精品解析：广东省江门市广德实验学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（广德班）

广德实验学校2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试题（广德班） 命题：钟伦科 审题：刘玉玲 姓名：_____班级：_____考号：_____ 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案. 【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”， 根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障， 所以电路故障的事件为：. 故选：A. 【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题. 2. 小红参加学校举行的演讲比赛，6位评委对她的评分如下：82，78，85，81，90，88，若选手的最终得分计算需要去掉一个最低分和一个最高分，则小红的最终得分的平均数和方差分别为（ ） A. 83，6.5 B. 87，8.5 C. 83，9.5 D. 84，7.5 【答案】D 【解析】 【分析】去掉一个最低分78和一个最高分90，然后根据平均数及方差的公式计算即可. 【详解】去掉一个最低分78和一个最高分90，最终得分如下：82，85，81，88， 则最终得分的平均数为， 方差为， 故选：D． 3. 某个地区统计某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表： 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 男婴数 2716 4899 6812 8590 这一地区男婴出生的概率约是（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】 易得近四年内的男婴数均接近总新生婴儿数的一半即可判断. 【详解】解析：由表格可知，男婴出生的频率依次是0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了频率的计算,属于基础题型. 4. 一个盒子中装有标号为的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出所有样本点，然后根据古典概型概率公式计算的值，然后利用互斥事件与相互独立事件的定义去判断C D选项即可. 【详解】根据题意可知所有的样本点共有： ， ， ， ， 共个， 事件包含的样本点有：，共个，所以，故A错误； 事件包含的样本点有： ，共个，所以，故B错误； 因为，所以与互斥，故C正确； 因为，，所以，所以与不相互独立，D错误. 故选：C 5. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 6. 已知线段方程是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，，令，且， 记，， 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图： 由图可知，或. 所以的取值范围是. 故选：D 7. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数的定义，可得，根据大小比较即可. 【详解】由中位数的定义，得，众数为， 平均数为 所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数，条形统计图，从条形统计图中获取有效信息是解题关键，属于中档题. 8. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设点的坐标，由线面垂直转化成向量垂直，列方程组，表示出，利用模长公式计算即可. 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚反面朝上”，则（ ） A. 事件M与事件N对立 B. 事件M与事件N相互独立 C. 事件M与事件N都不发生的概率是0.25 D. 因为，所以是必然事件 【答案】BC 【解析】 【分析】写出抛掷两枚硬币包含的所有情况及事件M和事件N包含的情况，再对选项一一分析，结合对立事件，独立事件，必然事件的定义作出判断. 【详解】A选项，抛掷两枚硬币共有4种情况，分别为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 其中事件M包含（正，正），（正，反）两种情况，事件N包含（正，反），（反，反）两种情况， 故事件M与事件N有共同的基本事件（正，反），不对立，A错误； B选项，由A知，，而， 故，事件M与事件N相互独立，B正确； C选项，事件M与事件N都不发生的情况为（反，正），故概率是0.25，C正确； D选项，由C可知，不包含（反，正），不是必然事件，D错误. 故选：BC 10. 一组数据的平均数为7，方差为4，则（ ） A. 数据的平均数为3 B. 数据的平均数为9 C. 数据的标准差为1 D. 数据的方差为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给数据的平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得，，进而求得和即可判断. 【详解】设,则，解得， ，解得，则，故A正确；C正确； 则，，故B错误，D正确. 故选：ACD. 11. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，以及相关向量的坐标，根据空间角的向量求法，一一求解各选项中所求结果，即可判断答案. 【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接, 则平面，, 以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，当时，， 则， 则， 由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于， 故，A正确； 对于B，， 则，由于， 则， 解得或，B错误； 对于C，当时，， 则， 则，故，则，C正确； 对于D，若，则， 则， 则， 则， 解得或（舍），D正确； 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 直线在x轴上的截距是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】直线在轴上的截距是指直线与轴交点的横坐标. 【详解】当时，，得. 所以直线在x轴上的截距是16. 故答案为：16 13. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 14. 三棱锥中，，，设R为外接球半径，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】设三棱锥外接球的球心为，分析得到三点共线，作出辅助线，求出各边长，利用勾股定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】设点在平面的投影为， 因为，则为的外心， 因为，所以的中点即为的外心， 取的中点，连接，， 设三棱锥外接球的球心为，则三点共线， 连接，则， 其中，由勾股定理得， 则， 由勾股定理得，即，解得， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率： （Ⅰ）两人都投中； （Ⅱ）恰好有一人投中； （Ⅲ）至少有一人投中. 【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解； （Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解； （Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解. 【详解】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”， 由于两个人投篮的结果互不影响， 所以与相互独立，与，与，与都相互独立， 由已知可得，，则，； （Ⅰ）“两人都投中”，则； （Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥， 则 ； （Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥， 所以 . 【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 16. 已知的顶点分别为、、 （1）求边上的中线的方程； （2）求的外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出边的中点的坐标，求出所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）设的外接圆方程为，将三个顶点的坐标代入，列出关于 的方程组，求解即得的外接圆的方程. 【小问1详解】 因为、，所以线段的中点为，， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为，即. 17. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，，，根据空间向量的线性运算可得，，进而结合空间向量的数量积运算即可； （2）根据空间向量的线性运算可得，进而利用空间向量模的运算求解即可； （3）先求出平面的法向量，然后根据空间向量中点面距离公式运算求解即可. 【小问1详解】 设，，， 则，， 所以， 因为点，分别是，的中点， 所以，， 所以. 【小问2详解】 ， 则； 【小问3详解】 设（）为平面的一个法向量， 则，，所以， 所以，令，则，， 故为平面的一个法向量， 所以， 又，所以， 所以点到平面的距离为. 18. 某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． （1）现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，求位于区间，，分别抽取的产品件数； （2）再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率． 【答案】（1）3，2，1 （2） 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图利用分层抽样方法求解； （2）利用列举试验的总的基本事件个数和事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 从技术参数位于区间，，三组的产品中抽取6件产品， 则从技术参数位于区间的产品应抽取件； 从技术参数位于区间的产品应抽取件； 从技术参数位于区间的产品应抽取件. 【小问2详解】 从抽取的3件记为，从抽取的2件记为，从抽取的1件记为. 从这6件产品中任选3件产品，样本空间 ， 则， 事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件， 1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件. 则 ，， 所以. 19. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，且且为锐角． （1）求证：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明； （3）若在底面的正投影为菱形的对角线交点，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：设，，，，则， 由题意可得， 则， 故，即； （2） 当时，平面，证明如下： 设时，平面，由平面， 则，， 又， ，， 有 ， 由，则恒成立，即恒有， 有 ， 则，故当且仅当时，平面； （3） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）结合线面垂直性质定理与空间向量线性运算法则计算即可得； （3）利用投影定义结合线面垂直性质定理与空间向量线性运算法则计算可得与的数量关系，再找出平面与平面所成角的平面角，结合三角函数定义与同角三角函数基本关系计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点，连接，由，且底面是菱形， 故点即为菱形的对角线交点，且为等边三角形， 则底面，又平面，则， ，， 则 ， 即有，则， 过点作于点，则即为平面与平面所成角的平面角， 由，则， 则，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广德实验学校2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试题（广德班） 命题：钟伦科 审题：刘玉玲 姓名：_____班级：_____考号：_____ 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为 A. B. C. D. 2. 小红参加学校举行的演讲比赛，6位评委对她的评分如下：82，78，85，81，90，88，若选手的最终得分计算需要去掉一个最低分和一个最高分，则小红的最终得分的平均数和方差分别为（ ） A. 83，6.5 B. 87，8.5 C. 83，9.5 D. 84，7.5 3. 某个地区统计某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表： 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 男婴数 2716 4899 6812 8590 这一地区男婴出生的概率约是（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 4. 一个盒子中装有标号为的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件“两张标签标号之积大于15”，事件“第一张标签标号小于3”，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 5. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 6. 已知线段方程是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚反面朝上”，则（ ） A. 事件M与事件N对立 B. 事件M与事件N相互独立 C. 事件M与事件N都不发生的概率是0.25 D. 因为，所以是必然事件 10. 一组数据的平均数为7，方差为4，则（ ） A. 数据的平均数为3 B. 数据的平均数为9 C. 数据的标准差为1 D. 数据的方差为9 11. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 直线在x轴上的截距是_____． 13. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 14. 三棱锥中，，，设R为外接球半径，则_____ 四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率： （Ⅰ）两人都投中； （Ⅱ）恰好有一人投中； （Ⅲ）至少有一人投中. 16. 已知的顶点分别为、、 （1）求边上的中线的方程； （2）求的外接圆的方程． 17. 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，计算： （1）； （2）求． （3）求点到平面的距离． 18. 某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． （1）现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，求位于区间，，分别抽取的产品件数； （2）再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率． 19. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，且且为锐角． （1）求证：； （2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明； （3）若在底面的正投影为菱形的对角线交点，且，求平面与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $