第22讲 函数中的比较大小讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮复习专题讲义及课时精练 第22讲 函数中的比较大小 【基础回顾】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 题型一：直接利用单调性 例题精讲 1.记，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.设，，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：引入中间值 例题精讲 1.若，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.（设，则有（    ） A． B． C． D． 题型三：构造函数 例题精讲 1.设，，，，则（    ） A． B． C． D． 2.设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 3.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 题型四：泰勒展开 例题精讲 1.已知，则（    ） 2.设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排） 3.设，则（ ） A． B． C． D． 4.，则（ ） A． B． C． D． 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 课时精练 1．若，，，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 2．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，，则（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 3．已知2a＝a2（a＞0），3b＝b3，5c＝c5，则a，b，c的大小关系不可能是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 4．已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 5．已知a＝3，b＝log23×log27，c＝2log26，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 6．若，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 7．若，则下列说法中正确的是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 8．设a＝log525，，，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 9．已知a＝log0.82.6，b＝2.60.9，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 10．设，则（　　） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 11．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 12．已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 13．设a＝0.80.4，b＝0.2﹣0.9，c＝0.90.4，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 14．已知a＝2﹣1.1，，c＝log23，则三者大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 15．已知3a＝4，4b＝5，ac＝b，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 16．设，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 17．已知，，，其中e为自然对数的底数，则（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．x＜z＜y 18．已知，若f（x）＞f（y）＞f（z），则x，y，z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．x＜y＜z C．y＞x＞z D．y＞z＞x 19．已知e为自然对数的底数，，则下列关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮复习专题讲义及课时精练 第22讲 函数中的比较大小 【基础回顾】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 （7）常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 题型一：直接利用单调性 例题精讲 1.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 2.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A． 3.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，则，即， 因为，， 所以，所以，则，即， 又，所以， 所以. 故选：D 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，，因为在定义域内单调递增， 所以，即， 因为在定义域内单调递减，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 综上：. 故选：D 题型二：引入中间值 例题精讲 1.若，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以， 故选：D 2.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：A. 3.已知，，，那么，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，即， ，即， ，故 故选：B 4.（设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，， ，而，所以. 故选：B 题型三：构造函数 例题精讲 1.设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，的定义域为， ，令可得：，令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，即， 变形可得，即，所以； 又，所以，又因为， 所以，综上，， 故选：B． 2.设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 3.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 易知，且， 所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减， 即，在时取得等号， 且，在时取得等号，则，在时取得等号， 所以，即. 故选：D 4.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 因为，所以，而， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 综上，. 故选：B． 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递增； 又，所以， 所以； ，， 设，， ，所以函数在区间上单调递减， 所以， 所以，又， 所以，则， 综上，. 故选：C. 题型四：泰勒展开 例题精讲 1.已知，则（    ） 【答案】A 【解析】设，则，， ，计算得，故选A． 2.设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排） 【答案】 【解析】，由函数切线放缩得，因此． 故答案为： 3.设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选 4.，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ，故选B 5.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 课时精练 1．若，，，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：设，则， 当x≥e时，f′（x）≤0，仅当x＝e时等号成立， 则在[e，+∞）上单调递减， 而e＜3，故f（e）＞f（3），即，∴，所以b＞c， 因为，所以， 又，，所以， 所以a＜c， 综上所述，可得a＜c＜b． 故选：B． 2．已知a＝e0.05，b＝ln1.05+1，，则（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解答】解：由题，令f（x）＝ex﹣x﹣1（x＞0）， 则f′（x）＝ex﹣1＞e0﹣1＝0， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以f（x）＞f（0）＝e0﹣0﹣1＝0， 则f（ln1.05）＝1.05﹣ln1.05﹣1＞0，故1.05＞ln1.05+1， f（0.05）＝e0.05﹣（0.05）﹣1＝e0.05﹣1.05＞0，故e0.05＞1.05， 故有，即a＞b＞c． 故选：D． 3．已知2a＝a2（a＞0），3b＝b3，5c＝c5，则a，b，c的大小关系不可能是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【答案】A 【解答】解：对kx＝xk（k＞0）两边取对数，得xlnk＝klnx， 即． 令（x＞0）， 求导得． 当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 又． 由2a＝a2（a＞0），3b＝b3，5c＝c5， 即aln2＝2lna，bln3＝3lnb，cln5＝5lnc， ，，， 可得f（a）＝f（2），f（b）＝f（3），f（c）＝f（5）， 由， 得a＝2或a＝4； 因为f（2）＝f（4）＜f（3）＜f（e）， 所以（2，e）内存在b1，使得f（b1）＝f（3）， 由f（b）＝f（3），得b＝b1∈（2，e）或b＝3； 因为， f（1）＜f（5）＜f（2）＝f（4）＜f（3）＜f（e）， 所以（1，2）内存在c1，使得f（c1）＝f（5）， 由f（c）＝f（5），得c＝c1∈（1，2）或c＝5； 当a＝2，b＝b1∈（2，e）或b＝3，c＝c1∈（1，2）时，c＜a＜b； 当a＝4，b＝b1∈（2，e）或b＝3，c＝c1∈（1，2）时，c＜b＜a； 当a＝4，b＝b1∈（2，e）或b＝3，c＝5时，b＜a＜c； 综上所述，a，b，c的大小关系不可能是a＜c＜b． 故选：A． 4．已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】D 【解答】j解：构造新函数， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 由x＞0⇒f（x）＜f（0）⇒ln（x+1）﹣x＜0⇒ln（x+1）＜x， 所以a＝ln1.2＝lnb， 所以a＜b， 令g（x）＝x﹣sinx，0＜x，则g′（x）＝1﹣cosx， 当时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增， 由x＞0⇒g（x）＞g（0）⇒x﹣sinx＞0⇒x＞sinx＞0， 故，所以c＞b，故c＞b＞a． 故选：D． 5．已知a＝3，b＝log23×log27，c＝2log26，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】A 【解答】解：a＝3＝log22×log28，b＝log23×log27，c＝2log26＝log24×log26， 令f（x）＝log2x×log2（10﹣x），0＜x＜10， 则f（10﹣x）＝log2（10﹣x）×log2x＝f（x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝5对称， 当x∈（1，5）时，， 令g（x）＝xlog2x，x＞1， 则g（x）在（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，5）时，x（10﹣x）＞0，10﹣x＞x， 则g（10﹣x）＞g（x），所以f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（2）＜f（3）＜f（4），即a＜b＜c． 故选：A． 6．若，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：∵，∴． 设函数，则，当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减， ∴f（4）＜f（3）＜f（e），∴lna＜lnc＜lnb， 又∵y＝lnx为增函数，∴a＜c＜b． 故选：B． 7．若，则下列说法中正确的是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：令，则， 令f′（x）＝0可得1﹣lnx＝0，即x＝e， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，e）上单调递增； 当x＞e时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（e，+∞）上单调递减， 所以f（3）＜f（e），即，即， 又函数y＝lnx在（0，+∞）上为增函数； 所以，即c＜b； 因为，， 对a，c两边同时6次方，即；， 又a＞0，c＞0，故a＜c； 综上可得：a＜c＜b． 故选：B． 8．设a＝log525，，，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【答案】C 【解答】解：由a＝log525＝2，1，4，得b＜a＜c． 故选：C． 9．已知a＝log0.82.6，b＝2.60.9，c＝0.80.9，则a、b、c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】C 【解答】解：由a＝log0.82.6＜log0.81＝0，b＝2.60.9＞2.60＝1，0＜c＝0.80.9＜0.80＝1，得b＞c＞a． 故选：C． 10．设，则（　　） A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解答】解：因为a＝log36＝log3（3×2）＝log33+log32＝1+log32， b＝log510＝log5（5×2）＝log55+log52＝1+log52， c＝log714＝log7（7×2）＝log77+log72＝1+log72， 且log32，log52，log72， lg7＞lg5＞lg3＞lg2＞0， 所以， 即log32＞log52＞log72， 所以a＞b＞c． 故选：D． 11．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】C 【解答】解：因为y＝1.5x是增函数，所以1.50.7＞1.50.6＞1，即b＞a＞1， 又y＝0.7x是减函数，所以0＜0.70.6＜1，则b＞a＞c． 故选：C． 12．已知a＝0.53.1，b＝log0.90.3，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b 【答案】B 【解答】解：因为y＝0.5x在R上单调递减，则，即0， 又因为y＝log0.9x在（0，+∞）上单调递减，则log0.90.3＞log0.90.9＝1，即b＞1； 可得0， 综上所述：c＜a＜b． 故选：B． 13．设a＝0.80.4，b＝0.2﹣0.9，c＝0.90.4，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 【答案】D 【解答】解：∵0.2﹣0.9＞1，0.80.4＜1，0.90.4＜1，∴b＞a，b＞c； ∵0.80.4＜0.90.4，∴c＞a； 综上所述：a＜c＜b． 故选：D． 14．已知a＝2﹣1.1，，c＝log23，则三者大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 【答案】C 【解答】解：由指数函数与对数函数的性质得，a＝2﹣1.1＜2﹣1， 1， c＝log23＞log22＝1， 所以a＜b＜c． 故选：C． 15．已知3a＝4，4b＝5，ac＝b，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】D 【解答】解：∵3a＝4，4b＝5， ∴a＝log34＞log33＝1，b＝log45＞log44＝1， ∴log45•log431， ∴b＜a， 又∵ac＝b， ∴c＝logab＜logaa＝1＜b， ∴a＞b＞c． 故选：D． 16．设，则（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【答案】B 【解答】解：a＝ln0，c＝3﹣0.2∈（0，1），b＝log23＞1， 故a＜c＜b． 故选：B． 17．已知，，，其中e为自然对数的底数，则（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．x＜z＜y 【答案】C 【解答】解：因为，，， 所以x+2＝ln2﹣lnx，y+3＝ln3﹣lny，z+5＝ln5﹣lnz， 即x+lnx＝ln2﹣2，y+lny＝ln3﹣3，z+lnz＝ln5﹣5， 令f（x）＝x+lnx，则f′（x）＝10恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为ln2﹣2﹣（ln3﹣3）＝1+ln0，所以ln2﹣2＞ln3﹣3， 同理ln2﹣2＞ln3﹣3＞ln5﹣5， 故x＞y＞z，即z＜y＜x． 故选：C． 18．已知，若f（x）＞f（y）＞f（z），则x，y，z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．x＜y＜z C．y＞x＞z D．y＞z＞x 【答案】D 【解答】解：因为，x＞0， 所以，x＞0， 由f′（x）＞0＝1﹣lnx＞0⇒0＜x＜e；由f'（x）＜0⇒x＞e， 所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 又f（1）＝0，当x＞e时，f（x）＞0， 所以函数f（x）的草图如下： 当x，y，z∈（0，e）时，因为f（x）单调递增，所以f（x）＞f（y）＞f（z）⇔x＞y＞z，故A可能成立； 当x，y，z∈（e，+∞）时，因为f（x）单调递减，所以f（x）＞f（y）＞f（z）⇔x＜y＜z，故B可能成立； 如图： 当y＞x＞e＞1＞z时，f（x）＞f（y）＞f（z），故C可能成立； 当y＞z＞x时，若0＜x＜z＜y＜e，则f（x）＜f（z）＜f（y），不符合； 若0＜x＜z＜e＜y，则有f（x）＜f（z），不符合； 若0＜x＜e＜z＜y，则有f（z）＞f（y），不符合； 若e＜x＜z＜y，则f（x）＞f（z）＞f（y），不符合， 所以当y＞z＞x时，f（x）＞f（y）＞f（z）不可能成立． 故选：D． 19．已知e为自然对数的底数，，则下列关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【答案】B 【解答】解：因为，要比较a、b、c的大小， 则令，所以， 由f′（x）＞0，有x＞e，f′（x）＜0，有0＜x＜e， 所以f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增， 又e＜2.8，所以f（e）＜f（2.8），即，即c＜a， 令，所以，令g′（x）＝0⇒x＝1或e2， 由g′（x）＞0⇒x＞e2或0＜x＜1，所以g（x）在（0，1），（e2，+∞）单调递增； 由g′（x）＜0⇒1＜x＜e2，所以g（x）在（1，e2）单调递减； 又1＜e＜2.8＜e2，所以g（e）＞g（2.8），即，即，所以c＞b， 所以b＜c＜a． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $