专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 例2（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 例3（24-25九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 例4（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 例5（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 例2（2024·江西上饶·一模）课本再现： （1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形， ． ， ， ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用： （2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，试探究与之间的数量关系． 例3（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 例4（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D． 试判断： ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”） （2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由． 例5（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点是的中点，求的值． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 例2（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 例3（2025·江苏南通·模拟预测）（1）如图①，四边形是正方形，G为边上的任意一点，于点E，，交于点F．求证：． （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，且，连接，过点B作，交于点E，垂足为F，求与之间的数量关系． （3）如图③，在中，，．若D是射线上一点，，，连接，过点B作于点F，请补全图形，并求的长． 例4（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 例5（24-25九年级下·湖南常德·期中）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图1，求证； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，若点为的中点，求的值． 1．（2025八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，为边上的中线，于点E，交于点F，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， (1)求证： (2)当为中点，且时，求的值． 5．（2026九年级·贵州·专题练习）在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 7．（2026·湖北·模拟预测）问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 8．（25-26八年级上·广东湛江·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 12．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 13．（2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 14．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 20．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 16．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 18．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点， 　　   (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是边上一点，连接和，，求的长． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则=______； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为______．（用、的代数式表示） 21．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 22．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 23．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 24．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 25．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 26．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，点D在边上运动，连接．过点A作，交边于点E，交线段于点F． (1)边的长为 ； (2)当与相似时，求的长； (3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时的面积； (4)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （2025·山东青岛·模拟预测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质是解答的关键． （1）先根据正方形的性质得，，再根据余角性质得到，进而利用证明，根据全等三角形的对应边相等得到即可求解； （2）根据矩形的性质和余角性质得到，，进而证明，然后根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， （2）如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， （3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 例3（24-25九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 例4（2025·河南南阳·一模）华师大版教材八年级下册页有一道习题： 如图，在正方形中，． 求证： 解决下列问题： (1)该习题不添加辅线，只需证明______，即可得到结论． (2)如图1，正方形中，点、分别在边、上． ①过点G作交于点．（要求尺规作图，不写作法，仅保留作图痕迹）． ②求证：． (3)如图2，黄金矩形（）中，点、、分别在边、、上，且，若．请直接写出线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）①根据题意作图即可；②过点作交 于点，交 于点，进而证明，从而求解； （3）根据题意判定，进而求解； 【详解】（1）证明：， ， 是正方形， ，， ， ， ， ； ； 故答案为： 该习题不添加辅线，只需证明，即可得到结论； （2）解：①根据题意，作图如下： ②∵四边形为正方形， ，，， 过点作交 于点，交 于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：根据题意，过点作交 于点，交 于点，作图如下： 四边形为矩形； ， 四边形为平行四边形； ， ， ， ； ， ， ， ； 例5（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质及正方形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， 在中， ． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例2（2024·江西上饶·一模）课本再现： （1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形， ． ， ， ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用： （2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题． ①求证：； ②若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； （2）①证明，求出，即可得到答案；②证明，根据三角形相似的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：①由（1）知， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， 又， ， ； 例3（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                  ∴， 在和中，，     ∴， ∴. 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 例4（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D． 试判断： ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”） （2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②=； （2）当点E在延长线上时，；当点E在线段上时， 【分析】此题考查了重心的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键： （1）①由重心定义得到分别平分，推出，再利用外角定义求出的度数； ②根据30度角的定义求出，即可得到； （2）分两种情况：当点E在延长线上时，当点E在线段上时，构造全等图形解答． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴ ∵P是等边的重心， ∴分别平分， ∴， ∴， 故答案为； ②∵分别平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当点E在延长线上时， 在上截取， ∵是等边三角形， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴； 当点E在线段上时，如图，延长，使， 由由翻折得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 例5（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图1，是等边三角形，点在的延长线上，点在上，，，交于点．    (1)①求证：； ②求证：； (2)如图2，若点是的中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，，相减后可得结论； ②过点作，可得是等边三角形，证明即可； （2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得出，然后计算即可． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； ②证明：过点作，则，    ∵， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 设，则， 点是的中点， ， ，， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵中，是斜边的中线，， ， 又 ∵， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 例3（2025·江苏南通·模拟预测）（1）如图①，四边形是正方形，G为边上的任意一点，于点E，，交于点F．求证：． （2）如图②，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，且，连接，过点B作，交于点E，垂足为F，求与之间的数量关系． （3）如图③，在中，，．若D是射线上一点，，，连接，过点B作于点F，请补全图形，并求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析，的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意证明，从而得到，进一步得出结论； （2）由，得到，证明，从而得到，进一步得出结果； （3）分两种情况：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）如图①，过点C作，交的延长线于点H，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F是的中点， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴； （3）当点D在线段上时，补图如图②所示，过点C作，交的延长线于点H， 由（2）得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值已舍去）， ， 当点D在的延长线上时，补图如图③所示，过点C作于点H， 同理可证， ∴ 又∵， ∴， 设，则， ， 解得：（负值已舍去）， 综上所述，的长为或． 例4（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连接．过点C作，交边于点D，交线段于点F． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)． (2) (3)或． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）当时，可得，再证明，可得，，进一步可得答案； （3）当四边形为轴对称图形时，情况一：如答图1，以为对称轴时，则，情况二：如答图2，以为对称轴时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）解：， 当时， ． ，， ，． ， ∴， ∴． ． （3）解：当四边形为轴对称图形时， 情况一：如答图1，以为对称轴时，则， ． 情况二：如答图2，以为对称轴时，则， ∴点D到、的距离相等． 设点D到、的距离为h，点C到的距离为m， ． ，，， ，即． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握轴对称图形的性质是解本题的关键． 例5（24-25九年级下·湖南常德·期中）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图1，求证； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，若点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证； （2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证； （3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 1．（2025八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，为边上的中线，于点E，交于点F，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，取的中点，连接，易得为的中位线，进而得到，推出，得到，进而得到，证明，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 取的中点，连接，则：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，正方形中，E是中点，连接，作交于F，交于P，交于H，延长交延长线于G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得，根据证明，，，列比例式可求得：和的长，从而得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中点定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清比例之间的数量关系． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵， ， 设，则， 在中，， ， 即． ， ． 4．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， (1)求证： (2)当为中点，且时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点作，交于点，先证明，根据全等三角形的性质可得，则可得，再设，则，证出，根据全等三角形的性质可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得，代入解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 5．（2026九年级·贵州·专题练习）在矩形ABCD中，E是射线CB上的一点，过点D作分别交直线AE，AB于点G，F，且． (1)【问题解决】如图，若点E在线段BC上，求证：四边形ABCD是正方形； (2)【深入探究】在（1）的条件下，若，，求DC的长； (3)【拓展迁移】过点A作交直线CD于点M，直线ME，DF相交于点H，根据题意画出图形，试探究EM，GH，AG之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）通过证明三角形全等，得出矩形的邻边相等，从而证明其为正方形； （2）证明三角形相似，利用相似比求出，再结合勾股定理求出； （3）根据正方形性质和角度关系，分当点E在线段BC上时，当点E在CB的延长线上时，两种情况探究线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如解图1， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：易知，， ， ， ， （负值已舍去）． 在中，由勾股定理得， ． ； （3）解：如解图2，当点E在线段BC上时， ， ， ． ， ． 由（1）知，此时四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ， ． 如解图3，当点E在CB的延长线上时， ， ， ． ， ． 由（1）同理可得四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查矩形、正方形的判定与性质，三角形全等与相似的应用，掌握全等、相似三角形的判定方法及正方形的性质是解题的关键 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点M作于G，交于H，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于K，交于L，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作E作于点I，过点G作于点J，解得四边形是矩形，再证明，根据相似三角形的性质得，可得四边形和四边形都是矩形，勾股定理求出，代入比例式计算即得． 【详解】（1）解：如图，过点M作于G，交于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵于点O， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）如图，过点M作于K，交于L，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如图，过点E作于点I，过点G作于点J，则， ∵于点M， ∴, ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵恰好经过四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中心对称性质，正确构造辅助线，是解题的关键． 7．（2026·湖北·模拟预测）问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 【答案】(1) (2)① ；② (3) 【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， 四边形为矩形， ， ； ， ， ； ， ， ； （2）解：①过点E作于点Q，如图所示， 矩形沿直线折叠， ； 故由（1）知，； 由勾股定理得， ； ②如图，过G点作于点P， 则， ， 又， ， ， ， ； 在中，由勾股定理即得； （3）解：如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ， ； 四边形是矩形， ， ； 在中，由勾股定理得， 即 整理得：， 即y与x的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·广东湛江·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）结合（1）可知，再根据与同高即可求解； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； （3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）过点作交于点，如图，利用平行线分线段成比例定理， 由得到，由得到，则，所以； （）先证明，得到，则利用 ，，，得到，则，由于，所以，然后把与相加得到，然后解方程即可． 【详解】（1）证明： 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图， ∵为中线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，即， ∵， ∴，即， 得， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，角平分线定义，三角形的外角性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 12．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 13．（2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 14．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 20．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2， 则四边形是平行四边形． ， 是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由得③， 解方程组， 得（不合题意的值已舍）， ， ． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质与判定和勾股定理，解二元二次方程组，平行四边形的判定与性质等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 16．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在中，动点M在边上从点A向终点C运动，同时点N在边上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点P． 【特例初探】 （1）如图1，若为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为__________； 【类比探究】 （2）如图2，若为等腰直角三角形，斜边为，点M的速度为1，点N的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】 （3）如图3，若为等腰三角形，底边为，且，，点M的速度为v，点N的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有n，，v的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形性质得，结合，得,得，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，得到，由题知，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，由于点M的速度为v，点N的速度为，得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； （2）在等腰直角三角形中，， ， ， ，由题知， ， ， ， ， ； （3）， ， 点M的速度为v，点N的速度为， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 18．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 【答案】初探猜想：，理由见解析 类比探究： 知识迁移： 拓展应用： 【分析】初探猜想：证明，进而结论得证； 类比探究：如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； 知识迁移：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理类比探究，，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； 拓展应用：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】初探猜想：解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 类比探究：解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 知识迁移：解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理类比探究，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴； 拓展应用：解：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，分别是上的点，连接和相交于点， 　　   (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是边上一点，连接和，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为4 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再由得出，推出，最后根据直角三角形的性质即可得证； （2）证明得到，从而得出，即可推出； （3）先证明，作交的延长线于点，连接，证明得到，由此即可得解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ∴， 故在中，， ∴， （2）证明：∵是等边三角形， ∴， 又 ， ， ， ∴， 即， （3）解：， ， ， ， 作交的延长线于点，连接， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则=______； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为______．（用、的代数式表示） 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）证明，进而结论得证； （2）如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； （3）如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理（2），，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； （4）如图4，连接，，证明，则，同理（2）可得，，即，则，如图4，作关于的对称点，连接，，，则，，当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理（2），， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图4，连接，， 由翻折的性质可知，，，，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理（2）可得，，即， ∴， 如图4，作关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，， 则， ∴， ∴， 则， 设，则， 在中，，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， 解得： (舍去)， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、配方法解一元二次方程，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 22．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 23．（2025·贵州铜仁·三模）【问题解决】（1）如图，在正方形中，点为边上的一点，过点作于点，交于点，求的值； 【灵活运用】（2）如图2，在矩形中，点是边上一点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值； 【知识迁移】（3）如图3，在中，，点是边的中点，连接，过点作于点，交于点，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可． （2）证明即可． （3）构造矩形，延长交于点，利用勾股定理，三角形相似的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∵于点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． （3）解：构造矩形，延长交于点，如图所示， 由（2）中结论可得， ∵， ∴设， ∵点为的中点， ∴ 在中，根据勾股定理，得 ∵ ∴， 则， 解得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得 ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 24．（2025·湖北·模拟预测）数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： 【教材呈现】（1）如图1，在中，，于点．直接写出一个与相似的三角形； 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，，点分别在上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）利用互余易得，则可得∽；由，可得∽，则与相似的三角形为或； （2）证明∽，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设；易得四边形是矩形，则．≌，则有；再证明∽，有，则 ．则，．由建立方程可求得x的值，从而求得；过点作，垂足为，交于点．证明∽，即可求得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴∽， ∵， ∴∽， ∴与相似的三角形为或； （2）∵矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴∽， ∴． ∵， ∴． （3）如图，连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴≌， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴∽． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 过点作，垂足为，交于点． 则， ∴四边形为矩形， ∴； 在和中，， ∴． 在和中，， ∴∽， ∴， 在矩形中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，构造三角形相似是解题的关键． 25．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 26．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，，，点D在边上运动，连接．过点A作，交边于点E，交线段于点F． (1)边的长为 ； (2)当与相似时，求的长； (3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时的面积； (4)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)或 (3)最小值为， (4)或 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可； （3）如图，取中点O，连接，则，当B、F、O三点共线时，最小，最小为，利用直角三角形斜边中线的性质和勾股定理可求出，则可求的最小值；如图，过F作于G，证明，利用相似三角形的性质求出、，再利用三角形面积公式求解即可； （4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵， 当与相似时，有、两种情况， 当时，则， ∵， ∴，即点F和点D重合，点E与点B重合， ∵ ∴，即，解得：， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 综上，的长为或． （3）解： 如图，取中点O，连接，则， 当B、F、O三点共线时，最小，最小值为的值， ∵，O为中点， ∴， ∴， ∴最小值为， 如图，过F作于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时，则， ∴； ②如图，以为对称轴时，则， ∴点D到的距离相等， 设点D到的距离为h，点C到的距离为m， ∴， ∴，即， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、最短距离问题等知识点，明确题意、添加合适辅助线构造相似三角形以及分类讨论思想的运用是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $