专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·江苏盐城·校考一模）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 2．（2023·安徽安庆·一模）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 例2（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1所示，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2所示，点A、B都在原点右边，； ②如图3所示，点A、B都在原点左边，； ③如图4所示，点A、B在原点两边，． 综上所述，数轴上A、B两点之间的距离表示为 根据阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是________，如果，则x为________； (3)使得所有符合条件的整数m是____________； (4)当代数式取最小值时，即在数轴上，表示x的动点到表示和2的两个点之间的距离最小，这个最小值为______，相应的x的取值范围是_______． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 例4（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6) 若数满足，求的最小值为______． 例2（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 例3（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示数．两点之间的距离表示为．则数轴上两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是____________，如果，那么为__________； (3)当取最小值时，符合条件的整数有____________； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 例4（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 例2（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1当 时，的值最小． 例2（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，的值最小，最小值为 ． 例3（23-24七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 例4（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 例2（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 例3（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 例4（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 例2（22-23七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 例4（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 例2（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 例3（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【定义】把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.可以理解为. 【运用】（1）若，则_______； （2）由，一定能得到吗？请说明理由． 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数a的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是在数轴上表示数a的点与-1所对应的点之间的距离． （1）式子的几何意义为______； （2）的最小值为_______． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）当 时，的值最小，最小值为 ． 3．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 8．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 10．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是_____；表示和的两点之间的距离是_____；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于______． (2)如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，求a的值． (3)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值． (4)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 12．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）阅读理解 同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)________；________； (2)找出所有符合条件的整数，使成立； (3)当________时，的值最小，最小值是________． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 15．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 16．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 18．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题： ①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 19．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 20．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·江苏盐城·校考一模）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 2．（2023·安徽安庆·一模）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·河南郑州·期中） 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少? （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少? 【答案】（1）9，0；（2）；（3）当时，的值最小，最小值是6；（4）当点C表示的数在1和5之间(包括1和5)时，的值最小，最小值为4 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间的距离的表示与应用，读懂题目信息，理解两点间的距离的求解是解题的关键． （1）根据数轴计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果解答； （3）根据绝对值的性质解答； （4）根据题目信息，表示到1和5两个数的距离的最小值，从而判断出数C在1和5之间的所有的数． 【详解】解：（1）； ， 所以，从左到右依次填9，0 ． 故答案为：9；0； （2）若A，B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系为：； （3）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为6； （4）当点C表示的数在1和5之间（包括1和5）时，|的值最小，最小值为4． 例2（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1所示，；当A、B两点都不在原点时， ①如图2所示，点A、B都在原点右边，； ②如图3所示，点A、B都在原点左边，； ③如图4所示，点A、B在原点两边，． 综上所述，数轴上A、B两点之间的距离表示为 根据阅读材料回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________； (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是________，如果，则x为________； (3)使得所有符合条件的整数m是____________； (4)当代数式取最小值时，即在数轴上，表示x的动点到表示和2的两个点之间的距离最小，这个最小值为______，相应的x的取值范围是_______． 【答案】(1)3，4 (2)，或 (3) (4)3， 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的意义： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的意义和两点间的距离公式，得到当在和3之间时，，即可得出结果； （4）根据绝对值的意义和两点间的距离公式，得到当在和2之间时，取最小值，为数轴上数到数2的距离，求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：3，4 （2）， 当时，数和数之间的距离为2， ∴或； 故答案为：，或； （3）表示数轴上数到数之间的距离和为5， ∵数到数3之间的距离为5， ∴当在和3之间时，， ∴整数； 故答案为：； （4）表示在数轴上，表示 x的动点到表示和2的两个点之间的距离最小， ∴当在和2之间，即：时，的值最小为； 故答案为：3，． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），； （2）或； （3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 例4（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3 (2)8 (3) (4)2 (5) (6) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； （3）根据绝对值的意义即可求得； （4）根据绝对值的意义即可求得； （5）根据两点间的距离即可求得； （6）由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 例2（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5； (2)，或2； (3)； (4)； (5)1，9． 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． （1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围； （5）表示在数轴上点所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和，讨论两点之间的距离最小即可． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是， 故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3， ， 解得：或2， 故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得， ， 故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0， 所以当时，的值最小， 最小值为9． 故答案为：1，9． 例3（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示数．两点之间的距离表示为．则数轴上两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是____________，如果，那么为__________； (3)当取最小值时，符合条件的整数有____________； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)5，4 (2)，1或 (3)，，0，1，2，3 (4)当时，y最小，最小值是5 【分析】本题考查数轴与绝对值，有理数的加减计算，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）首先根据题意得到可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到3的距离，然后推出当x在和3之间时，取最小值，进而求解即可； （4）首先根据题意得到y可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到4的距离，推出当时，有最小值，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是： ； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则， ∴或 解得：或； （3）解：可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到3的距离， ∴当x在和3之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有，，0，1，2，3； （4）解：∵ ∴y可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到4的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时． 例4（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（2024·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为： 例2（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______．(5)若，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)(5)或 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等， 因此到和距离相等的点表示的数为，故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，，故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：；故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为：， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ，综上，或． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 【答案】(1)30(2) 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加，即时， 最小，令，得： ． 模型5.型或型最值模型 例1当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 例2（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 1 0 【分析】本题考查绝对值的意义．由绝对值的意义可知，即说明当时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴，的最小值为． 故答案为：1，0． 例3（23-24七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 【答案】6 【分析】本题考查了绝对值的非负数性质，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 根据绝对值的非负数性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴当，即时，的值最小． 故答案为：6． 例4（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 【答案】2 【分析】根据绝对值得性质可知，故当时，的值最小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴当时，的值最小． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，理解并掌握绝对值非负数的性质是解题关键． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 例2（24-25六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 例3（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 例4（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是_____，此时的取值范围______； (2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____； (3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)米 【分析】（）由可知式子表示到和到的距离之和，当在和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解； （）同理（）解答即可； （）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴式子表示到和到的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当在和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴式子表示分别到、、的距离之和， 同（1）可知，时，到到、的距离之和最小， ∴当时，分别到、、的距离之和最小， 即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 由（1）（2）可知点在、之间， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为， 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 例2（22-23七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或 (2)8 (3)，8 (4)11 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可； （2）表示数a到和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可； （3）表示x到，，3三个点的距离之和，结合数轴可知， 当时，有最小值，由此可求解； （4）先根据已知式子可得，求出x、y的范围，再求出的最大值即可． 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间， ； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故答案为：，8； （4）， ∴， ∵， ， ， ∴当时有最大值， 最大值为， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 例4（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 【答案】(1)，，的值为或 (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）根据已知可得，掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （3）分情况去掉绝对值，可得当时，，找到和之间的整数点，再相加即可求解； （4）分情况分别去绝对值计算，得到时三个绝对值的和最小，然后计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 表示和两点之间的距离为， 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：， 或， 故答案为：， （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， ，， ； （3）当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数有：，，，， ； （4）当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 例2（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义； 表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在在与2与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当是，距离之和最小，化简即可； （4）A、B、C在数轴上分别表示1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于3，由数轴可知为：或0， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0； （2）表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数2的点的距离之和， 所以x应该在表示有理数与2的点之两点间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1，2； 故答案为，，，0，1，2； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，所以x应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离为8； 故答案为：，8； （4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x， A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， 所以x在1时最小， 最小值为， ∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 例3（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）【定义】把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.可以理解为. 【运用】（1）若，则_______； （2）由，一定能得到吗？请说明理由． 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数a的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是在数轴上表示数a的点与-1所对应的点之间的距离． （1）式子的几何意义为______； （2）的最小值为_______． 【答案】【运用】（1）；（2）不能，理由见解析；【拓展】（1）在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离；（2） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据定义即可求解； 【运用】（1）由数轴上表示的点与原点的距离都为即可求解；（2）由绝对值的几何意义即可判断； 【拓展】（1）根据即可求解；（2）问题化为在数轴上表示数a的点与和所对应的点之间的距离之和即可求解． 【详解】解：【运用】（1）∵数轴上表示的点与原点的距离都为， ∴若，则； 故答案为： （2）由，不一定能得到，理由如下： 若，由绝对值的几何意义可知：或； 【拓展】（1）∵， ∴式子的几何意义为在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离； 故答案为：在数轴上表示数a的点与所对应的点之间的距离； （2）∵， 故式子的几何意义为在数轴上表示数a的点与和所对应的点之间的距离之和； 当数a在和之间时，有最小值，最小值为：， 故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ． 【答案】4或5 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，数轴上两点距离计算，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值后解方程求出m的值；根据绝对值的几何意义推出当时， 和能同时取得最小值，即能取得最小值，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：当时，∵， ∴， 解得； 当时，∵， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，∵， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵表示的是数轴上表示x的数到表示和6的两个数的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，取值最小值，最小值为0， ∴当时， 和能同时取得最小值，即能取得最小值， ∴， ∴两个点M、N之间的距离是或， 故答案为：4或5． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）当 时，的值最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，化简绝对值，表示到各个点的距离之和，最中间的点为，进而得到当，的值最小，进行求解即可．掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：表示到的距离之和，最中间的点为， ∴当时，的值最小为： ； 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9 【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可 （2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可 （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可， （4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可． 【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3， （2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9 |a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2， （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0， |a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9， （4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15， 当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a， 9<10-a≤15， 当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8， 9≤a+8<12， 当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12， 当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9． 故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9． 【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）由题意得，求出的值即可； （）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （）根据数轴上两点间的距离可得当时，最小； 本题考查了数轴，绝对值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数， 故答案为：； （4）解：根据题意得，当时，最小， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 【答案】(1)3， (2)3，0 【分析】本题考查绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）根据题干给定的方法得到的最小值为3，此时，再根据，得到当时，值最小，即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：当时，有最小值，为； 故答案为：3， （2）根据题意，得的最小值为3，此时． 因为， 所以的最小值为0， 所以的最小值为3， 此时的值为0． 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 【答案】(1) (2)，0，1 (3)，7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，而当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴x可以取整数，0，1． 故答案为：，0，1； （3）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，7． 10．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______； (2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 【答案】(1)5 (2)或0 (3)12 (4)1，8 (5)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． （1）利用两点间的距离公式计算解题； （2）利用两点间的距离公式解方程计算； （3）分不同的情况去掉绝对值解方程； （4）分在不同的取值范围时的最小值进行计算解题； （5）根据（4）中结论可以得到时，有最小值，计算即可． 【详解】（1）解：， ∴表示和2两点之间的距离是． 故答案为： （2）解：∵表示数a和的两点之间的距离是2， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或0 （3）解：当时，原方程为， 解得：（舍去）； 当时，原方程为，成立； 当时，原方程为， 解得：（舍去）； 故满足的整数为：，，0，1，2，3，4，5， 这些数的和为． 故答案为：12 （4）解：当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是8， 故答案为：1，8 （5）解：由（4）可得，当时，的值最小， ∴ ． ∴表示的有理数在时，有最小值． 11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是_____；表示和的两点之间的距离是_____；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于______． (2)如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，求a的值． (3)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值． (4)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)3，4， (2)或 (3)7 (4)7，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值和数轴上的两点距离的计算，中等难度，认真审题理解概念是解题关键． （1）根据数轴上两点的距离等于右侧的数减去左侧的数进行解题， （2），那么，求解即可， （3）化简即可解题， （4）把代入求解即可． 【详解】（1）解：由数轴上两点间距离的定义可得： ∴5和2的两点之间的距离为：； 和的两点之间的距离为：； m和n的两点之间的距离为：； 故答案为：3，4，； （2）解：由（1）得：a和3的两点之间的距离为：， ∵， ∴或， 解得：或； （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与3之间， ∴； （4）解：当时，取最小值，理由如下： ∵时，，正好是3与两点间的距离， ∴当时，有最小值，此时最小值为7． 12．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）阅读理解 同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)________；________； (2)找出所有符合条件的整数，使成立； (3)当________时，的值最小，最小值是________． 【答案】(1)2；6 (2)或或1或0 (3)1；9 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，求一个数的绝对值： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据题意可得表示的是数轴上表示x的数到表示数和数1的距离之和，则可确定当x满足时，一定有，据此可得答案； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，最小值为，而当时，有最小值0，故当时，和能同时取得最小值，即此时取得最小值，最小值为． 【详解】（1）解；，， 故答案为：2；6； （2）解：根据题意可得表示的是数轴上表示x的数到表示数和数1的距离之和， ∵和1两数在数轴上的距离为， ∴当x满足时，一定有， ∴符合题意的整数x的值为或或1或0； （3）解；由题意得，表示的是数轴上表示a的数到表示数和数4的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值，即此时取得最小值，最小值为， 故答案为：1；． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【分析】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 15．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵数的点位于与5之间， ∴表示数到的距离 ∴， 故答案为：． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 16．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由两点间距离直接求解即可； ②由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可； （3）由题意两点距离的意义进行解答； （4）当取2时代数式的值最小，据此计算便可； （5）取最中间点便可； （6）在，范围内，解方程便可． 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”. 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单.” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题.” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，则就化简为 (3)解决问题： ①当式子取最小值时，相应 ，最小值是 . ②已知，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程. 【答案】(1)5 (2) (3)①4，4；②时，有最大值 【分析】（1）直接去绝对值即可 （2）根据，去绝对值即可 （3）①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； ②根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1） 故答案为5； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为： （3）①当式子取最小值时，相应的，最小值是4； 故答案为4，4； ②当时，当时，最大； 当时，，当时，最大； 当，时，当时，最大， 所以时，有最大值． 【点睛】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义，数轴以及分类讨论是解题关键． 19．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 20．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3 (2)；最小 (3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或， 解得：或1； 故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3． 故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$