专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型（几何模型讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，即：；故选：C． （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条；故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵1条直线将平面分成部分， 2条直线将平面最多分成部分， 3条直线将平面最多分成部分， 4条直线将平面形多分成部分……， ∴n条直线将平面最多分成部分，∴， ∴．故选B． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 【答案】C 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．故选C． 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21(2) 【详解】（1）解：①∵，∴，即：，故答案为：=； ②∵，且，∴， ∴，∴，故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点，∴， 又∵，∴，解得，，∴． 例3（24-25广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即．故选：C． 例4（24-25天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ，故选：D． 例5（24-25七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 【答案】已知；角平分线的定义；已知；90；等式的基本性质；；角的和差的定义；；；角平分线的定义 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）．（垂直定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，掌握相关知识是是解题的关键．根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①， ， ，故正确； ②由题意可得：， ， ，即， ， ，即射线经过刻度线160，故错误； ③如图： ，， ， 和互为余角， 射线经过刻度线90， ， 和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故正确； 正确的有①③， 故选：C． 例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是几何图形中角度计算问题，解题的关键是熟练掌握角的和差计算． 先根据在的内部得，即可求解． 【详解】解：∵在的内部， ， ∴． 故选：B． 例3（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 例4（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是余角，补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行角的等量代换逐个进行判断，即可得解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， 故结论正确； 平分，平分， ，， ， 故结论正确； ，， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ，即， 故结论错误． 故正确的是． 故答案为：． 例5（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角平分线的定义以及角的和差运算，解题关键是根据角平分线的性质，将所求角转化为与已知角、相关的角的和差，再进行计算． （1）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （2）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （3）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； （4）先求的度数：，再根据角平分线的定义求和的度数：、，最后求的度数：； 【详解】（1）解： 是的平分线，是的平分线， ，， （2）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （3）解：，， 是的平分线，是的平分线， ，， ． （4），理由如下： ， 是的平分线，是的平分线， ，， ． 例2（24-25七年级上·山西太原·期末）从太原南开往天津西的次动车，运行途中停靠的站点有太原南、石家庄、正定、保定、白洋淀、霸州、胜芳、天津西，那么这次列车要准备多少种不同的车票（　　） A．15种 B．28种 C．30种 D．56种 【答案】D 【分析】本题考查了线段数量问题，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题． 依题意，可得从太原南开往天津西的次动车，一共有8个站点，类似于求线段的条数，但是线段和的票价不一样，可得解． 【详解】解：依题意，可得从太原南开往天津西的次动车，一共有8个站点， 如图： ， 类似于求线段的条数，但是线段和的票价不一样， 可得：（种）， 故选：D． 例3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 例4（25-26七年级上·全国·阶段练习）推理能力【公式推理】已知①，②，由①+②，得 ，所以． 【公式应用】画出线段AB，在线段AB的两端点之间依次增加1个点，则线段总条数的变化如下表： 线段AB上的点数n（包括A，B两点） 图例 线段总条数N 3      4      5 6 7 根据上表中的内容，解答下面的问题： (1)把上表补充完整． (2)归纳线段的总条数N与线段AB上的点数n之间的关系式． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了线段的定义，数字的变化规律。（1）根据图中规律画出图形，即可写出结果；根据表中所给的线段总数和线段AB上的点数变化规律即可解答；（2）根据规律可得线段上有个点时，线段总条数即可解答． 【详解】（1）解：当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），线段总条数， 当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），线段总条数， 当线段AB上的点数为时（包括A，B两点），图形为：线段总条数. （2）解：线段的总条数． 【点睛】本题考查了线段的定义，理解线段的点数与线段总条数之间的关系是解题的关键． 例5（25-26七年级上·全国·阶段练习）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 【答案】(1)①3；②6；③10； (2) 【分析】本题考查了角的有关概念，根据图形的前后变化找出规律，得出角的个数，发现角的个数的规律是解题的关键； 【详解】（1）解：①，共3个； ②，共6个； ③，共10个； 故答案为：①3 ②6 ③10． （2）解：在内部画条射线，根据角的规律可得： 有（个）不同的角． 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 【答案】14 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得，解得， 所以对角线总数为：．故答案为：14． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【详解】解：从一个多边形的一个顶点出发可以引6条对角线，设多边形边数为n， ，解得．则这个多边形是九边形．故选：D． 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】A 【详解】解：五边形的对角线共有5×(5−3)=5，故选A． 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析；(2)，(3)场 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； ……∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场）∴总共要比赛场． 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线，直线上有10个点，分别是、、、…、，直线上有11个点，分别是、、、…、，将上的每个点与上的每个点相连，可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点，这些线段一共有（   ）个交点．（不包括、、、…、，、、、…、） A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线数量问题，直线，上分别取点，和点，，连接，，，，得到四边形，而这个四边形的对角线，的交点恰好是我们要计数的点，故只需要求出在直线和中有多少个满足条件的四边形就可以，由此计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 直线，上分别取点，和点，，连接，，，，得到四边形，而这个四边形的对角线，的交点恰好是我们要计数的点， 故只需要求出在直线和中有多少个满足条件的四边形就可以， 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 故这些线段一共有个交点， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖北·开学考试）有10条不同的直线，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，则这10条直线的交点个数最多是（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】C 【分析】根据，，可知：直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点，由此即可求解此题． 【详解】解：由直线且，可得： 直线1，2，3相互平行没有交点，直线4，5，6 交于一点， 则直线1，2，3，4，5，7，8，10的交点数量为：， 再加上2，3两条直线增加的交点数量为：， 所以得出交点最多就是条， 故选：C． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键在于分析得出三条平行三条相交． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 【答案】(1)P在直线l外； (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线的定义即可画直线PA； （3）根据射线的定义即可画射线PB； （4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数． 【详解】（1）点P与直线l的关系：P在直线l外； 故答案为：P在直线l外； （2）如图1，直线PA即为所求； （3）如图1，射线PB即为所求； （4）如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． 6．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把9条公路看作是9条直线，先求出9条直线两两相交时的交点的个数，再根据差是10进行分析，即可得解． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即； （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数； （3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：， ， 则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图： 7．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，以，，，为端点组成的线段共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】本题考查了线段的定义及数量，关键是通过对图形的分析准确的数出线段的数量．根据线段的定义，找出以，，，为端点的所有线段． 【详解】解：以为端点的线段有共条， 以为端点的线段有共条， 以为端点的线段有共条， ， 故选：B． 8．（25-26七年级上·全国·阶段练习）直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的关系是解决本题的关键． 根据点与直线的位置关系以及直线相交的概念判断各说法准确性即可． 【详解】解：由图可得，点在直线上，故①正确； 由图可知，直线不经过点，故②错误； 由图可知，点不在直线上，即点在直线外，故③正确； 由图可知，直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点， 所以直线、、两两相交，故④正确， 所以正确的有①③④， 故答案为：①③④． 9．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在同一直线上顺次有三点，点是线段的中点，点是线段的中点，若想求出的长度，那么只需知道条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面基本图形，线段中点的应用．根据即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差． 先求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后根据即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 11．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 13．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图所示，是的平分线，是的平分线，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是关于角平分线应用的题目，解题的关键是掌握角平分线的定义；根据角平分线定义，利用角度之间的数量关系，对各选项一一判定即可解答． 【详解】是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ． 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·阶段练习）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，；点是线段上一点，，…，请借助所给的图形，计算的结果为 为正整数，用含n的代数式表示 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据题意发现线段长度的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出，，，…，的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令线段的长为1， 则线段的长为：， 线段的长为：， 线段的长为：， …， 所以线段的长为： 故答案为： 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：条直线相交，最多有个交点， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， 条直线相交，最多有个交点，即， ， 条直线相交，最多有（个）交点， 故答案为：． 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有 对． 【答案】150 【分析】本题考查了线段数量问题；根据题意，在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”，分别计算出从，上取两点的方法数，即可求解． 【详解】解：在两边各取两点，四点恰有一对“和睦线对”， 从上取两点有15种方法， 从上取两点有种方法， “和睦线对”共（对）． 故答案为：150． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，在的右侧作，在的右侧，且，分别在内部和内部画射线，，使，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和与差，首先设，可知，，因为，，所以可得：，，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：设， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为： ． 19．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角的计算，理解题意，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．以为一边的角有：，，，，以为一边的角有：，，，以为一边的角有：，，以为一边的角有：，再根据以，，，，为边的各角之和等于，列式求解即可． 【详解】解：以为一边的角有：，，，， 以为一边的角有：，，， 以为一边的角有：，， 以为一边的角有：， 又∵以，，，，为边的各角之和等于， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)________； (2)_______； (3)； (4)若，则________；若，则________． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)120， 【分析】本题考查了角平分线定义，角的计算． （1）根据角的和差解答即可； （2）根据角平分线定义解答即可； （3）根据角平分线定义，角的和差解答即可； （4）把，代入（3）得出的结论可分别得出的度数，的度数． 【详解】（1）解：观察图形可得：， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：，，； （4）解：由（3）可得：， 若，则， 若，则， 故答案为：120，． 21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了线段中点的定义，度分秒的转化，角平分线的有关计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． ①根据线段中点的定义即可判断；②根据度分秒的转化方法即可求解；根据角平分线依次得到，，，而，则，求出，再检验即可． 【详解】解：∵， ∴M点是线段的中点， 故①正确； ∵把一个周角7等分， ∴计算每份的结果为， ， ， ∴计算每份的结果（精确到秒）为：， 故②正确； ∵射线平分， ∴设， ∵平分，平分 ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故③错误， 故答案为：①②． 22．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是仔细地观察图形并找到其中的规律． （1）根据图形画出直线即可； （2）根据上面得到的规律用代数式表示即可； （3）将代入公式即可求解． 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条） 那么经过两点最多可以画条直线； 故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）． 答：他们共握了次手． 23．（25-26七年级上·全国·阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C，D，则图中共有________条线段． （2）【模型构建】如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ （3）【拓展应用】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 【答案】（1）6；（2）；（3）次 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点，，找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵以点为左端点向右的线段有：线段、、， 以点为左端点向右的线段有线段、， 以点为左端点的线段有线段， ∴共有条线段； （2）设该线段上共有x条线段， 则， 所以倒序排列有， 所以， 所以． （3）共握（次）手． 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． （4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关． 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·广西百色·期末）阅读下表： 线段上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N 3    4    5      6    7 解决下列问题： (1)在表中的空白处分别画出图形，写出结果； (2)猜测线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系是：___________； (3)当时，计算的值等于___________； (4)问题拓展： ①七年级（1）班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，那么共握了___________次手？ ②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定m种票价，设计n种车票，则m和n的值分别为（　　） A．7、14                B．8、16                C．15、30                    D．28、56 【答案】(1)见解析， (2) (3)45 (4)①990，②D 【分析】本题主要考查数字规律的探究和应用， （1）根据题意画出有7个点数图像，并算出线段总条数即可； （2）结合第一问即可得到数字规律； （3）由第二问的结论即可求得当时的值； （4）①将题目的人数和握手转化为点和线段之间的关系即可得握手次数，②将高速铁路的站点和票价转化为点和线段之间的关系即可票价种类，结合列车往返行使即可求得车票种类． 【详解】（1） 解：； （2）根据点数3，线段总条数； 点数4，线段总条数； 点数5，线段总条数； 点数6，线段总条数； 点数n，线段总条数； 故答案为：； （3）根据（2）知，当时，， 故答案为：45； （4）①根据题意知相当于线段上有45个点，则共有条线段，即共握990次手； 故答案为：990； ②从甲市到乙市两地之间有6个站点，说明在这条线段上有8个点，则共有条线段，即有28种票价； 由于列车是往返行使，故准备种车票． 故选：D． 26．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 【答案】（1）①图见解析②图见解析③图见解析（2）6，10（3）190条（4）①28②10种，20种 【分析】本题考查画直线，射线，线段，直线，线段的数量问题． （1）根据要求作图即可； （2）直接数出直线的条数即可； （3）根据每两个点确定一条线段，所以每一个点与剩下的19个点都能构成一条线段，重复计算2次，除以2，进行求解即可． （4）①根据每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，重复计算2次，除以2即可； ②同①法，求出需要多少种不同的票价，再根据从到和从到需要2套票，乘以2即可． 理解直线，射线，线段的定义，是解题的关键． 【详解】解：（1）①作射线，如图所示； ②作直线、交于点M，如图所示； ③连接、交于点O，如图所示． （2）图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出6条直线，图中的不在同一直线上的5个点，最多能画出10条直线； 故答案为：6，10； （3）∵每两个点确定一条线段， ∴每个点都能跟剩余的的点组成一条线段， ∴可以画出：条线段； （4）①∵每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，且每两个队只比赛一次， ∴需要进行场比赛； ②由题意，得从到共有5个站点，每两个站点之间票价不同， ∴共有：种不同的票价； ∵从到和从到的票的种类不一样， ∴需要种车票． 27．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读材料并填空． 【问题】 在一条直线上有个点，每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？ 【探究】 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有____条线段；… 当有个点时，从这些点中任意取一点，以这个点为端点和其余各点能组成条线段，这样总共有条线段，在这些线段中每条线段都重复了一次，所以一条直线上有个点时，一共有______条线段． 【应用】 平面内有个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出_____条不同的直线． 【答案】【探究】10；【应用】1225 【分析】【探究】根据规律求解即可； 【应用】根据规律利用公式即可求解． 【详解】解：【探究】根据规律可知，当有 5 个点时，有条线段， 故答案为10； 因为每两个点都能连出一条线段，根据题意，一共能连条线段， 故答案为； 【应用】因为任意三个点不在同一直线上， 所以任意两个点都能作一条直线， 因为平面内有 50 个点，从这些点中任意取一点，这个点和其余各点能连成条直线，这样总共有 条直线， 在这些直线中每条直线都重复了一次， 所以一共能作出（条）直线． 故答案为：1225. 【点睛】本题考查了直线和线段的计数问题，解题关键是理解题意，找准规律． 28．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 【答案】（1）10；（2）29；（3）没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛 【分析】本题主要考查了直线交点问题、图形规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）根据题干分析n条直线，最多有个交点，直接代入即可得解； （2）代入公式求出交点最多个数，当8条直线交于同一点时，个数最少； （3）根据单循环赛制的特点，以及各班级已赛场次的信息，逐步推理出班级之间的比赛关系，进而求出未与七6班比赛的班级以及剩余比赛场数． 【详解】解：（1）5条直线相交，最多有个交点， 故答案为：10； （2）根据题意，最多有个交点，此时， 当8条直线交于同一点时，交点最少，此时， 所以； （3）分析各班级比赛场次信息： 单循环赛制意味着每个班级都要和其余5个班级各赛一场，所以每个班级最多比赛5场， ①七1班赛了5场，这表明七1班与七2、七3、七4、七5、七6班都进行了比赛； ②七5班只赛了1场，由于七1班与所有班级都比赛过，所以七5班这一场比赛就是和七1班进行的，七5班没有和其他班级比赛； ③确定七2班比赛对象：七2班比赛了4场，因为七5班只和七1班比赛，所以七2班除了和七5班没比赛，与七1、七3、七4、七6班都比赛了； ④确定七4班比赛对象：七4班赛了2场，根据前面的推理，七4班的两场比赛是和七1、七2班进行的； ⑤确定七3班比赛对象：七3班比赛了3场，已知七1、七2班与七3班比赛，七5班没和七3班比赛，所以七3班的三场比赛是和七1、七2、七6班进行的（与七4班没有比赛）；通过以上分析可知，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班． 已比赛的场数为： ①七1班与七2、七3、七4、七5、七6班比赛5场； ②七2班与七4、七3、七6班比赛3场（与七1已算在七1班场次中）； ③七3班与七6班比赛1场（与七1、七2重复场次已算）； ④七4班与七1、七2班赛比2场；（全部为重复场次，已算过） ⑤七5班与七1班赛1场；（全部为重复场次，已算过） ⑥七6班与七1、七2、七3班赛3场（全部为重复场次，已算过），总共已赛9场； 6个班级进行单循环比赛，总场数为场，所以还剩下的比赛场数为场； 综上，没有与七6班比赛的班级是七4班和七5班，还剩6场比赛． 29．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)99套 【分析】本题考查线段的数量问题： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）根据给定的方法，进行求解即可； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，根据甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，确定的范围，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，5人参与游戏时使用密码的总套数为10，即：； （2）2人参与游戏时，每人使用1套密码，共1套密码； 3人参与游戏时，每人使用2套密码，共有套密码； 4人参与游戏时，每人使用3套密码，共有套密码； 5人参与游戏时，每人使用4套密码，共有套密码； ， ∴当有个人参与游戏时，每个人使用套密码，共有套； （3）设甲团队有个人，乙团队有个人，（为正整数） ∵甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备， ∴， ∴， ∵甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差最大， ∴， ∴甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值为（套） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 线段与角的等量代换模型与计数模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。线段的条数、角的个数、直线的交点数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆，主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.线段与角度的等量代换模型 7 模型2.线段与角度的计数模型 9 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 12 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 15 17 线段与角度的等量代换模型源于等式的基本性质，最终拓展到线段和角度的代换，其核心思想是通过长度或角度的相等关系进行转换，简化复杂几何问题的求解过程，线段与角度的等量代换模型是初中几何中的基本内容。线段与角度的计数模型源于计数原理中的组合学，该规律与“握手问题”“碰面问题”等实际场景完全一致，为复杂图形中的线段统计提供了一种简便的方法。‌‌ （2025·河北唐山·模拟预测）如图，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 （24-25湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 （24-25七年级上·重庆·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ （2024·湖北孝感·一模）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） （2025·湖北武汉·模拟预测）我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（    ） A． B． C． D． 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等。 3）线段的计数模型 如果线段上有n个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以A为端点的线段有：AB、AC、AD、AE，有4条； ②以B为端点的线段有：BC、BD、BE，有3条；③以C为端点的线段有：CD、CE，有2条； ④以D为端点的线段有：DE，有1条；故图中线段总数量：4+3+2+1=10（条） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 4）角度的计数模型 若过点O作了有n条射线，那么该图形中共有多少个角？ 我们先取n=5进行研究，如下图： 结论：角的数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 证明：①以OA为角的一边有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE，有4个； ②以OB为角的一边有：∠BOC、∠BOD、∠BOE，有3个； ③以OC为角的一边有：∠COD、∠COE，有2个； ④以OD为角的一边有：∠DOE，有1个；故图中角总数量：4+3+2+1=10（个） 注意：线段的定义为两点间的一段直线，因此“直线+两个端点”是其核心要素； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）。 1）直线交点计数模型与平面分割的计数模型 n条直线，最多有多少个交点呢？最多能将平面分成多少部分呢？ 直线的条数 最多交点个数 平面最多分成部分数 1 0 1+1=2 2 1 1+1+2=4 3 1+2=3 1+1+2+3=7 4 1+2+3=6 1+1+2+3+4=11 ... ... ... n 2）多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 从n边形一个顶点出发可引出对角线，这些对角线能把多边形分割成多少个三角形呢？n边形共有多少条对角线呢？ 结论：从n边形一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形； n边形共有对角线。 证明：由连接不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线， 可知，从n边形的每个顶点出发有条对角线，这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形 ∵n边形有个顶点，∴共有n条对角线 又∵能形成对角线的两个点之间只算1条对角线（即上面的计算相当于每条对角线重wzZ复计算了一次）， ∴n边形有条对角线． 模型1.线段与角度的等量代换模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若．①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ；(2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 例3（24-25广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 例4（24-25天津南开·七年校考期中）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·山东·期中）直线、相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E、F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（             ）．（             ）． ，（             ）． （垂直定义） （             ）．即 （             ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分（             ）． 请在括号内填写每一步的依据． 模型2.线段与角度的计数模型 例1（25-26七年级上·全国·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线相交于点O，在的内部，当时，则与的度数和为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 例4（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，为直线上一点，，、、分别平分，，，下列结论：；；；；其中正确的是 ． 例5（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 模型3.直线交点计数模型与平面分割的计数模型 例1（24-25七年级下·甘肃武威·期中）如图：中，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果题目中，其它条件不变，求的度数； (3)如果题目中（为锐角），其它条件不变，求的度数； (4)从（1）、（2）、（3）的结果中能得到什么结论，请简述理由． 例2（24-25七年级上·山西太原·期末）从太原南开往天津西的次动车，运行途中停靠的站点有太原南、石家庄、正定、保定、白洋淀、霸州、胜芳、天津西，那么这次列车要准备多少种不同的车票（　　） A．15种 B．28种 C．30种 D．56种 例3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 例4（25-26七年级上·全国·阶段练习）推理能力【公式推理】已知①，②，由①+②，得 ，所以． 【公式应用】画出线段AB，在线段AB的两端点之间依次增加1个点，则线段总条数的变化如下表： 线段AB上的点数n（包括A，B两点） 图例 线段总条数N 3      4      5 6 7 根据上表中的内容，解答下面的问题： (1)把上表补充完整． (2)归纳线段的总条数N与线段AB上的点数n之间的关系式． 例5（25-26七年级上·全国·阶段练习）探究角的个数： (1)①如图①，在内部画1条射线OC，则图①中有________个不同的角； ②如图②，在内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角； ③如图③，在内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角． (2)在内部画n条射线OC，OD，OE，……，则有多少个不同的角？ 模型4.多边形的对角线条数计数模型和三角形个数的计数模型 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形一共有 条对角线． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（   ）边形 A．六角形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 例3（24-25·陕西咸阳·七年级统考期末）五边形的对角线一共有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 例4（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线；(2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线，直线上有10个点，分别是、、、…、，直线上有11个点，分别是、、、…、，将上的每个点与上的每个点相连，可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点，这些线段一共有（   ）个交点．（不包括、、、…、，、、、…、） A．110 B．2475 C．9900 D．2024 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北·开学考试）有10条不同的直线，（，2，3，4，5，6，7，8，9，10），其中，，则这10条直线的交点个数最多是（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）按要求完成作图及作答： (1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　； (2)如图1，画直线PA； (3)如图1，画射线PB； (4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点． 6．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点． (2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ． (3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行． 7．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，以，，，为端点组成的线段共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 8．（25-26七年级上·全国·阶段练习）直线，，的位置关系如图所示，有下列说法：①点在直线上；②直线经过点；③点在直线外；④直线，，两两相交；⑤点是直线，的交点．其中正确的有 （填序号）． 9．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在同一直线上顺次有三点，点是线段的中点，点是线段的中点，若想求出的长度，那么只需知道条件（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图所示，是的平分线，是的平分线，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·阶段练习）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，；点是线段上一点，，…，请借助所给的图形，计算的结果为 为正整数，用含n的代数式表示 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，条直线相交，最多个交点；条直线相交最多有个交点；条直线相交最多有个交点，那么条直线相交最多有 个交点． 17．（2024七年级·全国·竞赛）如图，的两边上分别有6个点和5个点，线段中，在内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），如与是“和睦线对”，图中“和睦线对”共有 对． 18．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，在的右侧作，在的右侧，且，分别在内部和内部画射线，，使，，则的大小为 ． 19．（2024七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，已知，若以，，，，为边的各角之和等于，则 ． 20．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，在内部任意画一条射线，平分，平分．根据图形填空： (1)________； (2)_______； (3)； (4)若，则________；若，则________． 21．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 22．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】 （1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】 （2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】 （3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线； 23．（25-26七年级上·全国·阶段练习）（1）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C，D，则图中共有________条线段． （2）【模型构建】如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？ （3）【拓展应用】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握多少次手？ 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 25．（23-24七年级上·广西百色·期末）阅读下表： 线段上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N 3    4    5      6    7 解决下列问题： (1)在表中的空白处分别画出图形，写出结果； (2)猜测线段总条数N与线段上的点数n（包括线段的两个端点）的关系是：___________； (3)当时，计算的值等于___________； (4)问题拓展： ①七年级（1）班有45位同学参加聚会，若每两人握一次手问好，那么共握了___________次手？ ②计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠6个站点，需要制定m种票价，设计n种车票，则m和n的值分别为（　　） A．7、14                B．8、16                C．15、30                    D．28、56 26．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 27．（22-23七年级上·全国·单元测试）阅读材料并填空． 【问题】 在一条直线上有个点，每两个点确定一条线段，一共有多少条线段？ 【探究】 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有条线段； 当有个点时，有____条线段；… 当有个点时，从这些点中任意取一点，以这个点为端点和其余各点能组成条线段，这样总共有条线段，在这些线段中每条线段都重复了一次，所以一条直线上有个点时，一共有______条线段． 【应用】 平面内有个点，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出_____条不同的直线． 28．（23-24七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】 如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系． 图形 … 直线条数 2 3 4 … 最多交点个数 1 … 【延伸探究】 （1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点； （2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值； 【实践应用】 （3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数． 29．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）一款密码游戏，规定参与者都要使用密码交流，且每两个参与者之间使用一套密码．探究游戏参与人数与使用密码总套数之间的关系，小丽同学按如下方式借助示意图进行直观分析：用“点”表示游戏参与者，用“线段”表示密码，则有： ①如图1，当有2人参与游戏时，使用1套密码； ②如图2，当有3人参与游戏时，使用3套密码； ③如图3，当有4人参与游戏时，使用6套密码；．．．．．． (1)操作：仿照小丽同学的方法，探究有5人参与游戏时使用密码的总套数，写出探究过程． (2)归纳：当有个人参与游戏时，每个人使用__________套密码，共有__________套密码（用含代数式表示）． (3)应用：游戏中所有的密码都需要传输设备传递，传输设备有四种型号，分别为5通道、10通道、15通道、20通道，每个通道只能传输一套密码，参与者根据使用密码套数多少选取适当型号传输设备（通道够用的前提下避免浪费，例如4人玩该密码游戏，每个参与者只能选取5通道传输设备，不能选取10通道传输设备）．若甲团队玩该密码游戏参与者选取15通道传输设备，乙团队玩该密码游戏参与者选取10通道传输设备，请直接写出甲团队游戏中传递的密码总套数与乙团队游戏中传递的密码总套数之差的最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $