精品解析：甘肃省张掖中学2026-2027学年高三上学期9月学业质量检测数学试卷（A卷）

张掖中学2026-2027学年秋学期9月学业质量检测 高三数学考试试卷（A卷） 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 3. 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，得到关于的方程，由此求得. 【详解】由题可知:， 所以． 4. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 7. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 8. 已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以. 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案. 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由可得， 若，则；若，则. 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上所述，当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点， 函数的定义域为，， 由，可得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 16. 已知函数，． （1）求； （2）求的最小正周期和最大值； （3）讨论在区间上的单调性． 【答案】（1） （2） 最小正周期为，最大值为 （3） 单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）由可得出，结合的取值范围可得出的值； （2）由三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式、最值可得出结果； （3）由可得出的取值范围，结合正弦型函数的单调性可得出函数在上的增区间和减区间. 【小问1详解】 因为， 所以，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ， 所以的最小正周期为，最大值为. 【小问3详解】 当时，， 由，得，所以的单调递减区间为； 由，得，所以的单调递增区间为. 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125 （2）分布列为： 0 1 2 P 方差为 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义直接计算即可； （2）由抽样比确定抽取的一级口罩个数，再由超几何分布计算出相应概率可得分布列，求出方差； （3）求出X的数学期望的表达式，构造函数并求导得出取最大值时正整数n的值. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为x， 则， 解得，故第60百分位数为125； 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 P 数学期望为， 方差为； 【小问3详解】 X的可能取值为0，n，2n， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当，即时，取最大值． 19. 已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明:由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖中学2026-2027学年秋学期9月学业质量检测 高三数学考试试卷（A卷） 注：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 3. 已知函数，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 7. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________. 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 14. 已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 16. 已知函数，． （1）求； （2）求的最小正周期和最大值； （3）讨论在区间上的单调性． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 19. 已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $