专题11 与线段有关的计算七大题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册
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内容正文：
专题11 与线段有关的计算七大题型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、相交线交点个数问题 1
题型二、线段作图 15
题型三、线段中点有关的计算 23
题型四、线段n等分点的有关计算 36
题型五、线段之间的数量关系的有关计算 41
题型六、线段上的动点有关计算 51
题型七、两点间距离有关计算 65
B综合攻坚・能力跃升
题型一、相交线交点个数问题
1．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（ ）
A．1 B．2
C．3或2 D．1或2或3
【答案】D
【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题
本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点．
【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；
当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；
当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；
故选D．
2．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（ ）个交点．
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案．
【详解】根据题意可知在同一平面内，
2条直线相交最多有1个交点，
3条直线相交最多有个交点，
4条直线相交最多有个交点，
10条直线相交最多有个交点．
故选：C．
3．平面内三点可确定的直线的条数为（ ）．
A．3 B．0或1 C．1或3 D．0
【答案】C
【分析】本题考查两点确定一条直线，分三点共线和三点不共线两类讨论求解即可得到答案．
【详解】解：当三点共线时，能确定1条直线，
当三点不共线时，能确定3条直线．
故选：C．
4．平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（ ）．
A．8条 B．6条 C．5条 D．1条
【答案】B
【分析】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键．
根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他3个点画一条直线，共可以画（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果．
【详解】解：∵每个点都可以和其他3个点画一条直线，
∴共可以画（条）直线，但又有重合的直线，
∴实际条数为（条）．
故选：B．
5．同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．根据题意画出图形，即可看出答案．
【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线，
故选：C．
6．平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析三点在同一平面内的位置关系，平面上三个点的位置关系有两种情况：三点共线或不共线，分别对应不同的直线条数
【详解】解：若三个点在同一直线上，则每两个点确定的直线均为同一条，此时只能画出1条直线，
若三个点不在同一直线上，则每两个点确定一条不同的直线，共能画出3条直线，
综上，根据点的位置不同，可画出的直线条数为1或3．
故选D
7．(24-25七上·福建福州超德中学·)如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次．
【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，
∵图中有线段、、、、、，共6条线段，
∴发出警报的点P最多有6个．
故选：D．
8．如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（ ）
A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条
C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条
【答案】B
【分析】本题考查的是直线、射线和线段的含义以及它们的计数方法，理解直线、射线和线段的含义是解题的关键．根据直线、射线、线段的含义：“线段有2个端点；射线有一个端点；直线无端点．”结合它们的计数方法求解，即可解题．
【详解】解：由图知，图中的线段有，，，，，，，共8条；
图中的射线有，，，，，，，，，共10条；
图中的直线有共1条；
故选：B．
9．如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（ ）
A．条、条、条 B．条、条、条
C．条、条、条 D．条、条、条
【答案】B
【分析】本题考查的是直线、射线和线段的含义以及它们的计数方法，理解直线、射线和线段的含义是解题的关键．
根据直线、射线、线段的含义：“线段有个端点；射线有个端点；直线无端点．”结合它们的计数方法来求解即可．
【详解】解：题图中的线段为：、、、、、、、，所以题图中的线段条数为；
射线为：、、、、、，还有以，为端点的四条射线，所以题图中的射线条数为；
直线为：，所以题图中的射线条数为；
故选：B．
10．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线．
【答案】 3 6 1
【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答．
【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点，
根据直线的特征可知，图中有1条直线；
根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线，
所以一共有（条）射线；
根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段．
即图中有1条直线，6条射线，3条线段．
故答案为：1；6；3．
11．如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线．
【答案】 6 ，，，，， 8 10 10 15 12
【分析】本题考查了线段和射线的有关知识，读懂题目信息，并学会准确数出线段和射线的条数，做到不重不漏是解题的关键．
结合图形，直接数出线段，射线的个数即可．
【详解】解：图中共有6条线段，它们分别是，，，，，；
图中共有8条射线；
若直线l上有五个点，则共10条线段，10条射线；
若直线l上有六个点，则共有15条线段，12条射线．
故答案为：6；，，，，，；8；10；10；15；12．
12．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票．
【答案】 10 20
【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，
∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价，
∴图中线段的条数即为票价种类数，
∵图中有线段，共10条线段，
∴有10种不同的票价，
∵两个站之间有往返票，
∴两个站之间有2种票，
∴要准备种车票，
故答案为：10；20．
13．(24-25七上·河南郑州郑东新区春华学校·期中)小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票．
【答案】 45种 90种
【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解．
【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)．
故答案为：45种；
有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)．
故答案为：90种．
14．经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段；
【答案】 无数
【分析】本题考查了直线，线段定义，根据直线定义可知经过一个点可作无数条直线，根据经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），，找出规律即可求解，掌握直线，线段定义是解题的关键．
【详解】解：经过一个点可作无数条直线，
经过个点最多可作线段（条），
经过个点最多可作线段（条），
经过个点最多可作线段（条），
经过个点最多可作线段（条），
；
∴经过个点最多可作线段（条），
故答案为：无数，．
15．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ．
【答案】、、、或
【分析】本题考查了平面上直线的确定方法，解答问题的关键是运用分类讨论思想，考虑到可能出现的所有情况．
分类画出图形即可求得画的直线的条数．
【详解】解:如下图，分以下四种情况：
当五点在同一直线上，如图：
故可以画条不同的直线；
当有四个点在同一直线上，
故可以画不同的直线；
当有两个三点在同一直线上，
故可以画条不同的直线；
当有三个点在同一直线上，
故可以画不同的直线；
当五个点都不在同一直线上时，
因此当时，一共可以画条直线，
故可以作条、条、条，条或条直线，
故答案为：、、、或．
16．(24-25七上·河北秦皇岛青龙县·期中)如图，图中线段共有 条．
【答案】
【分析】根据线段和直线的性质，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键；
根据图形结合线段的性质求解即可；
【详解】本图中的线段有：，，，，，，共条线段；
故答案为：
17．【试验观察】
（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：
图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线；
图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线；
图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线．
【探索归纳】
（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示）
【解决问题】
（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？
【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律．
（1）根据图形画出直线即可；
（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（3）将代入公式即可求解．
【详解】解：（1）根据图形得：
如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；
故答案为：3，6，10；
（2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上，
∴（条）
那么经过两点最多可以画条直线；
故答案为：；
（3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次，
把代入，得（次）．
答：他们共握了次手．
18．（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条；
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段；
（3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
（4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票．
【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380
【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；
（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
（4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关．
【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段，
以点C为左端点向右的线段有线段，
以点D为左端点的线段有线段，
∴共有（条）．
故答案为：6；
（2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则，
∴倒序排列有，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当时，．
答：一共要进行45场比赛．
（4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关，
∴根据上述问题可得，，
故答案为：．
19．(24-25七上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）．
【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？
【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛
【分析】本题主要考查了线段的条数问题，图形类的规律探索，一元一次方程的应用，熟知相关知识是解题的关键．
（1）两点确定一条线段，据此求解即可；
（2）求出线段上有2个点（包括端点），线段上有3个点（包括端点），线段上有4个点（包括端点）时，线段的条数，进而总结规律求解即可；
（3）把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数，结合（2）所求可求出比赛场次；6支球队两两比赛，那么每支球队要比赛5场，设该队胜x场比赛，则该队负了场，根据积分为8分建立方程求解即可．
【详解】解：观察思考：由题意得，图中线段有线段，共6条；
模型构建：当线段上有2个点（包括端点）时，有1条线段，
当线段上有3个点（包括端点）时，有条线段，
当线段上有4个点（包括端点）时，有条线段，
……，
以此类推，可知线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有条线段；
拓展应用：把6支球队看做一条线段上的6个点（包括端点），比赛场次即为线段的条数，
∴一共比赛场；
设该队胜x场比赛，则该队负了场
∴，
解得，
∴该队胜了3场比赛，
答：一共进行15场比赛，该队胜了3场比赛．
20．往返于甲、乙两地的客车，中途有三站，其中每两站的票价不同．问：
(1)有多少种不同的票价？
(2)要准备多少种车票？
【答案】(1)种；
(2)种．
【分析】本题主要考查了直线上线段的条数和点的个数之间的规律，本题中可以把每一个车站看作直线上的一个点，每一种票价看作两点之间的一条线段，车票具有方向性，所以车票的数量是票价数量的倍．
把每一个车站看作直线上的一个点，每一种票价看作两点之间的一条线段，当直线上有个点时，线段的条数为，根据线段的条数与点的个数之间的关系即可求解；
因为票价没有方向性，而车票具有方向性，可知车票的种类是票价种类的倍．
【详解】（1）解：往返于甲、乙两地的客车，中途有三站，
加上甲、乙两地，共有五站，每两个站之间都有一种票价，
即每个站都和剩下的个站之间有一种票价，
如“”与“”票价相同，
一共有(种)，
答：有种不同的票价；
（2）解：车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但方向不同，
需要准备的车票的种类有：(种)，
答：需要准备种车票．
21．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，．
(1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？
(2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示）
(3)当时，线段总数共有多少条？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了线段的数量问题，用代数式表示图形的规律，代数式求值等知识点，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键．
（1）根据题意，数出线段的条数即可求解；
（2）从图形中发现并总结出一般规律，然后用代数式表示出图形的规律即可；
（3）将，代入（2）中的关系式即可得出答案．
【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条，
答：当线段上有个点时，线段总数共有条；
（2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条，
当线段上有个点时，线段总数共有条，
当线段上有个点时，线段总数共有条，
，
当线段上有个点时，线段总数共有：条，
答：当线段上有个点时，线段总数共有条；
（3）解：当时，
线段总数共有条，
答：当时，线段总数共有条．
22．(24-25七上·山东青岛西海岸区·月考)问题提出：
某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛．
实际应用：
实际应用：
（4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次．
拓展提高：
（5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30
【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键．
（2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛；
（3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛；
（4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次；
（5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种．
【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场；
故答案为：15；
（3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场；
故答案为：；
（4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次；
故答案为：1035；
（5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种．
故答案为：30．
题型二、线段作图
23．(24-25七上·福建泉州南安·期末)如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了作线段、线段的和差，熟练掌握作线段的方法是解题关键．根据线段的和差可得，由此即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴所作的线段是，
故选：A．
24．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图，
①用直尺画直线l；
②在直线l上作线段，；
③在线段的延长线上作线段；
④在线段上作线段．则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
根据线段的和差进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
作图为：
故选：B．
25．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案．
【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点，
∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口，
∴，
故选：C．
26．(24-25七上·河北石家庄栾城区第四十八中学·期中)已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C
27．(23-24七上·浙江杭州拱墅区部分学校·期末)如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
28．(23-24七上·辽宁盘锦盘山县·期末)已知：线段a，b．
求作：线段，使得．
小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；
②则线段．
③在射线上画线段；
④画射线；
你认为正确的顺序是（ ）．
A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键．
先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为．
【详解】解：解如图所示：
④画射线；
①在射线上画线段；
③在射线上画线段；
②则线段．
所以正确顺序为④①③②．
故选C．
29．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段，
正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ．
【答案】 ③②①④
【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到．
【详解】解：正确的作图排序是：③②①④；
，
故答案为：③②①④；．
30．(22-23八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，，．
（1）的面积等于 ；
（2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ．
【答案】 4 见解析
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）以C为圆心，CA长为半径画弧，与BC交于点Q，作∠C的角平分线交AB于P点即可求解．
【详解】解：（1）的面积等于，
故答案为：4；
（2）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；
分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；
连接并延长，交于点；
点，即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作轴对称点，熟悉作对称点的尺规作图方法和点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
31．如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题考查了尺规作图-作一条线段等于已知线段，线段的和差等知识．先作射线，再依次作线段，，再在线段上作，则．
【详解】解：如图，（1）作射线，
（2）以A为圆心，以a长为半径作弧，交射线于点C，则；
（3）以C为圆心，以b长为半径作弧，在交射线于点D，则；
（4）以D为圆心，以c长为半径作弧，交线段于点B，则；
即为所求作线段．
32．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图：
(1)画射线，画线段，画直线；
(2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）；
(3)若，．
比较大小线段 ，依据： ；
比较大小： ．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析；
(3)，由，，则点与的距离大于点与的距离；．
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
（）根据直线，射线，线段的定义画出图形；
（）根据要求画出图形；
（）利用测量法解决问题．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如上图，即为所求；
（3）解：，依据：由，，则点与的距离大于点与的距离；
，
故答案为：，由，，则点与的距离大于点与的距离；．
33．(24-25七上·江苏江阴长泾第二中学与高新区实验学校·)如图，在同一平面内有四个点、、、，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）．
(1)画射线、直线、线段；
(2)在线段的反向延长线上作线段，使得线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）要画出射线、直线、线段，需明确射线、直线、线段的定义，射线是由一点出发向一端无限延伸，直线是向两端无限延伸，线段有两个端点．
（2）要作出线段，需先作出的长度，再减去的长度．
【详解】（1）解：射线：以为端点，经过作射线．
直线：经过、两点作直线．
线段：连接、两点．
如图所示，
（2）解：如图，即为所求，
【点睛】本题主要考查了射线、直线、线段的定义以及线段的和差作图，熟练掌握这些基本概念和作图方法是解题的关键．
34．(24-25七上·福建漳州第八中学·月考)如图，已知直线和点、、．
(1)用适当的语句表述点与直线的位置关系：___________；
(2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）；
①画直线和射线；
②在射线上作线段，使得为线段的中点；
【答案】(1)点A在直线l上；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系、直线和射线的定义以及线段中点的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键．
（1）根据点与直线的位置关系的定义来判断．
（2）①依据直线和射线的定义进行作图．②按照线段中点的定义来完成作图．
【详解】（1）解：由图可知，点A在直线l上，
故答案为：点A在直线l上；
（2）解：①如图，直线和射线为所求；
②以点B为圆心，以PB的长度为半径画弧，交射线PB于点C，此时B为线段PC的中点．
35．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)（1）已知线段，求作线段，使．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如果已知线段，作射线，在射线上依次截取，在射线上截取．若为线段的中点，为线段的中点，请直接写出线段的长___________．（用含的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）或．
【分析】本题考查了两点间的距离，基本作图，以及线段中点的计算，准确把握线段的和差关系是解题的关键．
（1）作射线，在射线上依次截取，在线段上截取即可；
（2）分当点B在线段上时和当点B在线段的延长线上时两种情况求解．
【详解】解：（1）如图，线段即为所求；
（2）当点B在线段上时，如图：
∵，
∴．
∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，
∴；
当点B在线段的延长线上时，如图：
∵，
∴．
∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，
∴
综上可知，线段的长为或．
题型三、线段中点有关的计算
36．如图，已知，是线段上任意两点，是的中点，是的中点．若，，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．
首先求出，然后由线段中点的性质得到，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
37．如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段的和与差及线段中点间的计算，熟练运用线段的和与差计算方法进行求解是解决本题的关键．
根据点D是线段的中点，可得到的长，再根据点C是线段的中点，可得到的长，即可求解．
【详解】解：∵点D是线段的中点，，
∴，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴．
故选：C
38．已知线段和点，如果，且，则（ ）
A．点为中点 B．点在线段的延长线上
C．点在线段外 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和线段长度关系，解题的关键在于利用条件确定点 P 必须在线段 上，再结合判断 P 为 的中点．结合三角形三边关系及垂直平分线性质分析即可求解．
【详解】解：，
点P必在线段上，
，且点P在线段上，
P在的垂直平分线上，
点为中点，
故选：．
39．如图，若，，且是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可根据线段中点的性质以及线段之间的和差关系来求解的长度．已知是的中点，可得到与、的关系，再结合和的长度求出的长度，进而求出的长度．本题主要考查了线段的中点性质以及线段之间的和差关系，熟练掌握线段中点的定义（若点为线段的中点，则）和线段和差的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，
∴．
∵，，
∴
．
∵，，
∴．
故选：B．
4．(22-23七上·山东滨州邹平·期末)如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，弄清楚线段的和差关系是解题的关键．
根据线段中点的定义可求解，结合可求解，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵点M、N分别是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
41．(23-24七上·山东济南槐荫区·期末)已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的相关计算，掌握线段的中点的计算方法是解题的关键．根据线段的和差，分类讨论，当点C在线段外时；当点C在线段之间时，根据线段的中点的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
，
E为线段的中点，
；
如图所示，
，
，
E为线段的中点，
；
故选：B．
42．(24-25七上·湖北武汉卓刀泉中学·月考)如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确
【详解】解：①、由，得：，故正确；
②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确；
③、由D，E分别是的中点，得：，故正确；
④、由上述结论，得：，故正确；
⑤、由，，得到，又，则，，，
，
，
，，
图中所有线段之和为，故正确，
综上所述，正确的结论共有5个，
故选：D
43．(24-25七上·贵州黔东南苗族侗族凯里第一初级中学·期末)已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解．
【详解】解：当点在点右侧时，如图所示．
， ，
．
是中点，是的中点，
， ，
；
当点在点左侧时，如图所示．
， ，
．
是中点，是的中点，
， ，
．
综上所述：线段MN的长度为5 cm．
故选：B．
44．如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段中点的性质，求两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于x的方程．
设，，，然后表示出，，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】解：∵
∴设，，，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，
∵的中点M与的中点N的距离是
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
45．(23-24六下·上海虹口区·期末)如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握线段的和差运算是解题的关键．
由中点的定义可得，再根据求出，进而即可求解．
【详解】解：，C是的中点，
，
，
，
，
故答案为：14．
46．(24-25七上·山东青岛·期末)已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可．
【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图，
∵，, ，
∴，
∵、分别是线段的中点与的中点，
∴，
∴；
当点在线段上时，如图，
∵，,，
∴，
∵、分别是线段的中点与的中点，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度是或，
故答案为：或．
47．(24-25七上·山东滕州鲍沟中学·期末)线段，点C为线段上的三等分点，当点D为线段的中点，则线段的长为 ．
【答案】2或4
【分析】此题主要考查线段之间的关系，中点的定义，解题的关键是熟知线段的和差关系.
根据点C是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．
【详解】解：如图，
点C是线段上的三等分点， ，
，
D是线段的中点，，
；
如图，
点C是线段上的三等分点， ，
，
D是线段的中点，，
；
则的长为2或4．
故答案为：2或4
48．(24-25七上·江苏扬州江都区第三中学·月考)如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果．
【详解】解：是和的中点，
，
是和的中点，
，
是和的中点，
，
，
发现规律：，
当时，，
故答案为：．
49．(24-25七上·河南南阳第二十一学校·月考)有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是
【答案】2或14
【分析】本题考查了线段中点及“折中点”的概念，解题的关键是理解折中点的定义，分情况讨论点D的位置（在或上），再结合线段长度关系列方程求解．由E是中点及，得；分D在上和上两种情况，根据“折中点分折线为等长两部分”列方程，求的长．
【详解】∵E是的中点，且，
∴．
分析折中点D的位置（分两种情况）：
折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”．
情况1：D在上，
此时为从A到D的折线长，且．
由折中点定义：，即，解得．
情况2：D在上，
此时从A到D的折线长为．
由折中点定义：，即，解得．
故答案为：2或14．
50．如图，已知点，在线段上，是的中点，是的中点．若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练掌握各线段之间的关系是解题的关键．
先得到，根据线段中点的意义得到，最后再由求解即可．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵点是的中点，是的中点，
∴，
∴．
51．(24-25七上·甘肃兰州第四十六中·)已知A，B，C三点在同一条直线上，点M，N分别为线段的中点，且，，求的长．
【答案】或35
【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是分类讨论．
根据题意画出图形，分两种情况讨论，根据线段的中点和线段的和差进行求解即可．
【详解】解：①如图所示，当点在点之间时，
∵点M，N分别为线段的中点，
∴，
∴；
②如图所示，当点在线段延长线上时，
∵点M，N分别为线段的中点，
∴，
∴；
综上，的长为或35．
52．(24-25七上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中)已知点M在数轴原点的右侧，到原点的距离等于2，将点M向左平移3个单位长度后得到点N
(1)在数轴上标出点M和点N
(2)求线段的长度
(3)如果点A到点M和点N的距离相等，写出点A所表示数的相反数
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点，相反数的定义．
（1）根据题干在数轴上标出点M和点N即可；
（2）用M表示的数减N表示的数即可；
（3）先求出点A表示的数，再求其相反数即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）
答：线段的长度为3；
（3）因为点A到点M和点N的距离相等，所以点A表示的数为：
所以点A所表示的数的相反数是
53．(23-24七下·广东兴宁沐彬中学·)如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是的中点，且a、b满足．
(1)求点C表示的数；
(2)若点P从A点出发向右运动，点M为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值；
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】本题考查了整式的加减，绝对值及平方运算的非负性，中点公式，数轴上的两点之间距离公式等，牢记中点公式是解题的关键．
(1)首先由绝对值及平方运算的非负性，可求得，再根据点C是的中点，即得点C表示的数；
(2)设点P运动的速度为v，时间是t，得点P表示的数和M表示的数，从而得与，据此即可证得．
【详解】（1）解：
，
点C是的中点，
点C表示的数是；
（2）证明：设点P运动的速度为v，时间是t，则点P表示的数是，
点M为的中点，
点M表示的数是，
，，
，
为定值．
54．(24-25七上·江苏扬州江都区第三中学·月考)如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)求线段的长；
(3)若点E在直线上，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据图形，即可解答；
（2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：，
故答案为：6；
（2）点B为的中点，，
，
，
，
的长为；
（3）分两种情况：
当点E在线段的延长线上时，如图：
，
；
当点E在线段上时，如图：
，
；
综上所述：的长为或．
55．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，．
(1)求的长；
(2)点是线段的中点吗？为什么？
【答案】(1)EC
(2)点是线段的中点，见解析
【分析】本题考查了线段的比例分配、中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是根据线段比例设未知数，结合已知长度求出各段线段的长度，再利用中点性质解决问题．
（1）①由，设每份为x，结合求x；②计算总长，根据E是中点得长度；③用求．
（2）①计算和的长度；②比较与的关系，判断B是否为中点．
【详解】（1）解：∵两点把线段分成三部分，
∴设，，．
∵，
∴，解得．
∴．
∵E是线段的中点，
．
∴．
（2）点B是线段的中点，理由如下：
由（1）知，
∴．
∵E是的中点，，
．
∴，即．
∴点B是线段的中点．
56．(24-25七上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·)【问题背景】
如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点．
【问题探究】
（1）如图1，求线段的长；
（2）如图2，点是线段上的一点，且满足，
①求线段的长；
②若点是线段上的一点，，求的长．
【答案】（1）4；（2）①10，②7或1
【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论．
（1）根据线段中点进行求解即可；
（2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果；
②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论．
【详解】解：（1），点是的中点，
．
点是线段的中点，
．
（2）①，，
，
，
．
②，，
．
当点在点左边时，，，
．
当点在点右边时，，，
．
综上可得的长为7或1．
题型四、线段n等分点的有关计算
57．已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，如图：
∵，
∴；
当时，如图：
则：，
∵，
∴，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
58．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】②④/④②
【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵是的三等分点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确的有②④，
故答案为：②④．
59．已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长．
【答案】
【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，由中点的定义可得，进而利用线段的差计算解答即可．解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【详解】解：如图：
∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），∴，
∴，，
∴．
即的长为．
60．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动，
(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)当点C是线段的三等分点时，求的长．
【答案】(1)13
(2)16或12
【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解．
（1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；
（2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，，
为中点，
，
，
，
；
（2）解：点是线段的三等分点，，
当点靠近点时，，
，
；
当点靠近点时，，
．
61．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______；
(2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
如图，，分别是，的中点，则______；
如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长；
若，分别是，的等分点，即，，则______．
【答案】(1)；
(2)；；．
【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得；
由，分别是，的中点，可得，根据可得；
根据、，可知、，所以可得，故从而可得:；
由，，知，，即得，从而可得：
【详解】（1）解：因为，，
，
点、分别是、的中点，
，，
；
故答案为：；
（2）因为、分别是、的中点，
，，
，
，
；
故答案为：；
，，
，，
，
，
；
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
题型五、线段之间的数量关系的有关计算
62．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：，
∵，即，
∴，即线段是最长的一段，
∵最长的一段为 ，
∴，解得，
∴这条绳子的原长为；
（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：，
，
∴线段是最长的一段，
∵最长的一段为，
∴，解得，
∴，
∴这条绳子的原长为；
故选：C．
63．(24-25七上·山东滕州北辛中学·)如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了两点间的距离的应用，解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个解．
根据比例设，则，分为两种情况：①当含有线段的绳子最长时，，②当含有线段的绳子最长时，，求出每个方程的解，代入求出即可．
【详解】解：根据题意，设，则，
①∵将一根绳子对折后得到线段，从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，
∴当含有线段的绳子最长时，，
解得：，
即绳子的原长是 ；
②当含有线段的绳子最长时，，
解得：，
即绳子的原长是；
故答案为或．
故选：C.
64．(24-25七上·江苏无锡天一中学·期末)如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm
【答案】C
【分析】本题考查了线段计算的应用．熟练掌握线段的和差倍分关系，是解题的关键．
设，则，分为两种情况：①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为12列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解．
【详解】解：∵，
∴设，则，
①当A为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，
则绳子最长时，，解得：；
即绳子的原长是；
②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，，
则绳子最长时，，解得：；
即绳子的原长是；
这根绳子原来的长度为或．
故选：C．
65．(24-25七上·山西太原志达中学·月考)如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为；若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．48或64 B．96 C．48或96 D．64或96
【答案】C
【分析】本题考查线段的和与差，分点是对折点和点为对折点，两种情况进行讨论求解，根据剪断后最长的一段为，得到最长的的或的长，进行求解即可．
【详解】解：当点为对折点时，剪断后有3段，
∵，
∴剪断后3段的长度相等，均为的长，即3段的长度均为，
∴绳子的原长为：；
当点为对折点时，剪断后最长的一段为的长，即：，
∵，
∴绳子的原长为；
故选C．
66．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．
根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答．
【详解】解：∵，是的中点，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∵，是的中点，
∴，
．．．
∴，
∴．
∵是的中点，
∴．
故选：B．
67．(24-25七上·吉林吉林船营区吉林七中大学区·期末)如图所示，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．
解：
，
，
又E为的中点，
，
，D为的中点，
，
．
【答案】12，，42，21，，15，6．
【分析】本题考查了线段的和差计算及线段中点的性质，解题的关键是利用中点的定义（将线段分为相等的两部分）求出相关线段的长度，再通过线段间的和差关系计算目标线段的长度．
根据与的数量关系，计算的长度；由求出的总长；利用中点性质分别求出的一半和的一半；通过计算得出的长度．
【详解】解：
又∵E为的中点，
∵为的中点，
68．(24-25七上·甘肃张掖肃南县·期末)如图，是线段的中点，点在线段上，，且．
(1)补全求线段的长的过程；（括号中填线段，横线上填数字）
解：因为是线段的中点，
所以（ ） ．
因为点在线段上，，
所以 ，
所以 ；
(2)在图中，用尺规在线段上找一点，使得，并比较与的大小（直接写结果）．
【答案】(1)；6；4；；1．
(2)见解析，
【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差，作线段等于已知线段，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据已知条件以及中点的定义、线段的和差关系填空即可．
（2）以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点即为所求；由题意得，，则可得．
【详解】（1）解：因为是线段的中点，
所以．
因为点在线段上，，
所以，
所以．
故答案为：；；；；1．
（2）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，
则点E即为所求．
因为是线段的中点，
所以．
因为，
所以，
所以．
69．(24-25七上·重庆万州区·期末)如图，点为线段上一点，为线段的中点，且．
(1)若，求的长；
(2)若为线段的中点，，求的长．
【答案】(1)的长为
(2)的长为
【分析】本题考查线段和差倍分关系，涉及线段中点定义、一元一次方程的运用等，数形结合，准确表示出线段之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
（1）根据题中条件，由得到长，进而求出，结合为线段的中点，确定，代值求解即可得到答案；
（2）由，可设，由线段中点定义，数形结合，由列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
为线段的中点，
，
即的长为；
（2）解：，
可设，
为线段的中点，
，
为线段的中点，
，
，
，解得，
，
即的长为 ．
70．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为．
根据题意回答下列问题：
(1)当时，______；当时，______．
(2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点．
①若，求线段的长；
②若，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)①，②线段的长为或
【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键；
（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解；
（2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解；
②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，，
，
故答案为：，
（2））①由题意，得，，
当点，相遇时，，，
则，
所以，
因为，
所以，
所以；
②由①可得，，
因为，
所以，
当点C在点D左侧时，，
当点C在点D右侧时，，
故线段的长为或．
71．如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点．
(1)若，，，求的长度．
(2)若，，请直接表示的长度（用含a，b的代数式）．
【答案】(1)21
(2)
【分析】本题考查了两点间的距离，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据已知可求出，再根据线段的中点定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴的长度为21；
（2）解：∵，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为．
72．(24-25七上·河北张家口桥西区·期中)数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．嘉琪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，m，，借助圆规，在数轴上画出原点O；
操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数2与表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，求m；
操作三：（3）从数轴上（如图2）剪下9个单位长度（从到8）的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值．
【答案】操作一：；操作二：2024；操作三：，，
【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，
（1）根据，相距一个单位，故原点在右边一个单位处，利用刻度尺测量即可得出答案；
（2）根据对称性可列出方程计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是，由题意可得：，
根据三条线段的长度之比为，设每一份为，可列，解得：，
如图1，当时，设，，，得出、、的值，计算得的值，同理可得出如图2、3对应的的值．
【详解】解：（1），相距一个单位，故原点在右边一个单位处，
如图：原点即为所求；
（2）由折叠可知：
，
解得：；
故答案为：2024；
（3）设折痕处对应的点所表示的数是，
如图1，
由题意可得：，
三条线段的长度之比为，
设每一份为，
，
解得：，
当时，
则，，，
，，，
，
如图2，
当时，
则，，，
，，，
，
如图3，
当时，
则，，，
，，
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
题型六、线段上的动点有关计算
73．(23-24七上·山东临沂蒙阴县·期末)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①B对应的数是；
②点P到达点B时，；
③时，；
④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长，
再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④；
【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，
∴B对应的数为，故①正确；
∵，
∴点P到达点B时，，故②是正确的；
当点P在点B右边时，
∵，
∴，
∴；
当点P在点B左边时，
∵，
∴，
∴，
∴时，或，故③错误；
在点P的运动过程中，当点P在点B右边时，
；
在点P的运动过程中，当点P在点B左边时，
；
∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误；
∴正确结论有①②，
故选：A．
74．(24-25七上·陕西西安爱知中学·期末)如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．
【详解】解：运动后，，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴，故①正确；
设运动秒，则，
∵为的中点，为的中点，
，
∴，
，
∴的值不变，故②错误；
，
，
解得：，故③正确；
故选：D．
75．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（ ）．
A．、或 B．、或
C．、、或 D．、、或
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答．
【详解】解：线段，O是线段上的中点，
，
设运动时间为，则，
，
，
点P沿以的速度运动，
分两种情况讨论：
①当点P沿运动时，点P到达点需要时间，
当时，，
，
，
，
或，
解得：或，
②当点P沿运动时，此时，，
，
，
，
，
或，
解得：或，
综上所述，当时，运动时间为、、或．
故选：C．
76．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，请求出的长；
(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键．
（1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解；
（2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解；
（3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，
则，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（2）解：设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
则；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴,
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，
．
综上所述，或．
77．定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
(1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
(2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
【答案】(1)2
(2)①，或；②或；③或
【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用；
（1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解；
（2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解；
②根据题意列出方程，解方程，即可求解．
③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，即
∴
（2）解：①依题意，，或
∴，或
②∵
∴或
解得：或；
③相遇时，
当时，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：
当时，如图所示，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
点的速度大于的速度，当时，
当点在点的右侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
当点在点的左侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴．
解得：．
综上所述，的值为或．
78．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)，
(2)①6.5；②或．
【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长；
（2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果；
②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，．
∵，，，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示．
∵，，
∴，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②分两种情况：
（i）如图1所示，当点F在点C右侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（ii）如图2所示，当点F在点C左侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
79．如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示的长
(2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？
(3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值．
【答案】(1)或；
(2)当点在射线上运动时，出发秒后；
(3)①，12．
【分析】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可；
（2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可；
（3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可．
【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则，
当点在线段上时，，
当点在的延长线上时，，
综上可知，的长为或；
（2）解：，点为的中点，
，
①当点在线段上时，此时，，
，
，
；
②当点在的延长线上时，此时，，
，此方程无解；
即当点在射线上运动时，出发秒后；
（3）解：当点在线段的延长线上运动时，
，，
点为的中点，点为的中点，
，，
，
，
的长度不变，①结论正确；
，，
，
的值是变的，②结论错误．
80．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”．
(1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）；
(2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示）
(3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点．
【答案】(1)是
(2)或或
(3)为或时，点恰好是线段的二倍点
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
（1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；
（2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.
【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”，
故答案为：是；
（2）解：设，则，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
综上所述，或或，
故答案为：或或；
（3）解：(秒)，(秒)，
当时，，，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
答：当为或时，点恰好是线段的二倍点．
81．如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”．
(1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长；
(2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________；
(3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或4或或．
【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
（1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可．
（2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果．
（3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点”
根据“友好点”的定义可得，，
，
，
解得，
．
（2）由题意可知，点N是线段的中点，
不是线段的中点，
当点是靠近点的三等分点时，
有，
，
，
，
，
，
当点是靠近点的三等分点时，
有，
，
，
，
，
．
（3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”，
故P或Q点是“三等分点”．
，
t秒后，，，
当P点是“三等分点”时，，
当时，
有，
解得
当时，
有，
解得，
当Q点是“三等分点”时，，
当时，
有，
解得
当时，
有，
解得
综上所述：或4或或．
题型七、两点间距离有关计算
82．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度．
【答案】
【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：由线段，点是的中点，得
．
由线段的和差，得
，
线段的长度是．
83．(24-25七上·广东潮州饶平县·期末)如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度．
【答案】1
【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键．根据已知，即可求出，进而得出的长，再根据点D为线段的中点，由中点定义可得出的长，最后由即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
点D为线段AB的中点，
，
．
84.(24-25七·四川德阳罗江区·期末)如图，，点是线段上的一点，点、分别是线段的中点．
(1)若，，求线段的长；
(2)若是线段上的点，且，点是线段的中点，求线段的长度．
【答案】(1)；
(2)线段的长度为或．
【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点的性质．
（1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案；
（2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，根据线段中点的性质，可得和，再根据线段的和以及线段的差，可得答案．
【详解】（1）解：∵点分别是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：当点在点的左侧时，
∵点分别是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴
；
当点在点的右侧时，
∵点分别是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴
；
综上，线段的长度为或．
85．如图1，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点．
(1)若，则的长为________；若，则的长为________；由此可推断与的数量关系是________．
(2)如图2，F是线段的中点，若，求线段的长．
【答案】(1)5；12；
(2)6
【分析】此题主要考查了两点间的距离和线段中点的概念，掌握线段的和差计算，灵活运用数形结合思想是解题关键．
（1）根据、分别是、的中点，可得，，进而得知，再分别求解即可；
（2）根据、分别是、的中点，可得，，进而得知，由为的中点，可得，再由即可求解．
【详解】（1）解：、分别是、的中点，
，，
；
、分别是、的中点，
，，
，
，
由此可推断与的数量关系是，
故答案为：5；12；；
（2）解：、分别是、的中点，
，，
；
为的中点，
，
，
．
86．已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）．
(1)当点、运动了，求的长度；
(2)若点、运动时，总有，则______；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长；
（2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案；
（3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，，
，，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，即，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：分两种情况：如图所示，当点在线段上时，
，，
，
，
；
如图所示，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上所述，与的数量关系为或，
故答案为：或．
87．综合与探究：
问题情境：已知：，分别是线段，的中点．
初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长．
问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）．
类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）；（3），图见解析；（4）
【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
（1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度；
（2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在；
（3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，即可求出的长度；
（4）根据，，得，根据中点的性质得，所以．
【详解】解：，点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
线段的长度为；
，
点，分别是线段，的中点．
，，
；
当点在线段的延长线时，如图：
得：；
为线段的中点，为线段的中点，，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴，
即．
1．如图，线段长为，线段长为，点、分别是它们的中点，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，则、两点间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段的运算是解题的关键；
本题没有给出图形，在画图时，应考虑到、、、四点之间的位置关系的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题；
【详解】解：线段长为，线段长为，点、分别是它们的
中点，
，，
分两种情况：
当、 (或、)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
；
当、 (或、)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
；
、两点间的距离为或；
故选：D
2．(24-25七上·湖北武汉武昌区·期末)某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（ ）张车票
A．6 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题．
【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示：
上图共有线段（条），
因为起点或终点不一样都算不同的车票，
所以所有不同的车票有（张），
故选：D．
3．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（ ）
A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③②
【答案】B
【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b．
【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b；
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．
以上说法正确的是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：运动后，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，故①错误；
设运动，则，，
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确；
∵，，
∴，
∴的值不变，故③正确；
∵，，
当时，则，
解得，故④正确；
综上，说法正确的是②③④，
故答案为：②③④．
5．(24-25七·辽宁大连沙河口区·期末)线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,，
(1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长；
(2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长．
【答案】(1)41
(2)49
【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.
（1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长．
（2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
6．如图，线段，点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)试说明：的长与线段的长度无关，总是等于线段长的一半．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查线段的和差关系，解题的关键是掌握线段之间的数量关系，进行解答，即可．
（1）根据题意，点是线段的中点，点是线段的中点，得到，，根据，，求出，再根据，即可获得答案；
（2）根据题意，得到，，再根据，即可．
【详解】（1）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：证明如下：
∵点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴的长与线段的长度无关，总是等于线段长的一半．
7．如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；
(2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是66，求点H表示的数；
(3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t．
【答案】(1)；4
(2)点H表示的数为
(3)或
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是利用绝对值及偶次方的非负性，求出，的值，找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值，进而可得出点A，表示的数；
（2）设点C表示的数为x，则点H表示的数为：，根据图中所有的线段长度和是66，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当运动时间为秒时，得出点表示的数为，点表示的数为，根据，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
，，
，，
点A表示的数为，点表示的数为4．
故答案为：；4．
（2）解：如图，
∵点A表示的数为，点表示的数为4，
设点C表示的数为x，
∴点H表示的数为：，
∴，，，
，，
，
∴，
解得：，
∴，
∴点H表示的数为；
（3）解：当运动时间为秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为：，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵，
∴，
解得：或．
的值为或．
8．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井．
（1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由．
问题拓展：
如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建；
（2）水井要修建几米？
（3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）
【答案】（1）能，见解析；（2）水井要修建120米；（3）甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元
【分析】本题考查线段的性质，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点之间线段最短，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据两点之间线段最短，得到当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，即可；
（2）设乙工程队每天修建x米，根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）如图2：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短”
（2）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，
由题意，得：，解得，
（米）；
答：水井要修建120米
（3）设甲工程队施工m天才能使工程款为35万元，由（2）知：甲工程队每天修建（米），
由题意，得：，
解得，
答：甲工程队施工40天才能使工程款正好是35万元．
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专题11 与线段有关的计算七大题型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、相交线交点个数问题 1
题型二、线段作图 5
题型三、线段中点有关的计算 8
题型四、线段n等分点的有关计算 11
题型五、线段之间的数量关系的有关计算 12
题型六、线段上的动点有关计算 14
题型七、两点间距离有关计算 17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、相交线交点个数问题
1．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（ ）
A．1 B．2
C．3或2 D．1或2或3
2．同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（ ）个交点．
A．15 B．30 C．45 D．60
3．平面内三点可确定的直线的条数为（ ）．
A．3 B．0或1 C．1或3 D．0
4．平面上有四个点，且任何三点都不在同一条直线上，那么过每两点作一条直线，最多可以作（ ）．
A．8条 B．6条 C．5条 D．1条
5．同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定
6．平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
7．(24-25七上·福建福州超德中学·)如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，点P沿直线l从左向右移动，当点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（ ）
A．5条、6条、1条 B．8条、10条、1条
C．8条、4条、1条 D．6条、2条、1条
9．如图，图中的线段、射线、直线的条数分别为（ ）
A．条、条、条 B．条、条、条
C．条、条、条 D．条、条、条
10．如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线．
11．如图A，B，C，D为直线l上的四个点，则图中共有 条线段，它们分别是 ，图中共有 条射线．若直线l上有五个点，则共 条线段， 条射线．若直线l上有六个点，则共有 条线段， 条射线．
12．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票．
13．(24-25七上·河南郑州郑东新区春华学校·期中)小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票．
14．经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段；
15．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ．
16．(24-25七上·河北秦皇岛青龙县·期中)如图，图中线段共有 条．
17．【试验观察】
（1）如图①，已知两点确定一条直线，则：
图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线；
图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线；
图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线．
【探索归纳】
（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示）
【解决问题】
（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？
如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；
18．（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条；
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段；
（3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
（4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票．
19．(24-25七上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)【观察思考】如图，线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 条．
【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段（用含m的代数式表示）．
【拓展应用】若有6支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），且每场比赛都要分出胜负，现在每队胜1场得2分，负一场得1分，某队一共得8分，则一共进行多少场比赛，该队胜了多少场比赛？
20．往返于甲、乙两地的客车，中途有三站，其中每两站的票价不同．问：
(1)有多少种不同的票价？
(2)要准备多少种车票？
21．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，．
(1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？
(2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示）
(3)当时，线段总数共有多少条？
22．(24-25七上·山东青岛西海岸区·月考)问题提出：
某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛．
实际应用：
实际应用：
（4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次．
拓展提高：
（5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
题型二、线段作图
23．(24-25七上·福建泉州南安·期末)如图，已知线段，作一条线段使它等于．作法：①作射线；②用圆规量出线段的长，在射线上顺次截取；③用圆规量出线段的长，在线段上截取，那么所作的线段是（ ）
A． B． C． D．
24．(24-25七上·天津南开区·期末)如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图，
①用直尺画直线l；
②在直线l上作线段，；
③在线段的延长线上作线段；
④在线段上作线段．则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
26．(24-25七上·河北石家庄栾城区第四十八中学·期中)已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（ ）
A． B． C． D．
27．(23-24七上·浙江杭州拱墅区部分学校·期末)如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（ ）
A． B． C． D．
28．(23-24七上·辽宁盘锦盘山县·期末)已知：线段a，b．
求作：线段，使得．
小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；
②则线段．
③在射线上画线段；
④画射线；
你认为正确的顺序是（ ）．
A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③
29．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段，
正确的作图排序是： ．所求作的线段是线段 ．
30．(22-23八上·天津红桥区·期末)如图，在中，，，．
（1）的面积等于 ；
（2）点，分别是边，上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明） ．
31．如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使．（保留作图痕迹）
32．如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图：
(1)画射线，画线段，画直线；
(2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得（保留尺规作图痕迹）；
(3)若，．
比较大小线段 ，依据： ；
比较大小： ．
33．(24-25七上·江苏江阴长泾第二中学与高新区实验学校·)如图，在同一平面内有四个点、、、，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（注此题作图不要求写出画法和结论）．
(1)画射线、直线、线段；
(2)在线段的反向延长线上作线段，使得线段．
34．(24-25七上·福建漳州第八中学·月考)如图，已知直线和点、、．
(1)用适当的语句表述点与直线的位置关系：___________；
(2)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）；
①画直线和射线；
②在射线上作线段，使得为线段的中点；
35．(24-25七上·辽宁丹东东港·期末)（1）已知线段，求作线段，使．（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如果已知线段，作射线，在射线上依次截取，在射线上截取．若为线段的中点，为线段的中点，请直接写出线段的长___________．（用含的式子表示）
题型三、线段中点有关的计算
36．如图，已知，是线段上任意两点，是的中点，是的中点．若，，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
38．已知线段和点，如果，且，则（ ）
A．点为中点 B．点在线段的延长线上
C．点在线段外 D．无法确定
39．如图，若，，且是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．(22-23七上·山东滨州邹平·期末)如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
41．(23-24七上·山东济南槐荫区·期末)已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
42．(24-25七上·湖北武汉卓刀泉中学·月考)如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
43．(24-25七上·贵州黔东南苗族侗族凯里第一初级中学·期末)已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（ ）
A． B． C．或 D．或
44．如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ．
45．(23-24六下·上海虹口区·期末)如图，已知，C是的中点，D是上一点，，则 ．
46．(24-25七上·山东青岛·期末)已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ．
47．(24-25七上·山东滕州鲍沟中学·期末)线段，点C为线段上的三等分点，当点D为线段的中点，则线段的长为 ．
48．(24-25七上·江苏扬州江都区第三中学·月考)如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ．
49．(24-25七上·河南南阳第二十一学校·月考)有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是
50．如图，已知点，在线段上，是的中点，是的中点．若，，求的长．
51．(24-25七上·甘肃兰州第四十六中·)已知A，B，C三点在同一条直线上，点M，N分别为线段的中点，且，，求的长．
52．(24-25七上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中)已知点M在数轴原点的右侧，到原点的距离等于2，将点M向左平移3个单位长度后得到点N
(1)在数轴上标出点M和点N
(2)求线段的长度
(3)如果点A到点M和点N的距离相等，写出点A所表示数的相反数
53．(23-24七下·广东兴宁沐彬中学·)如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，C是的中点，且a、b满足．
(1)求点C表示的数；
(2)若点P从A点出发向右运动，点M为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值；
54．(24-25七上·江苏扬州江都区第三中学·月考)如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且．
(1)图中共有 条线段；
(2)求线段的长；
(3)若点E在直线上，且，求线段的长．
55．(24-25七上·安徽桐城第二中学·期末)如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，．
(1)求的长；
(2)点是线段的中点吗？为什么？
56．(24-25七上·陕西咸阳渭城区第二初级中学·)【问题背景】
如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点．
【问题探究】
（1）如图1，求线段的长；
（2）如图2，点是线段上的一点，且满足，
①求线段的长；
②若点是线段上的一点，，求的长．
题型四、线段n等分点的有关计算
57．已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ．
58．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
59．已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长．
60．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动，
(1)如图1，当E为中点时，求的长；
(2)当点C是线段的三等分点时，求的长．
61．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______；
(2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
如图，，分别是，的中点，则______；
如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长；
若，分别是，的等分点，即，，则______．
题型五、线段之间的数量关系的有关计算
62．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
63．(24-25七上·山东滕州北辛中学·)如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
64．(24-25七上·江苏无锡天一中学·期末)如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A．18cm B．48cm C．18cm或36cm D．18cm或48cm
65．(24-25七上·山西太原志达中学·月考)如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为；若，则这条绳子的原长为（ ）．
A．48或64 B．96 C．48或96 D．64或96
66．若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
67．(24-25七上·吉林吉林船营区吉林七中大学区·期末)如图所示，已知点C为上一点，，，D，E分别为的中点，求的长．
解：
，
，
又E为的中点，
，
，D为的中点，
，
．
68．(24-25七上·甘肃张掖肃南县·期末)如图，是线段的中点，点在线段上，，且．
(1)补全求线段的长的过程；（括号中填线段，横线上填数字）
解：因为是线段的中点，
所以（ ） ．
因为点在线段上，，
所以 ，
所以 ；
(2)在图中，用尺规在线段上找一点，使得，并比较与的大小（直接写结果）．
69．(24-25七上·重庆万州区·期末)如图，点为线段上一点，为线段的中点，且．
(1)若，求的长；
(2)若为线段的中点，，求的长．
70．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为．
根据题意回答下列问题：
(1)当时，______；当时，______．
(2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点．
①若，求线段的长；
②若，求线段的长．
71．如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点．
(1)若，，，求的长度．
(2)若，，请直接表示的长度（用含a，b的代数式）．
72．(24-25七上·河北张家口桥西区·期中)数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．嘉琪在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是，m，，借助圆规，在数轴上画出原点O；
操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与数2与表示的点重合，数m表示的点与数表示的点重合，求m；
操作三：（3）从数轴上（如图2）剪下9个单位长度（从到8）的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点竖直折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值．
题型六、线段上的动点有关计算
73．(23-24七上·山东临沂蒙阴县·期末)如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①B对应的数是；
②点P到达点B时，；
③时，；
④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
74．(24-25七上·陕西西安爱知中学·期末)如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
75．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（ ）．
A．、或 B．、或
C．、、或 D．、、或
76．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．
(1)当时，，请求出的长；
(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．
77．定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
(1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
(2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
78．(24-25七上·辽宁沈阳大东区·期中)已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．
(1)若，求和的长；
(2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧．
①如图，当点E为中点时，求的长；
②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长．
79．如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒．
(1)用含的代数式表示的长
(2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？
(3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值．
80．如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”．
(1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）；
(2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示）
(3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点．
81．如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”．
(1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长；
(2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________；
(3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”．
题型七、两点间距离有关计算
82．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度．
83．(24-25七上·广东潮州饶平县·期末)如图，已知线段，点C与点D在线段上，若点D为线段的中点，，，求线段的长度．
84.(24-25七·四川德阳罗江区·期末)如图，，点是线段上的一点，点、分别是线段的中点．
(1)若，，求线段的长；
(2)若是线段上的点，且，点是线段的中点，求线段的长度．
85．如图1，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点．
(1)若，则的长为________；若，则的长为________；由此可推断与的数量关系是________．
(2)如图2，F是线段的中点，若，求线段的长．
86．已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）．
(1)当点、运动了，求的长度；
(2)若点、运动时，总有，则______；
(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______．
87．综合与探究：
问题情境：已知：，分别是线段，的中点．
初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长．
问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）．
类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）．
1．如图，线段长为，线段长为，点、分别是它们的中点，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，则、两点间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．(24-25七上·湖北武汉武昌区·期末)某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（ ）张车票
A．6 B．10 C．15 D．20
3．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（ ）
A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③②
4．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．
①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．
以上说法正确的是 ．
5．(24-25七·辽宁大连沙河口区·期末)线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,，
(1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长；
(2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长．
6．如图，线段，点在线段上，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)试说明：的长与线段的长度无关，总是等于线段长的一半．
7．如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足．
(1)点A表示的数为______，点B表示的数为______；
(2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是66，求点H表示的数；
(3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t．
8．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井．
（1）问题解决：你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请在图2中标出水井的位置点M，并说明理由．
问题拓展：
如果（1）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建），已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建；
（2）水井要修建几米？
（3）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队施工几天才能使工程款正好是35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）
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