专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25八年级下·山东·期末）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号) 例4（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y  轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为 ． 例5（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标是，一个以O为顶点的的角绕点O旋转，角的两边与对角线交于点M、N． (1)试说明在旋转的过程中； (2)若点M的横坐标为1，求点N的坐标； (3)如图②，过点M作于点E，过点N作于点F，延长、交于点G，则点G始终在某一函数图象上运动，设点G的坐标为，试求出此函数关系． 1．（2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 2．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知、分别为正方形的边上的点，且，分别交对角线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①点是的中点，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③ 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论： ①；②是等腰直角三角形；③当时，；④； 其中正确的结论是 ． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，，点是边上一点，且．点是对角线上一点，连接，若，则的长为 ． 12．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 13．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，、在矩形的边、上，，，，，则的长为 ．    14．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是边、上的点，，求证：． （2）尝试应用：如图2，在等腰直角三角形中，E、F是斜边上的两个点，且，试探究、、之间的数量关系． （3）拓展创新：如图3．在矩形中，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，，则的长度为_______． 16．（2025·广东清远·一模）数学活动课上，某学习小组正在利用等腰直角三角形开展研究． 【初步探索】（1）已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，，将固定不动，把的顶点F与A重合． ①如图1，与重合，则阴影部分的面积与的面积比为____； ②如图2，将绕点A旋转（始终在内部），线段分别与交于点M、N，在旋转过程中，是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（2）如图3，在矩形中，点E，F分别在边上，，求的长． 17．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 18．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 23．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 24．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 25．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】由题意易得，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，通过证明即可判断A选项；由题意易得，然后展开化简即可判断B选项；进而可得，则有，将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，通过证明，则可判断C、D选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，即， ∵， ∴， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的综合、旋转的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． （2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，，，D，E在边上，，，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，设，则，，然后在中，利用直角三角形的边角关系可得，，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而求出的长，最后证明，利用相似三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 设， ，， ，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（24-25八年级下·山东·期末）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是正方形，则，所以，可判断；把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，，证明，然后根据性质可判断；证明，则，从而判断，由四边形是正方形，，，，，证明，通过相似三角形性质可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图， 把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 例2（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是正方形中，边上的点，且，，，点的坐标为，将以点为旋转中心顺时针旋转，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质得，再运用勾股定理列式计算，然后结合旋转性质，证明，整理得，结合，得出，即可作答． 【详解】解：四边形是正方形，点的坐标为， ． ， ． 在中，． 如图，由题意可知旋转后点的对应点在直线上，过点作轴于点， 则， ， ， ． 设为， 则， 在Rt中，， 即， 解得（负值舍去）， ， 点的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转性质，坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 例3（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号) 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明． 【详解】解：如图，延长至点，使， 正方形中，，， ， ，， 又， ， ， ， ， ，， ，故①正确； ；故②正确； ∵， ∴ 当时， 又， ，故③不一定正确； ，， 的周长 ，故④正确； 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， 又， ．故⑤正确 故答案为：①②④⑤． 例4（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点 P 在 x 轴负半轴上，作直线 交 y  轴于点 C，以点 A 为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交 x 轴于点 B， 交y 轴于点 Q ．当 时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过作轴于，连接，证明，根据对应边成比例得到解题即可． 【详解】解：过作轴于，连接，如图： ∵， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∵以点为旋转心把直线逆时针旋转得直线， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标是，一个以O为顶点的的角绕点O旋转，角的两边与对角线交于点M、N． (1)试说明在旋转的过程中； (2)若点M的横坐标为1，求点N的坐标； (3)如图②，过点M作于点E，过点N作于点F，延长、交于点G，则点G始终在某一函数图象上运动，设点G的坐标为，试求出此函数关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)反比例函数关系 【分析】（1）根据正方形的性质以及，可得，，即可解答； （2）求出直线的解析式，可得点M的坐标，过点M作轴于点P，于点H，过点N作轴于点Q，则，为等腰直角三角形，证明，可得，从而得到，即可解答； （3）证明均为等腰直角三角形，可得，从而得到，由（1）得：，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴轴，轴， ∵点C的坐标是， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点M的横坐标为1， ∴点M的纵坐标为， 即点M的坐标为， 如图，过点M作轴于点P，于点H，过点N作轴于点Q，则，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：∵，，设点G的坐标为， ∴， ∵正方形的顶点C的坐标是， ∴正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 即此函数关系为反比例函数关系． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的应用，坐标与图形性质，勾股定理，两点的距离公式，相似三角形的判定与性质，求函数解析式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 1．（2024·安徽合肥·二模）正方形中，．点E、F分别在边、上，、分别交于点G、H，．则下列说法中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】由题意易得，将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，通过证明即可判断A选项；由题意易得，然后展开化简即可判断B选项；进而可得，则有，将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，通过证明，则可判断C、D选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，即， ∵， ∴， ∴， 将绕点A顺时针旋转90度得到，过点A分别作，垂足分别为N、J，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D错误，符合题意； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的综合、旋转的性质及相似三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． 2．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键． 如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，    ∴是等腰直角三角形，其中 过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， 设，则， ∴ ∴，解得∶， ∴， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得： ∴直线AH的表达式为， 令，则，解得：， ∴点E的坐标为． 故选C． 3．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知、分别为正方形的边上的点，且，分别交对角线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即，即可判断结论①；根据正方形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，，再根据相似三角形的判定，得出，即可判断结论②；连接，证明，再根据相似三角形的性质，得出，即可判断结论③；把按顺时针绕点旋转，连接，证明是直角三角形，再根据勾股定理，得出，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：如图，把绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴H、B、C在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即，故结论①正确； ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵是正方形的对角线， ∴， ∴，故结论②正确； 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； 如图，把按顺时针绕点旋转，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即，故结论④正确， 综上可得：正确的结论有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①点是的中点，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质结合，求解，，由折叠得：，，证明设，则，，由勾股定理得： 进一步解答可得①正确；如图2，过F作于H，证明，可得求解可得，所以②不正确；证明，可得所以③正确； 若，则，，进一步解答可得④错误． 【详解】解：①如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：，， ∴， ， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ∴． ∴点G是的中点；所以①正确； ②如图2，过F作于H， ∵， ∴， 由①得 ∴，所以②不正确； ③∵， ∴， 由折叠性质得， ∴， 所以③正确； ④ 若，则，， ∵， ∴， ∴，与矛盾；所以④错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，相似三角形的判定与性质，折叠性质，掌握折叠性质和正方形的性质是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将绕点逆时针旋转得到，连接线段，证明和，即可判断出①②③正确；过作，交于，交于，构造相似三角形即可判断出④错误，⑤正确，据此即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接线段，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∵， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 即， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ， ∴， 在中，，即， 故②正确； ∵，是中点， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 故③正确； ∵，，， ∴， ∴， 过作，交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 由②知， ∴， ∴ 设，则，， ∴， 过作，过作，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有个， 故选：． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，，则由勾股定理得到，求出，则，再证明，得到，即，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B．    7．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的．作添加恰当辅助线构造全等三角是解题关键．在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，可证四边形是正方形，可得，，通过证明，，可得，，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质求出． 【详解】解：在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接， 四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 8．（2025·山东青岛·二模）如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．延长至，使，证明，推出，，，利用证明，可判断①；利用余角关系可判断②；在中，由勾股定理计算可判断③；证明，利用相似三角形的性质可判断④． 【详解】解：延长至，使，    四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ，即， 又， ， ，①正确； ， ， ，②正确； 设， 为中点， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，③不正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：C． 9．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论： ①；②是等腰直角三角形；③当时，；④； 其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断； ③先证明，假设正方形边长为1，如图1，连接交于O，设，则，表示的长为可作判断； ④如图2，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 假设正方形边长为1，设，则， 如图1，连接交于O， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③不正确； ④如图2， ∴将绕点A顺时针旋转得到， 则，，． ∵． ∵， ∴H、B、E三点共线， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）矩形中，，，连接，，分别在边，上，连接，分别交于点，，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】首先把绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形为正方形，且，由旋转可得，，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，，，利用勾股定理可以求出，根据可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，把绕点顺时针旋转，得到， 延长交的延长线于点，延长交于点，连接， 则四边形为正方形，且， 由旋转可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ∴ 在中， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，，点是边上一点，且．点是对角线上一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得，，，再运用勾股定理得，，再证明，列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在，上．若，，则的长是 ． 【答案】7.2 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，熟练掌握正方形中的半角模型，字模型相似三角形是解题的关键．在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接，先证明手拉手模型旋转型全等，从而可得，，然后再利用正方形中的半角模型证明，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出，最后利用字模型相似三角形证明，利用相似三角形是性质进行计算即可解答． 【详解】解：在，上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ， 四边形的平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：7.2． 13．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，、在矩形的边、上，，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．在上截取，连接，在上截取，连接，设，根据矩形的性质可得，，，从而可得，，，，进而可得，，然后可证，，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：在上截取，连接，在上截取，连接，    设， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， 或（舍去）， ， ， 故答案为： 14．（2025·贵州毕节·一模）综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)【操作判断】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系． 小军的思路：过点作交的延长线于点，易证，从而，，可得，即可求解． 根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)【问题探究】如图②，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，在矩形中，，，点，分别在射线，上，连接，，已知，，求线段的长． 【答案】(1)补全图形见解析，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长为8或32 【分析】（1）按要求补图即可，根据证明，得出，再根据证明，得出，然后根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，然后类似（1）证明即可； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在的延长线上，根据相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图①； ，理由如下： 如图①，，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 如图②，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分情况讨论：①当点在线段上时，，则点在线段上，如图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，则四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 如图③，过点作交的延长线于点， 同理可证， ，， ， ，， ，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为8； ②当点在的延长线上时，，则点在的延长线上，如图④，延长至点，使，过点作的平行线，交于点，延长交的延长线于点，连接，则四边形是正方形， 同①可得， ， 设，则， 过点作交于点，同理可证， ，， 同理可证， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得，即的长为32． 综上所述，线段的长为8或32． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是边、上的点，，求证：． （2）尝试应用：如图2，在等腰直角三角形中，E、F是斜边上的两个点，且，试探究、、之间的数量关系． （3）拓展创新：如图3．在矩形中，点E、F、P分别在线段、、上，交于点M，，，，，则的长度为_______． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法利用旋转即可得出结论； （3）延长，延长交于点N，过点E作于H，交于点G，过点B作于点O，可证四边形是矩形，可得，，由相似三角形的性质依次求出的长，通过证明，由相似三角形的性质可求的长即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：延长至，使， ∵四边形是正方形， ∴. ∴ ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； （2）如图，逆时针旋转，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，, ∴， ∴ ∴，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴ （3）延长，延长交于点N，过点E作于H，交于点G，过点B作于点Q，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴, ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 16．（2025·广东清远·一模）数学活动课上，某学习小组正在利用等腰直角三角形开展研究． 【初步探索】（1）已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，，将固定不动，把的顶点F与A重合． ①如图1，与重合，则阴影部分的面积与的面积比为____； ②如图2，将绕点A旋转（始终在内部），线段分别与交于点M、N，在旋转过程中，是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（2）如图3，在矩形中，点E，F分别在边上，，求的长． 【答案】（1）①；②成立，证明见解析（2） 【分析】（1）①根据题意易证，推出，易证，推出，进而得到，即可解答；②将绕点A顺时针旋转至位置，则，，，旋转角．连接，证明，推出．结合，利用勾股定理得到，即； （2）分别延长至，使得，连接，得出四边形是正方形，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则，证明得出，设，在中，，即可求解． 【详解】（1）①解：∵和是两个全等的等腰直角三角形，且，， ∴，， ∵与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴阴影部分的面积与的面积比为； ②成立．如图，将绕点A顺时针旋转至位置，则，，，旋转角．连接， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． （2）解：如图所示，分别延长至，使得，连接， ∵ ∴， 又∵四边形是矩形 则 ∴四边形是正方形， 延长交于点，连接， ∵，， ∴ ∴ ∴， 将绕点顺时针旋转得到，则， 同（1）②可得 ∴ 设，则，， 在中， 即 解得： ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 【答案】(1)；理由见解答过程； (2)． 【分析】（1）补充的条件是，先证明，进而依据“”判定和全等即可得出； （2）连接，证明和相似得，，则，再根据得和相似，则，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后求出，，证明和相似得，则，由此可得的长． 【详解】（1）解：当时，,理由如下： ∵四边形是正方形，且边长为3， ∴，，,， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：连接GF，如图所示： ∵，, ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 18．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． (1)求证：； (2)如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 【答案】(1)见解析； (2)（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）见解析． 【分析】（1）由正方形的性质得，再证明，即可证明结论成立； （2）（）证，得，再证明，得，进而得，，即可得解；（ii）延长到，使得，证，得，，再证明（），得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）（）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）延长到，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质是解题的关键． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）10；（2），理由见解析：（3）26 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．即可求解； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程，再求出四边形的面积即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 由旋转得：， ，，，， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：10； （2）， 理由如下：如图②，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ， ， ， 又，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （3）如图③，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 在矩形中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 23．（2024·湖北·模拟预测）在平行四边形中， ，点E，F 分别为边，上的点，连接，，， (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，F 为的中点，求的长； (3)如图3，若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）由平行四边形中得到，，，，再结合得到，在上取一点，使，连接，则是等边三角形，再证明，得到，即可得到； （2）延长至，使，连接，则是等边三角形，得到，，由中点得到，，再证明，得到，解方程即可； （3）延长至，使，连接，设，，则，，先证明，得到，得到，再证明，得到，则，把代入得，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中， ， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵F 为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵，不在边上， ∴； （3）解：延长至，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，得到， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 把代入得， 解得或， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 24．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 25．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形和正方形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用一线三等角，证明即可解答； （2）在上截取，使，连接，证明，再通过角度的转换即可解答； （3）过点作的垂线交的延长线于点，利用（2）中性质可得，则可得即可解答． 【详解】（1）证明：如图，作的延长线， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ， ， ． ， ． ． ， ， ． ； （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点， 设菱形的边长为， ， ， ，由（2）知，， ， ， ， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $