2.2平方根与立方根 讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二节 平方根与立方根 一、思维导图 二、知识梳理 1、算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.特别地，我们规定：0的算术平方根是0. 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”，读作根号a. （2）性质：（1）正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根； （3）的双重非负性：①0，也就是非负数才有算术平方根；②，也就是一个非负数的算术平方根也是非负数. 2、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）. 表示方法：数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”. （2）性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根. 3、开平方 （1）定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 注意：①开平方时，被开方数a必须是非负数，即a≥0；②开平方是求一个非负数的平方根(正数开方的结果有两个，且互为相反数），而不是算术平方根，要注意二者的区别，以免漏解. 4、两个公式 （1） (a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. （2）,即一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 5、技巧点拨： （1）利用“非负性”解题的常见类型 都具有非负性，且最小值都是0. ① ② ③ （2）利用平方根的定义解方程的方法 ①将方程变形为的形式； ②结合整体思想，直接开平方，得； ③利用分类讨论思想，分别解一元一次方程得结果. 6、立方根的概念 （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）. 表示方法：每个数a都有一个立方根，记作，读作三次根号a. （2）性质：①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③零的立方根是零. 7、三个公式 8、开立方 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数. 三、夯实基础 （一）选择题 1.下列说法正确的是 A. 是的立方根 B. 负数没有平方根，但有立方根 C. 的平方根为 D. 的立方根为 2.下列各数中，一定没有平方根的是(     ) A. B. C. D. 3.若，，则的值是  (     ) A. B. C. 或 D. 或 4.“的平方根是”的数学表达式是  (     ) A. B. C. D. 5.已知一个数的两个平方根分别是与，则这个数是  (     ) A. B. C. D. 6.下列各组数中互为相反数的是(     ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 （二）填空题 7.如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为时，输出的值为          ． 8.已知，为实数，且，则的绝对值为                ． 的立方根是          . 10.已知，则的值为________． 11.的平方根是________． （三）解答题 12.计算： 13.解方程：       14.已知一个正数的平方根分别是 求这个数；           求的平方根 四、拓展提升 （一）选择题 1.若，则的值不能是  (    ) A. B. C. D. 2.已知实数，满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法： 的小数部分是；平方根与立方根等于它本身的数是和；的立方根是；是的平方根；；的算术平方根是． 其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则中正方形的边长不可能是(    ) A. B. C. D. 5.课堂上老师提出一个问题：“一个数是，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“”老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： 由，，能确定是两位数； 由的个位上的数是，因为，能确定的个位上的数是； 如果划去后面的三位得到数，而，由此能确定的十位上的数是． 提示： 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为(    ) A. B. C. D. 6.我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                        第二行                       第三行                     第四行                                        根据数阵规律，第八行倒数第三个数是(    ) A. B. C. D. （二）填空题 8.当          时，式子有最小值，且最小值是          ． 9.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点，，在同一直线上，，，，，量得，则的长是          ． （三）解答题 10.已知，，满足． 求，，的值； 试判断以，，为边长能否构成直角三角形，并说明理由． 11.本小题分 、、、在数轴上的位置如图所示，化简 12.已知满足，求的算术平方根． 一个正数的两个平方根分别是与，一个数的立方根是，求的值。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二节平方根与立方根 参考答案： 三、夯实基础 题号123 45 6 7 8 10 11 答案 B D D o3-月3 -23 3 12 解：(1)原式=-3-0-+特+=￥ (2)原式=5-(-3)+(V2-1)=5+3+V2-1=7+V2 (3)原式=-4+1+3-3+1=1-V5 (4)原式=1+号×4-(-3)=1+2+3=6 13解：(1)整理，得(3x+1)2=, 两边开平方，得3x+1=士号， 所以x1=—吉，82=-月. (2)整理，得(8-2)3=8 两边开立方，得x-2=2 所以x=4 14.解：(1)：m+3和2m-15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数， 即：(m+3)+(2m-15)=0 解得m=4, 则这个正数是(m+3)2=49: (2)m=4, aVm+5=5=3, 则Vm+5的平方根是土5. 四、拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B B 43 12-4y5 第1页共2页 10.解：(1)根据题意得：a-V8=0,b-4=0,c-2V6=0, 解得：a=2V2,b=4,c=2V6. (2)以a,b,c为边长能构成直角三角形，理由如下： :(2W2)2+42=(2V6)2, a2+b2=c2, :以a,b,c为边长能构成直角三角形. 11.解：由图可知a<0,b<0,c>0,b+c<0,a-c<0,a十b<0, 原式=-a-(b+c)-(a-c)+(a+b) =-a-b-c-a十c+a十b =一a 12.解：(1)V2x-3y-1+k-2y+2=0, 2x-3y-1=0,8-2y+2=0, x=8,y=5, 2x-y=2×8-号×5=12 2x-y的算术平方根为2√3： (2)由题可知2a-3+5-a=0,,5y+19=64, aa=-2,y=9, .2a-3=7,,5-a=-7, x=72=49, x-y=49-9=40 第2页共2页