专题02 平方根与立方根（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 该专项通过6类常考题型系统覆盖平方根与立方根的概念计算、性质应用、综合问题及规律探索，构建从基础到拓展的知识逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类题型，含各地期末真题|基础计算（重）、非负性应用（高频）、整数小数部分（高频）、综合问题（高频）、规律探索（难）|概念生成→性质应用→综合拓展|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02平方根与立方根 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重） 题型2利用算术平方根的非负性解题（高频） 题型3求算术平方根的整数部分和小数部分（高频） 题型4平方根与立方根的综合问题（高频） 题型5与算术平方根有关的规律探索题（难） 题型6与立方根有关的规律探索题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1. 5 -0.5 ±V5 2.2 P -3 3.3 6 ±3 ◆题型2利用算术平方根的非负性解题 4.1 5.8 6.8 ◆题型3求算术平方根的整数部分和小数部分 7.2 8.t6 9.54 1/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4平方根与立方根的综合问题 10. 【答案】(1)解：4a+3的立方根是3,3a+b的算术平方根是5， ∴.4a+3=33=27,3a+b=52=25, .a=6,b=7: (2)解：a=6,b=7, .3a-b=18-7=11, .3a-b的平方根为±V11. 11. 【答案】(1)解：根据题意可知，2a-1=32=9,b-1=23=8, ∴.a=5,b=9； (2)解：a=5,b=9, .4a-b+5=4×5-9+5=16, 4a-b+5的平方根为±4. 12. 【答案】(1)解：，3x-5的算术平方根是2,5x-7y的立方根是4， 3x-5=22 ·5x-7y=4 [x=3 解得： y=-7 (2)解：2x-y+12=2×3-(-7)+12=25. 则2x-y+12的平方根为5， ◆题型5与算术平方根有关的规律探索题 13. 199 【答案】(1)解： -100-10: 2×2-11 (2)解：第1个等式： 22 2 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 2×3-12 第2个等式： 32 3 2×4-13 第3个等式： 42 4 2×5-14 第4个等式： 25 5 2(n+1)-1n 第n个等式： (n+1)2n+1 果y名名小器 123414 2345 15 15: 4049 (4)解： =X, 4049 ..vI- 2n-1_m-l n 即2n-1=4049 解得n=2025。 2025-12024 ..x= 2025 2025 14. 199 【答案】(1)解：①y1 10010 ②第1个式子为： 2x1+1_1 22 2×2+12 第2个式子为： 32 2×3+1_3 第3个式子为： 43 41 9 2×4+14 第4个式子为： V125y 52 5 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2n+1n :第个式子是 (n+1)2n+1: 89 1、2344344 2×345 ×…× 4445 45 15. 【答案】少解，8+京+石-1+名1动 11 5630? 11 1,1 +2+家 236； ，11 11,1 +家+年1+ -=1 3412: 11,11,1 =++子 1+45120 =1+ 1 S= 1 1+ +m(m+ =1+1-1=1+1 mm+1m(m+1): 65,1 3)解：6481 11 =1+64+87 ,11 =1+ V+8+g 1+1 8×9 11 72· (4)解：S+S2+S,+…+S06 12 34 …+1+。1.1 20262027 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +1*1品川号++++0 2026'2026 2026个 =2026 2026 2027· ◆题型6与立方根有关的规律探索题 16. 【答案】(1)解：由题意得，若√a=2.5,那么100a=25: 若6=-1.2，那么10000006=-120： (2)解：①x+y-8=4, .x+y-8=4=64, .x+y=72, .2(x+y)=144, .该长方形的周长C为144： ②由(2)①得C'=14400, VC=144=12, .√C=V14400=120. 17. 【答案】(1)解：x=V0.01=0.1: y=V100=10」 (2)解：①根据表格观察发现，被开方数左右移动两位，算术平方根左右移动一位. 被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位. V10≈3.16， V1000≈31.6 ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位. 算术平方根从1.8变成180.小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位. V3.24=1.8, a=32400 (3)解：被开方数左右移动三位，立方根左/右移动一位. 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2.14≈1.289. ,被开方数从2.14变为2140，小数点向右移动三位， ∴立方根小数点向右移动一位， .2140≈12.89. 18. 【答案】(1)解：103=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000 .3375是两位数， 53=125, .3375的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 13=1,23=8, .3375的十位数字应为1， :.3375=15, 依据“负数的立方根是负数”得到：-3375=-15： (2)解：5-4x=-x+10, ∴.5-4x=-（x+10) 解得：x=5: (3)解：x-2+2=x, .x-2=x-2, .(x-2)=x-2, x-2=0或1或-1， .x=2或3或1， 当x=1时，可得：-2x==-1, :3y-1与-2x互为相反数， 3y-1=1. 2 解得：y=3 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1 即 2 y= 当x=2时，可得：1-2x=3=-5, :3y-1与1-2x互为相反数， .3y-1=3 即3y-1=3, 解得：y=3 x=2 即 4 y 当x=3时，可得：1-2x=5=-5, :3y-1与1-2x互为相反数， 3y-1=5, 即3y-1=5 解得：y=2」 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 二、填空题 6.2 4 7.50.8 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.±1 9.121 10.0.508 三、解答题 11. 【答案】(1)解：，a+2的立方根是2， ∴.a+2=23=8, 解得：a=6, .3a+b-1的算术平方根是4， .18+b-1=42=16, 解得：b=-1, .a=6,b=-1: (2)解：3a-b+6=3×6-(-1)+6=25, ∴.3a-b+6的平方根是±5. 12. 【答案】(1) 解：依题意，64+64=4+(4)=0（答案不唯一） (2)解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a, b,若a+b=0,则a+6=0反之也成立： 故答案为：a+b, (3)解：：6-2x与x+1的值互为相反数， .(6-2x)+(x+1)=0 解得x=7, ∴x的立方根是7， 13 【答案】(1)解：根据规律可知V9×25=V9×V25=15;100x121=100×V121=110: (2)解：根据下列各式的计算结果： ①V4×9=6,V4×V9=6: ②V16×25=20,V16x√25=20： 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③V36×49=42,36×√49=42： 发现，当a≥0，b≥0时，Vad=Va万： (3)解：V⑧=V4x2=V4xV2=22:8=9x2=5x√2=32 14. 【答案】(1)解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数 点就相应的向左或向右移动1位： 故答案为：2，算术平方根，1 (2)解：①5.217≈2.284，V521.7≈22.84」 .V0.05217≈0.2284，-V52170≈-228.4： 故答案为：0.2284；-228.4 ②Vx≈0.02284. .x≈0.0005217： 故答案为：0.0005217 (3)解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位： 故答案为：3；1 ①.0.000456≈0.07697， -456≈-7.697： 故答案为：-7.697 ②3≈1.442,30≈3.107， .3000≈14.42. 故答案为：14.42 15. 1 11183 【答案】(1)解：根据题意， V1+13+1= 1+1314182: ②解+++小++++ ,11 1 +1+99+1002 1-r号号++g0网 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =100- 100 9999 100· 10/10学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02平方根与立方根 内容概览 目常考题型精准突破 题型1求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重） 题型2利用算术平方根的非负性解题（高频） 题型3求算术平方根的整数部分和小数部分（高频） 题型4平方根与立方根的综合问题（高频） 题型5与算术平方根有关的规律探索题（难） 题型6与立方根有关的规律探索题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1求一个数的算术平方根、平方根、立方根 64 1.(25-26七年级下河南周口期末) 25的算术平方根是」 -0.125的立方根是 √9的平方根是 2.(25-26七年级下湖北黄冈期末)√16的算术平方根是 V(-3)}2= -:3-27= 3.(25-26七年级下广东江门期中) -27= ,(-6)的算术平方根为， √⑧i的平方 根为 ◆题型2利用算术平方根的非负性解题 4.(25-26七年级下北京期末)若Va-3+b+4=0,则(a+b)m6= 5.(25-26八年级下山东东营期末)已知Vx-2+√2-x+y=32,则Vy=一 6.(25-26七年级下湖南长沙期末)已知实数m和n满足√m-10+3V10-m=n-6,则Vm2-n2的值为 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3求算术平方根的整数部分和小数部分 7.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)a为√7的整数部分，则a= 8.(25-26七年级下·云南昭通阶段检测)已知a的立方根是3，b是V90的整数部分，则a+b的平方根是 9.(25-26七年级下湖北武汉期中)已知a是√28的整数部分，b是√28的小数部分，则a的值是 (a+1)+(亿+5的立方根是 ◆题型4平方根与立方根的综合问题 10.(25-26七年级下·山东德州期中)已知4a+3的立方根是3,3a+b的算术平方根是5. (1)求a,b的值： (2)求3a-b的平方根. 11.(25-26七年级下广西百色·期中)已知正数2a-1的算术平方根是3，b-1的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求4a-b+5的平方根. 12.(25-26七年级下·云南楚雄期中)已知3x-5的算术平方根是2,5x-7y的立方根是4. (1)求x,y的值 (2)求2x-y+12的平方根. ◆题型5与算术平方根有关的规律探索题 13.(25-26七年级下·湖北荆门期末)在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展 开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 7 94 第1个等式： =2:第2个等式： 5_ 1- 9 3: 第3个等式： 16- 4； 第4个等式： 255: 康里雨原用 19 (1)【规律发现】 100 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用含字母n的式子表示第n个等式： (n≥1且n为整数)； 29 (3)【规律应用】计算： 225 4049 (4)若1 之3 =x符合上述规律，则x的值为 14.(25-26七年级下·安徽阜阳·期末)学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的 算式.阅读观察下列算式，探求规律： 3_1 (1)按照此规律： 19 ①计算：1 100 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，且n为正整数) 5 (2)直接写出结果： 15.(25-26八年级下江苏扬州期末)观察下列各式： 1+1= 1229 11 +2京+京=1+ = 1236 ++=1+= S4=1 42+52 =1+ 4520· 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： 11 (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数)表示的等式： - 65.1 (3)利用上述规律计算：V6481: (④求：S+S2+S,+…+S06. ◆题型6与立方根有关的规律探索题 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26七年级下·重庆綦江·期末)小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化 规律 已知√1=1，则100-=10，V10000=100;己知V9=3,则900=30，√90000=300 已知=1，则1000=10,1000000=100：已知8=2，则8000=20,8000000=200： (1)根据小明的发现，请填空：若a=2.5,那么100a=:若5=-1.2，那么1000000b=_ (②)现有一个长方形，其长和宽分别用x,y来表示，且满足x+y-8=4, ①求该长方形的周长C. ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C',请利用(1)中所得规律，求出√C的值. 17.(25-26七年级下·河北秦皇岛期中)探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 10 a 0.0001 0.01 10000 0 a 0.01 100 (1)表格中x= y= (2)从表格中探究a与√a数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知V10≈3.16，则V1000≈ ②已知3.24=1.8，若√a=180,则a= 3)拓展：已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140= 18.(25-26七年级下福建福州期中)小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-1728的立方根？ 他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以1728是两位数： ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,6=216,7=343,82=512， 93-729:猜想1728的个位数字是2： ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为13=1,2=8，所以1728的十位数字应为1，于是猜想 1728=12,验证得：1728的立方根是12： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到-1728=-12，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两 个数的立方根也互为相反数：反之也成立 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： 1)3-3375=-: 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)若5-4x=-x+10,则x=: (3)已知x-2+2=x,且3y-1与-2x互为相反数，求x,y的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26七年级下广东广州期末)下列计算正确的是() A.N34-6=6-V34 B.±16=4 C.V4.9=0.7 D.64=8 2.(25-26七年级下贵州遵义期中)已知a,b在数轴上的位置如图所示，化简Va-口+b-a-b)的 结果是() a 0 A.a B.a-2b C.-a+2b D.-3a 3.(25-26八年级下安徽马鞍山期未)若一直角三角形的两边长x,y满足Vx-1+(y-2}=0,则此三角 形第三边的边长为() A.3 B.3或V5 C.3或5 D.5或V3 4.(20人年8rW惊期未已如y-5号-2层君-后 4 66 17 V17: ；按此规律， 若a- =a5（a'b为正整数)，则(6a-b)的值为（） A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 5.(25-26八年级下·贵州铜仁阶段检测)图1是第七届国际数学教育大会(CME-7)的会徽图案，它是 由一串有公共顶点0的直角三角形（如图2所示）演化而成的.如果图2中04=A4=4,4,=…=A,4=1, 那么OA的长为() 5/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 As ICME-7 图1 图2 A.5 B.√6 C.2√2 D.3 二、填空题 6.(25-26七年级下湖北省直辖县级单位期末)若n为正整数，且满足n<V7<n+1,则n= 1 1 7.(25-26七年级下山东德州期末) 25的算术平方根是 27的立方根是 8.(25-26七年级下四川广安期末)如果口-1+（仍+2}=0，则(a+b)的平方根是 9.(25-26七年级下·福建福州期末)已知一个正数的两个平方根分别是3a-2和a+14,则这个正数是 10. (25-26七年级下广东惠州期末)利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： V0.0625 √0.625 V6.25 V62.5 V625 √6250 √62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律， 若V25.8≈5.08,2.58≈1.61，则V0.258≈ 三、解答题 11.(25-26七年级下·吉林期末)已知a+2的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (I)求a,b的值； (2)求3a-b+6的平方根. 12.(25-26八年级上：河南平顶山阶段检测)观察下列式子： ①8+-8=2+(-2)=0：②i+=1+(-1)=0: im+-0-10-0:@-}-0, 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：一； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数4，b,若 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0,则a+b=0反之也成立： (3)根据(2)中的结论，解答问题：若6-2x与x+1的值互为相反数，求x的立方根， 13.(25-26七年级下·河南许昌·期末)【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律. ①V4x9=6,V4x√9=6： ②16×25=20，V16×V25=20: ③V36×49=42,V36×V49=42: 【规律发现】 (1)计算：V9×25= V100×121= (2)用字母表示你发现的规律 (3③)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：√27=V9x3=V9xV5=33.请你试着化 简下面各式：V⑧= 18= 14.(25-26八年级上河南南阳阶段检测)观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 ()由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动一位，它的 的小数点就相 应的向左或向右移动一位： (2)根据你发现的规律填空：①已知W5.217≈2.284，√521.7≈22.84. 则V0.05217≈ -V52170≈ ②若Vx≈0.02284，则x≈ (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动 一位： ①已知0.000456≈0.07697，则-456≈ ②已知3≈1.442,30≈3.107，则3000≈ 15.(25-26七年级下·陕西期末)先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： 22: 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+3=1+117 ,1,1 V +236 11 1113 V1++4=1+3 13412 (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： 11 1+13+4 (②)运用以上你发现的规律计算： .11 1111 11 1++2+V+2+++3+年+V+g9+100 8/8 专题02 平方根与立方根 常考题型·精准突破 题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重） 题型2 利用算术平方根的非负性解题（高频） 题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分（高频） 题型4 平方根与立方根的综合问题（高频） 题型5 与算术平方根有关的规律探索题（难） 题型6 与立方根有关的规律探索题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是，的平方根是． 2．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）的算术平方根是__________；__________；__________． 【答案】 【详解】解：的算术平方根为； ； . 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________． 【答案】 【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果． 【详解】解：； ∵，， ∴的算术平方根为6； ∵，的平方根为； ∴的平方根为． ◆题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 5．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 6．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． ◆题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a为的整数部分，则__________． 【答案】2 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分，即的值． 【详解】解：，，且， ，即， 的整数部分为，即． 8．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则a的值是_______；的立方根是_______． 【答案】 5 4 【分析】先估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再得到其小数部分，将，代入所求代数式计算结果，最后求出结果的立方根，即可解题． 【详解】解： ， ，即， 的整数部分，小数部分 ， 将， 代入得： ， ， 的立方根是． ◆题型4 平方根与立方根的综合问题 10．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 11．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 12．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． ◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题 13．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 15．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案； （4）运用进行计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：； ； ； ． …… ； （3）解： ． （4）解： ． ◆题型6 与立方根有关的规律探索题 16．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 17．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 18．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平方根、算术平方根与立方根的计算，根据相关定义和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得，A计算正确； B、，B计算错误； C、，故，C计算错误； D、∵，∴，D计算错误． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（     ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图示判断出，，，然后化简进行计算即可． 【详解】解：∵a在0的左边，b在0的右边，且， ∴，，， ∴, , , ． 3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 4．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图2所示)演化而成的．如果图2中，那么的长为(    ) A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】2 【分析】估算的取值范围，确定介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 7．（25-26七年级下·山东德州·期末）的算术平方根是__________，的立方根是__________． 【答案】 / 【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可得到结果． 【详解】解：，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是， ， 的立方根是． 8．（25-26七年级下·四川广安·期末）如果，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出，的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ∴，， 解得，． 将，代入得：． ， 的平方根是． 9．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 合并同类项得 ， 解得 ， 将代入得其中一个平方根为 ， 因此这个正数为 10．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·吉林·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 12．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）观察下列式子： ①；②； ③；④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 ，则反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1) 解：依题意，（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； 故答案为：， （3）解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴x的立方根是． 13．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 14．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 15．（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $