第22讲 椭圆（五大题型）（专项训练）（上海专用） 2026年高考数学一轮复习讲练测

第22讲 椭圆 目录 01 常考题型过关练 题型01 椭圆中焦点三角形 题型02 椭圆的离心率 题型03 椭圆的实际应用 题型04 直线与椭圆的位置关系 题型05 椭圆中的定值、定点、最值问题 02 核心突破提升练 01 椭圆中焦点三角形（四边形） 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 3．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 4．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点外别为，设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点．    (1)求的周长； (2)求面积的取值范围； (3)求的最大值． 02椭圆的离心率 5．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 7．椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 03 椭圆的实际应用 8．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 9．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 10．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 04 直线与椭圆的位置关系 11．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 个． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点．    (1)求该椭圆的离心率； (2)点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； (3)A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 13．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点.    (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 14．已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； (3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 05 椭圆中的定值、定点、最值问题 15．（2025·上海·模拟预测）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 16．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 17．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 18．已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 一、单选题 1．已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 4．设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）． A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题 6．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 7．设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于 . 8．定义椭圆的焦距与实轴之比称之为离心率，则椭圆（为参数）的离心率为 9．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于 . 10．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 11．已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 12．已知椭圆的右焦点为，其中，则 . 13．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为 . 14．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是 15．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 16．已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 17．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于 . 三、解答题 18．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 19．（2025·上海黄浦·三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 20．（2025·上海金山·二模）已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 椭圆 目录 01 常考题型过关练 题型01 椭圆中焦点三角形 题型02 椭圆的离心率 题型03 椭圆的实际应用 题型04 直线与椭圆的位置关系 题型05 椭圆中的定值、定点、最值问题 02 核心突破提升练 01 椭圆中焦点三角形（四边形） 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 2．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 3．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. （2）有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 4．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点外别为，设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点．    (1)求的周长； (2)求面积的取值范围； (3)求的最大值． 【详解】（1）为椭圆的两焦点，且为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为． （2）由题意可设过的直线方程为 联立，消去得， 因为直线所过定点在椭圆内，则直线与椭圆必有两交点， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以， 故面积的取值范围为． （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得 则，得， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得 ， 同理，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 若轴时，易知， 此时， 综上，的最大值为． 02椭圆的离心率 5．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 6．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 7．椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得， ，由椭圆的定义得，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    03 椭圆的实际应用 8．（2025·上海闵行·二模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为 ．（精确到0.1°） 【答案】 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 9．（2025·上海杨浦·二模）如图，阿基米德椭圆规是由基座､带孔的横杆､两条互相垂直的空槽､两个可动滑块组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆.当之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则之间的距离为 .厘米. 【答案】21 【详解】依题意，当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的短半轴长， 当滑块在两条空槽的交点处时，长为椭圆的长半轴长，则， 由椭圆的离心率为，得，解得，即，解得， 所以之间的距离为21厘米. 故答案为：21 10．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 【答案】 【详解】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 04 直线与椭圆的位置关系 11．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 个． 【答案】24 【详解】不妨设， 先讨论三角形有两个顶点为椭圆的顶点的情况， 如图1，连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立， 解得或或或， 即圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为， 联立， 解得或或， 此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接， 此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦， 所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时， 刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个， 综上：满足要求的等腰三角形个数为． 故答案为：. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点．    (1)求该椭圆的离心率； (2)点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； (3)A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，，，由已知可得， 因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以椭圆方程为， 所以； （2）①，直线的解析式为， 因为的面积为3，所以边上的高为， 过做的平行线，则直线的解析式为，    联立方程组， 解得：或， 所以点的坐标为或； （3）①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 13．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点.    (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，， ∴,又∵当直线 垂直于 轴时，直线的方程为， 由得，， ∴弦AB的长为. （2）∵，且直线过点F， ∴，在中，， ∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点, ∴,又由椭圆的定义可得， ∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上， ∴为椭圆的上顶点或下顶点， ∴或. （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设， ∴， 故； 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：，设， 由得，， ∴， ∴， 化简得， ①当， ，当且仅当时等式成立； ②当，，当且仅当时等式成立； ③当，； 综上所述可得，的取值范围为. 14．已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． (1)若直线平行于轴，求线段AB的长； (2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； (3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，、，所以直线的方程是， 代入中，得，所以 （2）设，则 所以， 又，所以所以点坐标是或， 所以直线的方程是或. （3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入中，得，此时， 设、、， 则，所以中点. 又的重心在轴上，所以， 即，故， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为点在椭圆上，所以，解得或 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意． 综上所述，存在直线l使得的重心在轴上， 其方程为：或或. 05 椭圆中的定值、定点、最值问题 15．（2025·上海·模拟预测）如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率． (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值； (3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值． 【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，， 设椭圆的半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率， 因为， ，， 所以， 所以，斜率之积为定值，且定值为. （3）设，由于，所以， 设直线方程为，直线方程为， 联立得：， 联立，， 因为且， 所以是方程的两个实数根，恒成立 ，则， ， 整理得， ， 解得，又， 所以. 16．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 17．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 18．已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 一、单选题 1．已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题设有， 故 ， 而，故，同理，， 若 成等差数列，则，故， 若，则即， 故 成等差数列， 故“ 成等差数列” 是 “”的充要条件， 故选：C 2．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个， 故选：C. 3．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 【答案】D 【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即， 则当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 所以曲线是以、、、为顶点的矩形， 设曲线上的点为，满足，即， 所以是椭圆， 所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个， 故选：D 4．设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 5．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）． A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【详解】设，，，则. 对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确； 对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，， 两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上 故选：C 二、填空题 6．到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 7．设椭圆，直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是的中点，则的长轴长等于 . 【答案】 【详解】设，由题意可得：， 因为Q是的中点，所以 ∴，∴， 代入椭圆方程可得：，解得，∴椭圆的长轴长等于 故答案为：. 8．定义椭圆的焦距与实轴之比称之为离心率，则椭圆（为参数）的离心率为 【答案】 【详解】椭圆（为参数）的普通方程为：， 则， 所以椭圆的离心率为， 故答案为： 9．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于 . 【答案】 【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以， 故答案为： 10．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 . 【答案】6 【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，， 所以，故焦点三角形中最大为，故有2个； 又、对应的直角三角形各有2个； 综上，使得是直角三角形的点的个数为6个. 故答案为：6 11．已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，， 此时，，故舍弃. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 又因，在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 12．已知椭圆的右焦点为，其中，则 . 【答案】 【详解】椭圆，即，焦点在轴上， 所以 ， 所以. 故答案为： 13．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为 . 【答案】或10. 【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为； 若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去； 若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离. 故答案为：或10. 14．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是 【答案】 【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是. 故答案为： 15．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】 【详解】如图，设，则，因，故，    由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 16．已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是 . 【答案】 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 17．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于 . 【答案】 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得， 双曲线的一条渐近线为， 因为，所以， 由，解得，即，又点在椭圆上， 所以，即， 即，即，即， 即，即， 即，即， 即，解得或（舍去）， 所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率. 故答案为： 三、解答题 18．（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 19．（2025·上海黄浦·三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 （2）设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. （3）当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 20．（2025·上海金山·二模）已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； （2）设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； （3）， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 21．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $