第三章 图形的相似 同步习题 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

第三章 图形的相似 同步习题 一、单选题 1．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是 （      ） A． B． C． D． 4．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2 6．如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（　　） A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m 7．若，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 8．乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为(　　) A．(90－30)厘米 B．(30＋30)厘米 C．(30－30)厘米 D．(30－60)厘米 二、填空题 9．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为3：4．若．则的长为 ． 10．若，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 12．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为米，则旗杆的高为 米． 13．有下列3个命题： ①方程的根是和． ②在中，，于D．若，，则． ③点的坐标满足，若点P也在的图象上，则． 上述3个命题中，真命题的序号是 ． 14．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则 ． 三、解答题 15．在△ABC中，点D、E分别边AB、AC上的点，若AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3，求DE：BC的值． 16．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 17．如图，在中，．求与的周长之比． 18．如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3． （1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于 ； （2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2； （3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？ （4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A D A D C 1．C 【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等. 设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可. 【详解】解：设该旗杆的高度为， 根据题意得：， 解得：. 即该旗杆的高度是4.8m. 故选：C ． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选C． 3．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，但x是未知线段，不能画出，故此选项不符合题意； B、由图可得，即，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，故此选项不符合题意； D、由图可得，即，故此选项符合题意； 故选：D． 4．A 【详解】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边； ②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定； ③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件； ④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件； ⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件； ⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件； 所以正确的有③⑥． 故选A． 5．D 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴DF：AB=DE：EB． ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO． 又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3． ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D． 6．A 【详解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB， ∴，， 即， ， 解得：DE=1.5 m，HG=2.5 m， ∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1 m， ∴影长变长1m． 故选A． 7．D 【详解】设，则所以所以. 8．C 【详解】分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 详解：根据黄金分割点的概念得：AC=AB=（30-30）厘米． 故选C． 点睛：此题主要是考查了黄金分割点的概念，要熟悉黄金比的值是关键． 9．16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为3：4，， ∴，即， ∴． 故答案为：16． 10．3 【分析】设，则，，，然后代入所求的代数式即可求解． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，根据题意设法是比较好的解题方法． 11． 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了平行投影和相似三角形的判定与性质，证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 13．①②③ 【分析】解一元二次方程即可判断①，证明，根据相似三角形的性质得出，即可判断②；将已知等式变形，得出，即可判断③ 【详解】解：① 即， 解得： ∴方程的根是和．此命题正确． ②∵在中，于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得．故此命题正确． ③∵点的坐标满足， ∴， 解得：． ∴． ∵点也在的图象上， ∴．故此命题正确． 综上所述，真命题的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，反比例函数的定义，综合运用以上知识是解题的关键． 14．/0.75 【分析】设，由题意得，，根据勾股定理得，即，解得，即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， 在中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，正确掌握勾股定理及设定未知数求解是解题的关键． 15． 【分析】由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△AED，即可求解． 【详解】∵AD＝2，DB＝7，AE＝3，EC＝3， ∴AB＝9，AC＝6， ∵，， ∴，且∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△AED， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，证明△ABC∽△AED是本题的关键． 16．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    17． 【分析】本题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握，主要利用了相似三角形周长比等于相似比求解。 根据四边形是平行四边形，推出利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解。 【详解】解：由，得． 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ∴与的周长之比等于． 18．(1) ；（2）图见解析；（3）△A3B3C3是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；（4）（﹣2x﹣2，2y+2）． 【详解】试题分析：（1）根据位似图形可得位似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据△A3B3C3与△A2B2C2的关系过程其变化过程即可；（4）根据三次变换规律得出坐标即可． 试题解析：（1））△ABC与△A1B1C1的位似比等于=； （2）如图所示 （3）△A3B3C3是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到； （4）点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2x﹣2，2y+2）． 考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $