专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： （24-25九年级上·广西·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是（   ） A．4 B． C． D．5 例2（2024·湖北·一模）如图所示，在边长为的正方形中，有一个小正方形，其中点分别在线段上，若，则小正方形的边长为（   ） A．6 B．5 C． D．2 例3（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 例4（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 例5（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 1．（25-26九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（25-26九年级上·河北·阶段练习）在中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，在矩形中，，，平分，，则下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A．16 B．20 C．24 D．48 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知矩形的顶点分别落在轴，轴上，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，为边上一动点．若，垂足为，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，是边上一点，交于点．当的最大值为4时，则 ． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，点D落在D'处，交于点M．若，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 11．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 12．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）在等边三角形中，点M，N分别是，上的点，且，， (1)当时，求的长． (2)点M在什么位置时，的长为． 13．（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交的外角平分线于点F，交边于点M；连接交边于点N，延长线交延长线于点G． (1)求的长； (2)求的长； (3)求值． 14．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 16．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，点A为反比例函数图象上的一动点，连接，过点O作的垂线，且（点B在第一象限），点B的横纵坐标分别为，求证：是一个定值． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在矩形中，是的中点，过点作交于点，连接．求证： (1)； (2) 18．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点，连接，作交边于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 19．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，于D． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（24-25九年级上·山东青岛·期中）【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F． （1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN （6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结 合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌 握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方 便掌握。 目录导航 例题讲模型 1 模型来源 1 真题现模型。 .1 提炼模型 .2 模型拓展… 0.3 模型运用. 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） .4 习题练模型 .12 例题讲模型 模型来源 动态旋转起源：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位 置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等 的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得 到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出K型图（如华东地区）与M型图（如 1/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 华北地区)的呢称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 真题现模型 (2025·青海西宁一模)阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑 推理的典例，已知A,E,B三点共线，且∠A=∠DEC=∠B的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来 探究它具有哪些几何图形的性质呢？ H (1) 2 (3) A.E,B ∠A=∠B=∠DEC=90 (1)【特例探究】如图，已知 三点在同一条直线上， ,求证： Rt△ADE∽Rt△BEC (2)【规律总结】如果∠A=∠B=∠DEC,你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC (3)【实例应用】如果∠A=∠B=∠DEC 若点E是MB的中点，求证： DE=AD.DC 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键.本题考查一线 三等角模型，平时要多积累总结 (1)利用已知得出∠D=∠CEB,以及∠A=∠B即可得出△ADE∽aBEC; (2)利用已知得出∠D=∠CEB,进而求出△ADEP△BEC; DE AD AE DE AD (3)根据相似三角形的判定得出。ADEABEC,确定EC=BE=BC,结合题意得出EC=AE,再由 相似三角形的判定和性质即可证明。 【详解】(1)证明：：'∠A=∠B=∠DEC=90°， .∠DEA+∠CEB=90°， :∠DEA+∠D=90°， 2/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D=∠CEB, :.Rt ADE∽RtABEC; (2).∠A=∠B=∠DEC,∠DEB=∠A+∠D=∠DEC+∠CEB, .∠D=∠CEB, △ADEr△BEC. (3):∠A=∠B=∠DEC,∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB, ,:.∠ADE=∠CEB △ADEn△BEC. DE AD AE ·EC BE BC' :点E是AB的中点， .AE=BE, DE AD 六ECAE ∠A=∠DEC, △AED∽AECD, DE CD AD DE DE2=AD·DC (24-25九年级上广西·阶段练习)三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直 角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型)·解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或 相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题 B D 图1 图2 图3 【证明体验】 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD·BC=AP.BP 【思考探究】 3/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD 中，点为B上一点，当 P ∠DPC=∠A=∠B=B (2)如图2，在四边形 时，上述结论是否依然成 立？说明理由. 【拓展延伸】 (3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图3，在△14BC中，MB=22,∠B=45 以点4为直角顶点作等腰Ra1DE,点D在BC上，点E在 AC上，点F在BC上，且∠EFD=45”,若CE=5,求CD的长. 【答案】(1)见详解(2)成立，理由见详解(3)5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容 是解题的关键 (1)通过等量代换得到∠BPC=∠ADP,再结合∠DPC=∠A=∠B=90°，证明△BPC∽aADP,则 AD AP BP BC 即可作答。 ∠BPC=∠ADP ∠DPC=∠A=∠B=B (2)与(1)过程类似，通过等量代换得到 ，结合 ,证明 AD AP ADBC=AP.BP,则BP-BC,即可作答. (3)因为点A为直角顶点作等腰Rt△ADE,得∠ADE=∠AED=45°，与(1)过程类似，通过等量代换得 到∠BAD=∠FDE,证明△BAD∽aFDE,得出DF的值，再证明△EDC∽aFEC,列式代入数值，即可作答. 【详解】解：(1)：∠DPC=∠A=∠B=90° ,.∠APD+∠BPC=90°，∠ADP+∠APD=90 ,∠BPC=∠ADP :∠A=∠B=90° ,△BPC∽△ADP AD AP ·BPBC .AD.BC=AP.BP: (2)成立，理由如下： 4/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DPC=∠A=∠B=B ∠DPC+∠BPC=∠ADP+∠A 即∠BPC=∠ADP ∠DPC=∠A=∠B=B ∴.△BPC∽A△ADP AD AP …BPBC AD·BC=AP·BP: (3):RtAADE是等腰三角形 ∠ADE=∠AED=459,DE=VAD+AE-V2AD,4D-2 DE 2 ∠B=45°，∠EFD=45° ∴与(1)、(2)同理，得△ABD∽△DFE AB AD2 DF DE 2 .4B=2V2 ..DF=4 :∠AED=45°，∠EFD=45 .∠DEC=180°-45°=∠EFC :∠C=∠C ,.△DEC∽AEFC DC EC ·ECFC 4+FC5 即V5FC 解得FC=山，FC=-5(FC为线段，负值舍去) .CD=1+4=5 5/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提炼模型 1)一线三等角模型（同侧型） D (锐角型) (直角型) (钝角型) 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：，∠1+∠C=∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2 .∠C=∠DEB,∠1=∠3，△ACE-△BED。 2)一线三等角模型（异侧型） A ⊙ 条件：如图，∠1=∠2=∠3， 结论：△ADE∽△BEC 证明：∠1=∠2，∴.∠CBE=∠EAD（等角的补角相等)，. ∠C=∠DEB,:∠1=∠3，∴.△ACE-△BED。 ,∠2=∠C+∠CEB(外角定理)，∠3=∠DEA+∠CEB,∠2=∠3∴.∠C=∠DEA,∴.△ADE-△BEC. 模型拓展 3)一线三等角模型（变异型） 6/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1B 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∠1+LC-∠2+∠DEB(外角定理)，∠1=∠2，∴.∠C=∠DEB,:∠1=∠3，∴.△ACE-△BED。 AE CE BE CE BE BD .BDED,:C为AB的中点，AE=EB,.BDED,.CEED,:∠2=∠3，.△BED-△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC一△BDE一△BFC一△AFB 证明：∠ABD=∠AFE=90°，∴.∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴.∠CBF=∠A, :∠ABD=∠BDE=90,.△ABC-△BDE,.∠ABD=∠AFE=90°，.∠ABC=∠BFC=90°， '△ABC一△BFC,同理可证：△ABC一△AFB,故△ABC一△BDE一△BFC一△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°结论：△ABM~△NDE一△NCM. 证明：，∠ABD=∠ACE=90,.∠ABM=∠MCN=90, :∠AMB=∠NMC(对顶角相等)∴.△ABM~△NCM.同理可证：△NDE一△NCM 故：△ABM-△NDE-△NCM. 模型运用 模型1.一线三等角模型（相似棋型） 例I(25-26九年级上江苏南京阶段练习)如图，在矩形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上， DE⊥EF,EF⊥FG,BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是() 13 14 A.4 B.3 C.3 D.5 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。 7/60 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明&EFBAFGC,ADAEAEBF' 根据相似三角形的性质得出CG:4,化= 3,进而求得AB,即可求解。 【详解】解：EF⊥FG, ∠EFB+∠GFC=90°， ·四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD, .∠GFC+∠FGC=90°， ∠EFB=∠FGC, ∴.△EFB∽AFGC BE BF .FC CG' BE=3,BF=2,FC=6, 32 .6CG, .CG=4, 同理可得△DAE∽aEBF, AD AE .BE BF 8AE .32, 4E=16 :BA=AE+BE=16+3=25 3, 0-0-c63-4号 3· 故选：B. 例2(2024湖北一模)如图所示，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中点 E、F、G分别在线段AB、BC、FD上，若BF=3,则小正方形的边长为() 8/60 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H E G F A.6 B.5 c D.2 【答案】c 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理。 BE FC 先证明△EBF∽△FCD,得出BFCD,即可求出BE的长，用勾股定理求解即可. 【详解】解：由题得∠EBF=∠EFG=∠C=90, ∴.∠EFB+∠DFC=90°，∠FEB+∠EFB=90°， .∴∠FEB=∠DFC :∠B=∠C, ∴△EBFn△FCD, .BEFC BF CD, FC=12-BF=9,BF=3,CD=12, .BE-9 EF=BE+BFE=15 . 故选：C 例3(25-26九年级上广西来宾阶段练习)如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA,点A 在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为一 9/60 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-12 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作AC上x轴，BD⊥x轴， 证明△BOD∽△OAC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出△BOD的面积，根据k值的几何 意义，即可得出结果 【详解】解：作ACLx轴，BD⊥x轴，则BDO=∠ACO=90°=∠AOB, ∴.∠BOD=∠OAC=90°-∠AOC, ∴，△BOD∽△OAC, S.BOD OB2 OA, .OB=20A, S.BOD=4 :.S.AOC 点4在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数y=,的图象上， S40c= 3 2 .S.BOD= 因=4×=6， 3 2 :B在第二象限， 10/60