：． 根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得． 本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出的值． 8.我国明代数学家程大位在算法统筹中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺尺，将它往前水平距离推送尺尺时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合图计算绳索长      尺 【答案】  【解析】解：设绳索有尺长， 尺，尺，尺， 尺， ，即， 解得：， 故答案为：． 设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为      ． 【答案】  【解析】解：连接，如图所示： 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 在中，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ． 故答案为：． 连接，依题意得是等腰直角三角形，则，由勾股定理得，在中，根据得，则是直角三角形，即，由此得，据此即可得出四边形的面积． 此题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 10.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 11.如图，点在一块直角三角板上其中，于点，于点，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】略 12.如图所示的网格是正方形网格，则          点，，是网格线交点． 【答案】  【解析】解：延长交格点于，连接， 则，， ， 是等腰直角三角形，且， ． 故答案为：． 延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质得到结论． 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 13.我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为          ． 【答案】  【解析】． 14.如图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成如图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为          ．     【答案】  【解析】如题图，，，阴影部分面积．朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，，．青出与青入的三角形全等，，，，，，，，阴影部分面积． 15.如图，在四边形中，，，为上一点，且为等边三角形，若，则图中阴影部分面积之和为________． 【答案】  【解析】解：为等边三角形， ，， ， ，， ， 又，， ， 将绕点顺时针旋转得到，如图： 则≌， ，，，， ， ， 、、三点共线， 过点作交的延长线于，则， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， 即图中阴影部分面积之和为． 故答案为：． 16.已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧作等腰，其中，，连接，则的最小值为          用含的代数式表示． 【答案】  【解析】在的下方作直线，使，过点作交于，过点作于，过点作于，交于，连接，，利用可证得，于是可得，在中，利用含度角的直角三角形的性质及勾股定理可得，进而可得，在中，为钝角，故，当点与点重合时，为最小值，设，在中，利用含度角的直角三角形的性质及勾股定理可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，于是可求得的最小值． 【详解】解：如图，在的下方作直线，使，过点作交于，过点作于，过点作于，交于，连接，， ， 即：， ， 又，， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中， 为钝角， ， 当点与点重合时， 为最小值， 设， 在中， ， ， ， ， 在中， 根据勾股定理可得：， 即：， 整理，得：， ， ， 即：， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.求下列各式中的． 【答案】(1)解： ， ∴或；   (2)解： ∴．   【解析】  本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根的定义进行计算即可；   根据立方根的定义进行计算即可． 18.计算： ； ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用绝对值的性质，立方根的定义，算术平方根的性质计算即可； 利用立方根的定义，绝对值的性质，算术平方根的性质计算即可． 19.本小题分 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为：，面积为小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析．  【解析】解：由条件可设长方形信封的长为，宽为， 由题意得：， 负值已舍去， 长方形信封的长为，宽为， 正方形贺卡的边长是． ， ， ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 设长方形信封的长为，宽为，根据长方形信封的面积列方程求解，得到长方形信封的长、宽，再求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 本题考查算术平方根的应用，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． 20.本小题分 如图，在中，分别以，为边向外作等边三角形、等边三角形，与相交于点． 求证：． 求的度数． 连接，求证：平分． 【答案】(1)由ABD和ACE都是等边三角形得AD=AB,AC=AE,DAB=EAC=,则DAC=​​​​​​​BAE=+BAC,即可根据SAS证明DACBAE  (2)  (3)过A作AMCD于M,ANBE于N,根据SAS推出DACBAE,推出ADM=ABN,证ADMABN,推出AM=AN,根据角平分线性质得出即可  【解析】 略  略  略 21.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，点，，，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： 如图，在上画一点，连结，使； 如图，在上画一点，连结，使； 如图，在上画一点，连结，使． 【答案】使的点，如图即为所求；   使的点，如图即为所求；   使的点，如图即为所求．   【解析】使的点，如图即为所求； 使的点，如图即为所求； 过点作的垂线，与相交于点， ， ， 又， ； 使的点，如图即为所求； 取格点，连接，交于点， 由图可得，， ， ， ， 又， ． 根据网格线的特点作图即可； 过点作的垂线与的交点即为所求； 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可． 本题考查作图应用与设计作图、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 22.本小题分 如图，在中，，，为的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时，点在边上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． 求的长用含的代数式表示； 若以，，三点为顶点的三角形和以，，三点为顶点的三角形全等，且和是一组对应角，求的值． 【答案】(1)由题意，得BP＝3tcm．因为BC＝8cm，CP＝BC-BP，所以CP＝（8-3t）cm．  (2)因为AB＝10cm，D为AB的中点，所以．又点 Q以a cm/s的速度运动，所以CQ＝at cm．由（1），得BP＝3t cm，CP＝（8-3t）cm．又∠B和∠C是一组对应角，所以△BDP△ CPQ或△BDP△ CQP．当△BDP△ CPQ时，BD＝CP，BP＝CQ．所以5＝8-3t，3t＝at，解得t＝1，a＝3；当△BDP△ CQP时，BD＝CQ，BP＝CP．所以5＝at，3t＝8-3t，解得，．综上， a的值为3或．  【解析】 略  略 23.本小题分 已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： 设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数； 当为奇数时，如，，；，，；，，；，______，______；，，； 当为偶数时，如，，；，，；，，；，，；，______，______； 若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 【答案】，，，；   证明：， ， ， ， ， ． 不论为何值，，，都是勾股数组  【解析】解：发现规律：当为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为， 则， ， ， 两数为，； 当为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为， 则， ， ， 两数为，； 故答案为：，和，； 证明：， ， ， ， ． 不论为何值，，，都是勾股数组． 根据所提供的几组勾股数的规律发现，当为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； 根据勾股数的定义，证明即可． 本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． 24.本小题分 已知，是的平分线三角板的直角顶点在射线上移动， 在图中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； 在图中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)解：过作于，于，是的平分线，，，，，，，. ​​​​​​​   (2)结论仍成立，理由见解析 画出图形，结论仍成立，理由如下：过作于，于， 是的平分线，，，，，，，.   【解析】 略  略 25.本小题分 【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：______，______； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值______； 【扩展探究】如果我们对连续求根整数，直到结果是为止例如：对连续求根整数次，这时候结果为则对有理数连续求根整数，几次之后结果是； 试求出只需进行次连续求根整数运算后结果是的所有正整数中最大的数． 【答案】    或或  【解析】解：【阅读理解】用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数， ，，， ，即， ，， 故答案为：，； 【解决问题】解：， ， ，， ， 或或， 故答案为：或或； 【扩展探究】解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第次之后结果为， 故次之后结果是； 由上述求解过程可知，进行次求根整数运算后结果为的正整数最大为， ，， 进行次求根整数运算后结果为的正整数最大为， ，， 进行次求根整数运算后结果为的正整数最大为， 只对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，则这个正整数最大值是， 故结果是的所有正整数中最大的数为． 【阅读理解】由根整数的定义，结合及即可得到答案； 【解决问题】由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； 【扩展探究】由根整数的定义，逐次求解即可得到答案；由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 本题考查新定义运算，涉及开方运算中的算术平方根，读懂题意，掌握新定义的根整数运算是解决问题的关键． 26.本小题分 定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 如图，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则________． 如图，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形． 如图，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，． 求证：≌． 若，，求的长． 【答案】解：； ， ， 又， ， ， 与互为友好三角形； 与互为友好三角形， 平分， 又于点，的延长线于点， ，， 在和中， ≌； 在和中， ≌， ， 又≌， ， 设，则 ， 解得：， 故AE．  【解析】【分析】 本题考查了新定义问题，三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质． 根据三角形内角和定理求得，再根据与互为友好三角形，得平分，，根据判定≌，则，后根据，得到； 由，得，又，得，则有，所以与互为友好三角形； 由与互为友好三角形，得平分，则，再利用，证明≌即可； 利用，证明≌，得到，设：，则，解方程得，则． 【解答】 解：， ， 与互为友好三角形， 平分， ， 在与中， ≌， ， 又， ， 故答案为； 见答案； 见答案； 见答案． 27.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 如图，，共顶点，，，，连由，得又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线、及点，与不平行．作等腰直角，使得点、分别在直线、上．    小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点、分别在直线、上． 请你简述作法，并在图中画出示意图．不需要尺规作图 【答案】解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即为所要求作的等腰直角三角形． 如图， 作法：作于点； 以为边在右侧作等边； 以为边在上方作等边； 连接交直线于点； 连接并延长交直线于点； 在射线上取一点，连接，使； 连接， 就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得和都是等边三角形，， ， 点、点都在的垂直平分线上， 直线垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 就是所要求作的等边三角形．   【解析】【分析】由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案； 由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形； 作于点，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线于点，再连接并延长交直线于点，在射线上取一点，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图等知识． 第17页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知≌，、、、在同一条直线上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 3.在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. C. ，， D. 4.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，，是边上的中线，过点作的垂线交于点，交于点，连结，则与和为(    ) A. B. C. D. 6.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；点与的距离为；；；其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是      ． 8.我国明代数学家程大位在算法统筹中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺尺，将它往前水平距离推送尺尺时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合图计算绳索长      尺 9.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为      ． 10.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则的长为          ． 11.如图，点在一块直角三角板上其中，于点，于点，若，则的度数为          ． （第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题） 12.如图所示的网格是正方形网格，则          点，，是网格线交点． 13.我们规定运算符号的意义：当时，；当时，，其他运算符号意义不变按上述规定，计算的结果为          ． 14.如图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成如图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为          ．     15.如图，在四边形中，，，为上一点，且为等边三角形，若，则图中阴影部分面积之和为________． 16.已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧作等腰，其中，，连接，则的最小值为          用含的代数式表示． （第14题） （第15题） （第16题） 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.求下列各式中的． 18.计算： ； ． 19.本小题分 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为：，面积为小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 20.本小题分如图，在中，分别以，为边向外作等边三角形、等边三角形，与相交于点． 求证：． 求的度数． 连接，求证：平分． 21.本小题分图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，点，，，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： 如图，在上画一点，连结，使； 如图，在上画一点，连结，使； 如图，在上画一点，连结，使． 22.本小题分如图，在中，，，为的中点，点在边上以的速度由点向点运动，同时，点在边上以的速度由点向点运动．设运动的时间为． 求的长用含的代数式表示； 若以，，三点为顶点的三角形和以，，三点为顶点的三角形全等，且和是一组对应角，求的值． 23.本小题分 已知：满足的三个正整数，，称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： 设，观察提供的组勾股数的规律，完成第组勾股数； 当为奇数时，如，，；，，；，，；，______，______；，，； 当为偶数时，如，，；，，；，，；，，；，______，______； 若，，，为正整数，且，求证：不论为何值，，，都是勾股数组． 24.本小题分已知，是的平分线三角板的直角顶点在射线上移动， 在图中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； 在图中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 25.本小题分 【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． 【阅读理解】仿照以上方法计算：______，______； 【解决问题】若，写出满足题意的的整数值______； 【扩展探究】如果我们对连续求根整数，直到结果是为止例如：对连续求根整数次，这时候结果为则对有理数连续求根整数，几次之后结果是； 试求出只需进行次连续求根整数运算后结果是的所有正整数中最大的数． 26.本小题分 定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 如图，在中，若，，为上一点，且与互为友好三角形，则________． 如图，已知，，与相交于点，求证：与互为友好三角形． 如图，在中，为上一点，且与互为友好三角形，为延长线上一点，且于点，的延长线于点，． 求证：≌． 若，，求的长． 27.本小题分通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 如图，，共顶点，，，，连由，得又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线、及点，与不平行．作等腰直角，使得点、分别在直线、上．    小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点、分别在直线、上． 请你简述作法，并在图中画出示意图．不需要尺规作图 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2025各省足球联赛火热开启，下列队徽图案为轴对称图形的是() 】 2.如图，己知△ABC≌△DEF,A、D、C、F在同一条直线上，则下列结论错 D 误的是() A.AB//DE B.BC//EF C.BM=EM D.AD=CF M 3.在△ABC中，下列条件中，不能判△ABC是直角三角形的是() A.a:b:c=5:12:13B.LA=2B=3CC.a2=3,b2=4,c2=5D.LA+LB=∠C 4.按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是() 是 输入x 取算术平方根 是无理数？ 输出y 是有理数 是无理数 取平方根 A.士V5 B.±5 C.5 D.-5 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=∠ABC=45°，AC=BC,AD是BC边上的中线，过点C作AD的 垂线交AB于点E,交AD于点F,连结DE,则∠ADC与LDEB和为() A.100° B.120° C.135° D.150° 6.如图，O是正△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段B0以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到 线段BO',下列结论：①△B0'A可以由△B0C绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为4；③LAOB =150,④S日边影090，=6+33.⑤S%40c+Sa40B=6+其中正确的 结论是() A.①②③⑤ B.①②③④ c.①②③④⑤ D.①②③ 第1页，共8页 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若一个正数的两个平方根是2a-5和a-7,则这个正数是 8.我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离 地送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文 有一架秋千0A,当它静止时，踏板离地1尺(AB=1尺)，将它往前（水平距离）推送10尺(A'C=10尺)时，秋 千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺(4'D=5尺)，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请 你结合图计算绳索长尺 9.如图，在四边形ABCD中，LA=90°，AD=AB=5,BC=7,CD=1,四边形ABCD的面积为 10.如图，在△ABC中，AC=16,AB边的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE的周长为28，则BC 的长为一 11.如图，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC=30),OM1AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM= ON,则LABO的度数为 D (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) (第12题) 12.如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠BAC=(点A,B,C是网格线交点) l3.我们规定运算符号⑧的意义：当a>b时，a⑧b=a+b:当a≤b时，a⑧b=a-b,其他运算符号意 义不变按上述规定，计算(38)+[1-V同)8(-引的结果为一· 14.如图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个 青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学 习中，标上字母绘成如图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a,青方对应正方形ABCD的边长为b, 己知b一a=3,a2+b2=29,则图2中的阴影部分面积为一 15.如图，在四边形ABCD中，BC=11,∠B+∠C=60°，E为BC上一点，且△AED为等边三角形，若BE =4,则图中阴影部分面积之和为 第2页，共8页 16.已知在等腰△ABC中，AB=AC,BC=m,∠BAC=30。,点D是直线BC上一点，连接AD,在AD的右侧 作等腰ADE,其中AD=AE,∠EAD=30,连接cB,则AE+C6)的最小值为(0用含m的代数式表 示) 朱出 G 朱方 青入 D 青入 青方 朱入 青出 青出 A 图1 图2 B D (第14题) (第15题) (第16题) 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.求下列各式中的x. (1)2x-1)2=9 (2)3(x+1)3+81=0 18.计算： aw2-+V-8-(: (2)V-27+12V3-4-√W3-2)2. 19.(本小题8分) 小明制作了一张面积为256cm的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3： 2,面积为420c2.小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断， 第3页，共8页 20.(本小题8分)如图，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等边三角形ABD、等边三角形ACE,CD与BE 相交于点P. (1)求证：CD=BE. (2)求LBPC的度数. (3)连接AP,求证：AP平分∠DPE. 21.(本小题8分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,用 无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： A D D D 图① 图② 图3 (1)如图①，在AB上画一点E,连结DE,使LADE=∠C; (2)如图②，在AB上画一点F,连结DF,使LAFD=∠C: (3)如图③，在AB上画一点M,连结CM,使∠AMD=∠BMC 第4页，共8页 22.(本小题8分)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点，点P在边BC上以3cm/s 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上以acm/s的速度由点C向点A运动.设运动的时间为ts. (1)求CP的长（用含t的代数式表示）： (2)若以C,P,Q三点为顶点的三角形和以B,D,P三点为顶点的三角形全等，且LB和LC是一组对应角，求 a的值. 23.(本小题8分) 已知：满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设a<b<c,观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数： 当a为奇数时，如①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25：④9，一一， --:⑤11,60,61： 当a为偶数时，如①6,8,10：②8,15,17：③10,24,26；④12,35,37：⑤14，-一一-， (2)若a=2n,b=n2-1,c=n2+1,n为正整数，且n≥3，求证：不论n为何值，a,b,c都是勾股数组. 24.(本小题8分)己知∠A0B=90。,OC是∠A0B的平分线.三角板的直角顶点P在射线0C上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与0A,OB交于M,N,求证：PM=PN: 第5页，共8页 (2)在图2中，三角板的一条直角边与OB交于点N,另一条直角边与0A的反向延长线交于点M,猜想此时(1) 中的结论是否成立，画出图形，并说明理由， 图1 图2 25.(本小题8分) 【数学中的阅读理解】对于实数a,我们规定：用符号[V@表示不大于Va的最大整数，称[v网为a的根整数， 例如：V]=3,[W101=3 【阅读理解】仿照以上方法计算：[V16=,√48=一_： 【解决问题】若V]=1,写出满足题意的x的整数值 【扩展探究】①如果我们对α连续求根整数，直到结果是1为止.例如：对10连续求根整数2次[√10]=3→3 ]=1,这时候结果为1.则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1： ②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数. 26.(本小题8分) 第6页，共8页 定义：我们把被三角形的一条角平分线分成的两个三角形叫做“友好三角形”. D M B D 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，若AB=4,∠A=∠B=45°，D为AB上一点，且△ACD与△BCD互为友好三角形， 则CD= (2)如图2，己知AB=AD,AD/BC,BD与AC相交于点E,求证：△ABE与△BCE互为友好三角形. (3)如图3，在△ABD中，M为BD上一点，且△ABM与△ADM互为友好三角形，C为AM延长线上一点，且CE ⊥AB于点E,CF⊥AD的延长线于点F,BC=CD. ①求证：△BCE≌△DCF. ②若AB=21,AD=9,求AE的长. 27.(本小题8分)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 第7页，共8页 【模型理解】 (I)如图①，△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连BD、CE.由∠BAC-LDAC=∠ DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD≌△ACE,进而得到BD= -,∠ABD= 图① 【问题研究】 (2)小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题. 如图②，已知直线a、b及点P,a与b不平行.作等腰直角sPAB,使得点A、B分别在直线a、b上. P· b b B 图② 图③ 小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PDIα，垂足为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE, 过点E作EB⊥PE,交b于点B,在a上截取DA=BE,连AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形. 请证明小明的作法是正确的， 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边△PAB,使得点A、B分别在直线a、b上. (3)请你简述作法，并在图④中画出示意图.（不需要尺规作图） a P. b 图④ 第8页，共8页