精品解析：江苏省无锡市江阴市文林中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

江苏省无锡市江阴市文林中学2023-2024学年八年级数学下学期 3月月考复习试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的度数为（ ）度 A. 60 B. 45 C. 90 D. 135 7. 下列命题中正确是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 9. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ） A. 1.4 B. 1.8 C. 1.2 D. 1.6 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 使有意义的的取值范围是____ 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 13. 如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为_____． 14. 矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4cm，两条对角线的一个交角为120°，则对角线AC的长为______． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则长为________cm． 16. 如图，将绕点A旋转到的位置，点E在边上，与交于点G．若，，则________． 17. 如图，在中，，点P是上的任意一点，作于点D，于点E，连接，则的最小值为______． 18. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程． ① ② 21. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适数作为x的值代入求值． 22. 某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图： （3）扇形统计图中m的值是______，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是______； （4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目． 23. 如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ADE=∠CBF 24. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积． 25. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 26. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市江阴市文林中学2023-2024学年八年级数学下学期 3月月考复习试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A选项：不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项不符合题意； B选项：是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D选项：不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2 用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：“若，则”的结论是， ∴用反证法时应先假设， 故选：B． 【点睛】本题考查了主要反证法，熟记反证法的证明步骤是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【详解】解：， 在中， ， 由旋转的性质得 ， 在 中，， 故选：B． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由得，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式的基本性质及运算法则，对选项依次判断． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是：掌握分式的基本性质． 6. 在中，若，则的度数为（ ）度 A. 60 B. 45 C. 90 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键． 7. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 9. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，证明△EOD≌△OGB，可得ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，可得△EOD≌△FGC（AAS）可得ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，进而可得点F的坐标． 【详解】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C， ∴四边形ACBO是矩形， ∴AC＝OB，AO＝CB， ∵点E的坐标为（2，3）， ∴ED＝3，OD＝2， ∵四边形OEFG是正方形， ∴∠EOG＝∠FGO＝90°， ∴∠EOD+∠GOB＝90°， ∵∠GOB+∠OGB＝90°， ∴∠EOD＝∠OGB， 在△EOD和△OGB中， ， ∴△EOD≌△OGB（AAS）， ∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2， 同理可证：△EOD≌△FGC（AAS）， ∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2， ∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1， ∴F（﹣1，5）． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△EOD≌△OGB，△EOD≌△FGC． 10. 如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（ ） A. 1.4 B. 1.8 C. 1.2 D. 1.6 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长． 【详解】解：如图，连接CF， ∵AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵点M是AC中点， ∴AM=MC=4， ∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE， ∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10， ∴AM=MF=CM， ∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF， ∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°， ∴∠MFA+∠MFC=90°， ∴∠AFC=90°， ∵×AB×CF=×AC×BC， ∴CF=， ∴AF=， ∵∠A=∠D，∠A=∠AFM， ∴∠D=∠AFM， 又∵∠DFE=90°， ∴DG=GF，∠E=∠GFE， ∴GF=GE， ∴GF=GD=GE=5， ∴AG=AF-GF=-5==1.4， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF的长是本题的关键． 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 使有意义的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，只需， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键． 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____． 【答案】17° 【解析】 【详解】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′， ∴∠B′AC′=33°，∠BAB′=50°， ∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°. 故答案为17°. 13. 如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质得到，，因此，由平分得到，即可得到，根据等角对等边得到，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14. 矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4cm，两条对角线的一个交角为120°，则对角线AC的长为______． 【答案】8或 cm 【解析】 【分析】根据矩形性质求得OA=OD，再根据已知条件，分情况讨论，当∠AOD=120°，AB=4cm，得到BD=2AB，当∠AOB=120°时，同理根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求出矩形对角线AC的长． 【详解】解：如图1，当∠AOD=120°时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD． 又∵OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OD． ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD=30度． 又∵∠DAB=90°， ∴AC=BD=2AB=2×4=8（cm）． 如图2，当∠AOB=120°时， 同理可得BC=AC,则AB= 当AB=4cm时，AC=（cm）． 故答案为：8或cm． 【点睛】考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，了解矩形的对角线相等且互相平分是解决本题的关键． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________cm． 【答案】6cm 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由可得,根据所对直角边是斜边的一半即可得到结果． 【详解】∵四边形ABCD矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴在Rt△ABC中，． 故答案为6cm． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键． 16. 如图，将绕点A旋转到的位置，点E在边上，与交于点G．若，，则________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求得，根据三角形内角和定理求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 17. 如图，在中，，点P是上的任意一点，作于点D，于点E，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接， ∵于点，于点， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ． 故答案为：． 18. 如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝，则BE的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，证△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，当点E与点H重合时，BE=BH最短，根据直角三角形性质得CP，正方形CPHE中，PH=CP= ，BH=BP+PH即可得出答案． 【详解】如图所示， 将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC,作直线FE交OM于H,则∠BCF=90°，BC=FC， ∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE， ∴∠PCE=90°，PC=EC， ∴∠BCP=∠FCE， 在△BCP和△FCE中， BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC， ∴△BCP≌△FCE(SAS)， ∴∠CBP=∠CFE， 又∵∠BCF=90°， ∴∠BHF=90°， ∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH， ∵BH⊥EF， ∴当点E与点H重合时，BE=BH最短， ∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°， ∴CP=BC= ，BP= = ， 又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE， ∴正方形CPHE中，PH=CP= ， ∴BH=BP+PH= ， 即BE的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行判断． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先把分式化为同分母，再进行计算，即可得到答案； （2）先把除法变为乘法，然后进行约分化简，即可得到答案. 【详解】解：（1）原式＝﹣ ＝ ＝； （2）原式＝b（a﹣b）•• ＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简. 20. 解方程． ① ② 【答案】①x＝﹣1，②x＝1 【解析】 【分析】①分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； ②分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：①去分母得：4+x2+5x+6＝x2﹣3x+2， 移项合并得：8x＝﹣8， 解得：x＝﹣1， 经检验：x＝﹣1是分式方程的解； ②去分母得：1+2x﹣6＝x﹣4， 解得：x＝1， 经检验：x＝1是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21. 先化简，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，2． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = = = ， ∵x≠±1且x≠2， ∴x=3， 则原式==2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 22. 某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图： （3）扇形统计图中的m的值是______，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是______； （4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目． 【答案】（1）120；（2）见解析；（3）30，72；（4）240名 【解析】 【分析】（1）由跳绳人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以“其他”对应的百分比即可求出其人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出乒乓球人数，从而补全图形； （3）用篮球人数除以总人数可得m的值，再用乘以乒乓球人数所占比例即可； （4）总人数乘以样本中最喜爱乒乓球人数所占比例即可． 【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为12÷10%=120（名）， 故答案为：120； （2）“其他”人数为120×15%=18（人）， “乒乓球”人数为120-（36+30+12+18）=24（人）， 补全图形如下： （3）篮球对应的百分比m%=，即m=30， 乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是， 故答案为：30，72； （4）估计该校最喜爱乒乓球项目的学生人数为（名）． 答：估计该校约有240名学生最喜爱乒乓球项目． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ADE=∠CBF 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC，根据中点的定义得到DF=BE，再由平行四边形的判定可得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的性质证得结论． 【详解】证明：∵□ABCD∴AD=BC,AD∥BC， ∵E、F分别是边BC、AD的中点， ∴DF=AD，BE=BC， ∴DF=BE ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴∠ADE=∠CBF 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，以及线段中点的性质，熟练掌握并灵活运用这些定理是解题的关键 24. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形BDFC的面积为156． 【解析】 【分析】(1)根据BC∥DF，利用“AAS”证明△BEC和△FCD全等，可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； (2)根据BD=BC=13，利用勾股定理可求得AB的长，即可求得四边形BDFC的面积． 【详解】(1)∵BC∥AD， 即BC∥DF， ∴∠CBE=∠DFE， ∵E是线段CD的中点， ∴CE=DE， 在△BEC与△FED中， ， ∴△BEC≌△FED， ∴BE=FE， ∴四边形BDFC是平行四边形； (2)∵四边形BDFC是平行四边形， ∴DF=BC=13， ∵BC∥AD，∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∵BD=BC， ∴BD=BC=13， 在Rt中， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出△BEC≌△FED是解题的关键． 25. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 26. 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置． 【答案】（1）当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； （2）存在，当t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）由四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8），可知BC=OA=20，AB=OC=8，由点D是OA的中点，可得，由运动可知，PC=2t，则BP=BC－PC=20－2t，由于四边形PODB是平行四边形，则PB=OD=10，解得t＝5，故当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； （2）分三种情况讨论①当Q点在P点右边时，当Q在P左侧，且在BC上时，当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，分别计算即可； （3）由（1）知，OD=10，由于PM=10，则OD=PM，由于BCOA，则四边形OPMD是平行四边形，则OP=DM，根据四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM，可知AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，则作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M，则AB=EB，由BCOA，可知，进而可知PC=BC－BM－PM=20－10－5=5，求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形OABC为矩形，A（20,0），C（0,8）， ∴BC=OA=20，AB=OC=8， ∵点D是OA的中点， ∴， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC－PC=20－2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=10， 解得t＝5， ∴当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形； 【小问2详解】 解：分为三种情况： 当Q点在P点右边时，如下图， ∵四边形ODQP是菱形， ∴OD=OP=PQ=10， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理可得：， ∴2t=6， 解得t=3， ∴Q（16,8）； 当Q在P左侧，且在BC上时，如图所示， 同理①得PC=16， 即2t=6， 解得t=8， ∴Q（6,8）； 当Q在P的左侧，且在BC的延长线上时，如图， 同理①求出QC=6， PC=10-6=4， 即2t=4， 解得：t=2， ∴Q（﹣6,8）， 综上所述，t=3时，Q（16,8），t=8时，Q（6,8），t=2时，Q（﹣6,8）； 【小问3详解】 如下图所示： 由（1）知，OD=10， ∵PM=10， ∴OD=PM， ∵BCOA， ∴四边形OPMD是平行四边形， ∴OP=DM， ∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP=20+AM+10+DM=30+AM+DM， ∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M， ∴AB=EB， ∵BCOA， ∴， ∴PC=BC－BM－PM=20－10－5=5， 即2t=5， 解得：t=2.5， 故答案为2.5． 【点睛】本题考查平行四边形的动点问题，菱形的判判定，勾股定理，能够分析出实际的运动情况是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $