专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学湘教版九年级上册

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交点分别为，根据正方形的性质证明，得出四边形的面积等于正方形的面积，证明，根据相似比求出，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点作，交点分别为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于正方形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 例2（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    【答案】（1）90；（2）见解析 【分析】（1）根据互补四边形的定义得到，由四边形内角和得，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数； （2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，可以证明，就可以证明四边形ADEC是互补四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是互补四边形，且与是一组对角， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∵， ∴设，，， ，解得， ∴，则， 故答案是：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ADEC是互补四边形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 例3（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）定义：有一组对角为直角的四边形称为准矩形． (1)如图1，准矩形中，，若，，，求的长； (2)如图2，边长为3的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且四边形是准矩形． ①当时，求的长． ②点F从点D运动到点C的过程中，E随之运动，求E运动的路径长． 【答案】(1) (2)①的长是；②点E运动的路径长为 【分析】根据题意和勾股定理可以求得的长； ①易得，，再证∽，即可得解； ②由题可知点E的运动路径长为的长，利用∽，求出最大值即可． 【详解】（1）如图，连接， 准矩形中，，若，，， ，， ， 故答案为：； （2）①边长为3的正方形中，点E、F分别是边上的点，且四边形是准矩形， ，， ， ， ， ，， ， 又， ∽， ， ， ， 即的长是； ②设，， ，， ∽， ，即， 化简，得； 当时，，即最大值为， 点E运动的路径长为 【点睛】本题考查四边形综合题、三角形相似、勾股定理、特殊角的三角函数值，这是一道综合性题目，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答． 例4（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）延长到，使得，连接，证明得出，，再由等边对等角可得，从而推出，即可得证； （3）由勾股定理可得，由邻等对补四边形的定义求出，再分四种情况，分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）点的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） （2）证明：如图，延长到，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 平分． （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接，， ， 由勾股定理可得， 解得． ②当时，如图2，连接， ，， ， ， 即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 例5（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °． (2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． (3)如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)140，70 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，当四边形是“等对角四边形”时，由，即得，再利用四边形内角和定理求出； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由等边对等角得出，再由，利用同角的余角相等得出，又，根据“等对角四边形”的定义，即可证明四边形是“等对角四边形”； （3）根据，，画出图形，利用等腰直角三角形性质和相似三角形性质，求出，即可得到的长度． 【详解】（1）解： 四边形是“等对角四边形”，， ， ， 故答案为：140，70； （2）证明：如图： 在中， 为斜边边上的中线， ， ， ， ， . ， ， ，且 四边形是“等对角四边形”； （3）解：点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图： 平分，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵，， ∴， ，， ， ，即， ， ， ， ； 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 2．（2025·河南漯河·二模）人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验． 【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为． 【发现】 (1)如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形； 【探究】 (2)若点落在矩形对角线上，求的长； 【拓展】 (3)如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)BE的长为或 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）①如图1，当点落在上时，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，由翻折的性质可知，求得，设，在中根据勾股定理得到；②如图2，当点在上时，由，可得垂直平分，根据相似三角形的性质即可得到； （3）如图3，过点作于点I，设，则，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：将沿折叠，点B的对应点为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）①如图1，当点落在上时， ′ ∵四边形是矩形， ， ， ， 将沿折叠，点B的对应点为， ， ， 设，在中，， 解得：， ； ②如图2，当点在上时，由，可得垂直平分， ， ， ， ， ， 即 ， 解得 ：； 综上所述，的长为 或； （3）解：如图3，过点作于点I， 设，则， ； ， ， ， 当 时，的面积最大， 设， 在中，， 化简整理得：， 故． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，分类讨论是解题的关键． 3．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小明发现通过证明，可得．请帮助小明完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，O为对角线上任意一点，过O作，交于点F，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，O为对角线上任意一点，点F在上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N，结合矩形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，相似三角形的判定方法得，即可得证； （3）过O作，交于点G，结合平行四边形的性质及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：（1）∵四边形和四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ， ； （2）过点O作于点M，反向延长交于点N， ∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 又，， ， ∴， ∴， ； （3）过O作，交于点G，如图③， ∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 又∵，是公共角， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，并能添加恰当的辅助线，构建全等三角形和相似三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质和三角形外角的性质得到，即可得出结论； （2）证明，得到，再证明，得到，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·甘肃陇南·一模）综合与探究 (1)在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系： (2)兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）由可证，可得； （2）通过证明，可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点C作于点F，证明得，设，在中，则勾股定理列出x的方程解答便可； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解：四边形为“直等补”四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过点C作于点F，如图1，    则， ∵四边形是“直等补”四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．    则，，， 因为点D到所在直线的距离为， 所以， ∵， ∴，， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)①；②周长的最小值为 【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行判断即可求解； （2）根据“直等补四边形的定义，将绕点顺时针旋转得到，则四边形是直等补四边形； （）①如图，将绕点顺时针旋转得到，可证得四边形是正方形，则有设，则，由勾股定理列方程解之即可； ②如图，延长到，使，延长到，使，则， 由的周长知，当、、、共线时，的周长取得最小值，过作交延长线于，易证，求得、，进而求得，在中，由勾股定理求得，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：根据定义可知，正方形是“直等补”四边形；菱形不是“直等补”四边形， 故答案为：是，不是； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 共线， ，， 四边形是“直等补”四边形； （3）①四边形是“直等补”四边形，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到， 则，， 、、共线， 四边形是正方形， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：或舍去， ， ②如图，延长到，使，延长到，使 则， 的周长 当、、、共线时，的周长取得最小值， 过作，交延长线于， ， ， ∴， 即， 解得：， 在中，， ， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 8．（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 【答案】(1)是； (2)①见解析，BE的长是8；②△BCM周长的最小值为210 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案； （2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可； ②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解． 【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°， ∴∠EBF+∠D＝180°， ∵∠EBF＝90°，BF＝BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF，EF＝CD＝2， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠CBF， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF，AE＝BF， ∵DE＝CF， ∴BE＝DE； ∵四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝2， ∵△ABE≌△BCF， ∴AE＝BF， ∴AE＝BE﹣2， 设BE＝x，则AE＝x﹣2， 在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102， 解得：x＝8或x＝﹣6（舍去）， ∴BE的长是8； ②∵△BCM周长＝BC+BM+CM， ∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小， 如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵∠ADC＝90°， ∴点C与点G关于AD对称， ∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C， ∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小， 在Rt△ABE中，AE6， ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠GCH＝180°， ∴∠A＝∠GCH， ∵∠AEB＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△CGH， ∴，即， ∴GH，CH， ∴BH＝BC+CH＝10， ∴BG2， ∴△BCM周长的最小值为210． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置． 9．（2025·浙江台州·一模）用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②= 【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证； （2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE， （3）①设FC＝x，则BF＝6−x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABC−S△EFC−S△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线， 得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长； ②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB． 【详解】（1）证明理由如下： 边是的逆平行线； （2）如图1，连接，BO 是边的逆平行线 点是的外心 =BO， ，AO=AO ∴△ABO≌△ACO ， ； （3）如图2，作AQ⊥BC ∵AB=AC， ∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3 ∴AQ= S△ABC===12, ①设，， ∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB， ∴△FEC∽△ABC． ， 同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC ∴△FBG∽△ABC ∴ ＝− (x−3)2＋， 当时，此时有最大值，最大值为， ∴CF＝BF＝3， 如图3，连接DF， ∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BDF≌△CEF（SAS）， ∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC， ∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF． ∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180， ∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180． ∴FD为边AC的逆平行线， 由题意可知D与G点重合， 由= 过D点作DH⊥BC， ∴BF×DH=，故×3×DH= 解得DH= ∵AF∥DH ∴△BDH∽△BAF，设AD=a ∴BD=5-a ∴ 故 解得a= 故，四边形的面积最大值为； ②由①可得D与G点重合， ∴AD＋BG＝AB， 故答案为：＝． 【点睛】本题是新定义结合圆的综合题，综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、外心的定义、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答． 10．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形为“直等补”四边形； （2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC, 由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）∵四边形是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得：，即， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5, 则NP=NC，MT=MC, ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, ∴, 即， 解得：, 在Rt△PHT中，TH=, , ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 11．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论； （3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 与互补， ． ， ． ， ； （2）解：成立．理由如下： 如图1，在AF上找一点M，使． 菱形， ， 与互补， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，即； （3）解：．理由如下： 如图2，在AD的延长线上找一点N，使得． 与互补， ， ． ， ． ∵四边形为平行四边形 ∴，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 12．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 13．（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）12或6； 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可； （2）由题得出，进而可证，进而可求证； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知，，可证，即得，由折叠的性质可得四边形为正方形，连接，则，证明，可求得，分情况讨论；当点的对应点在的上方时；当点的对应点在的下方时；即可求解. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作 于点， 由（2）知，   ∴， ∵， ∴ 同理（2）可得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴四边形为正方形， 连接，则， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图，当点的对应点在的下方时； ∴， ， ②如图，当点的对应点在的上方时； ∴， . 综上所述，的面积为6或12. 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． 14．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义下的四边形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出线段的长度；利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可求的长度；将绕点顺时针旋转，得到，得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可求出线段的长度； （2）延长至点，使，连接，过作于，证明，得出对应边相等，然后根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）根据题意，画出图形，分三种情况进行讨论，借助于（1）（2）的思路即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，∵ 由题意，四边形是邻等对补四边形 ∴将绕点顺时针旋转，得到， 根据邻等对补四边形的定义， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即， 故答案为：，，； （2）解：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； （3）解：①如图所示，，，连接， 在和中， ， ∴， ∴垂直平分线段， 由勾股定理得，， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 由勾股定理得， 由等面积法可得，； ②如图所示，，， 将绕点逆时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形， 此时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 同理可得， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得； ③如图所示，，， 将绕点顺时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形，且 假设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴， , 由勾股定理得，， 解得； 综上，的长为或或． 15．（2025·河北石家庄·二模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图①，在“双垂四边形”中，若，则__________，的值为__________； (2)如图②，在“双垂四边形”中，，为线段上一点，且，求的值； (3)在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且． ①当点运动到中点的右侧时，连接，作点关于的对称点，并连接，，．（保留作图痕迹，不写作图过程） ②在①的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）①根据题意补全图形，即可； ②如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，证明，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图 ②如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，可得，，且是四边形的对角线，即可证明； （2）根据等边对等角，可得，，结合即可求解； （3）分类讨论：当时，过点作于点，延长交于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，结合，即可求得相关线段的长度，设，，根据相似三角形的判定和性质，可得，即，求解即可；当时，过点作于点，结合是等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，可得，，设，，在中，运用勾股定理列式，，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，点是的中点， ∴， 同理，， ∴，且是四边形的对角线， ∴ 四边形是双等腰四边形； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，过点作于点，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，，，， 设，， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 如图，当时，过点作于点，    由②可知，， ∴，而， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理设，， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质． 17．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】(1) (2)正确 (3)或或． 【分析】（1）根据四边形内角和等于即可求解； （2）利用直角三角形全等的判定，证明，即可得出结论； （3）当是等腰三角形时，有三种情况，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出，，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． （3）解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 18．（2025·安徽合肥·一模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)四边形为“等对角四边形”；见解析 (2)3或 【分析】（1）由直角三角形斜边上中线的性质得到，则，然后由互余关系，显然，即可证明； （2）分类讨论，①若，，证明，则；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，求得，则． 【详解】（1）解：四边形为“等对角四边形”；理由如下： 是斜边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在Rt中，， ， 显然， 故四边形为“等对角四边形”； （2）解：∵平分， ∴， ①若，， 如图2， 在与中， ， ； ②若，，如图3，过点作，垂足为点， 在中，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为3或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．（2025·广东·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 20．（2025·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 22．（24-25九年级上·广东·期中）综合与运用 (1)发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______； (2)探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，连接，若，求证：，并直接写出面积比的值． (3)拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长． 【答案】(1) (2)见解析； (3)的长为或 【分析】（1）根据正方形的性质可证，即可得解； （2）先证明，再证明，即可证明，设，根据勾股定理，即可求出，再根据相似三角形的性质即可得解； （3）当时，延长交于，过作于H，过F作，设，先证明，可得，再证明，可得，再根据勾股定理，可得，联立即可得解；当时，延长交延长线于Q，过Q作交延长线于H，过F作交延长线于，同理即可得解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 将沿翻折到处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是矩形， ， ， 将沿翻折到处， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 面积比的值为：； （3）解：当时，延长交于，过作于H，过F作交延长线于，如图： 四边形是菱形， ，， 设，则， ， ， ， ， 将沿翻折得到， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， 在中，， ， 联立可得， ； 当时，延长交延长线于Q，过Q作交延长线于H，过F作交延长线于，如图： 四边形是菱形， ，， 设，则， ， ， ， ， 将沿翻折得到， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， 在中，， ， 联立可得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合应用以上知识． 23．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）综合与探究 在正方形ABCD中，，点E是AB边上的动点，连接CE． (1)【探索发现】如图1，过点D作，若求证：． (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接DF，当是等腰三角形时，求此时AE的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接DF，将沿CE翻折得到．FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，；当时，， (3) 【分析】（1）利用正方形的性质得，再利用判定即可证明； （2）由正方形和直角三角形的性质得到，再根据是等腰三角形得出或，则分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一性质以及三角形的面积公式分别求解即可； （3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，，得出是的垂直平分线，同理（2）的方法证出，，得到，，，，设，利用相似三角形的性质表示出的长，进而得出，结合的范围即可求出线段的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． （2）解：四边形是正方形， ，，， ， ， 在中，， ， 为等腰三角形， 或； ①当时，如图，作于点H， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 三点共线， 点和点重合， ； ②当时，如图，作于点H， ，， ，， ， 由①中的结论得，， 又， ， ，， 设，则， ， 在 中，， ， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，，；当时，，． （3）解：如图，连接交于点K，交于点L， 由翻折的性质得，，， 是的垂直平分线， ，， ， 同理（2）的方法可得，，， ，，，， 设，则，， 由（2）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 当时，有最大值20，此时有最小值， 线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 24．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点 的对应点为，直线与直线交于点． (1)如图①，当点在的延长线上时，求证； (2)若，足够长，当点到直线的距离等于时，求的长； (3)若，．当点在同一直线上（如图②）时，点开始向点运动，到与重合时停止，则点运动的路程是____． 【答案】(1)证明见解析 (2)或； (3) 【分析】（）由矩形对边平行可得，再由翻折性质可得，则由等量代换及等腰三角形的判定即可得结论； （）分点在矩形内部与外部两种情况，分别画出图形，利用矩形和折叠的性质解答即可求解； （）取，，连接，则四边形是正方形，当点由在同一直线上时的状态运动到与重合时，则点的路程为线段长；当点继续向点运动直到与点重合时，点的路程为的长，为此求出的长即可求得点的路程． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴； （2）解：当点在矩形内部时，如图，过点作，交于点，交于点，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ； 当点在矩形外部时，如图，过点作于点，过点作于点，则，四边形是矩形， ∴，， 由折叠得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， ∴； 综上，的长为或； （3）解：如图，取，，连接， 则四边形是正方形， 当点由在同一直线上时的状态运动到与重合时，则点的路程为线段， 当点继续向点运动直到与点重合时，点的路程为的长，即点的路程为， 由矩形性质得，，， 由翻折的性质得，， 当点与点重合时，由（）知， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴点的运动路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 25．（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）综合实践活动课上，伍老师带领学生们分小组进行折纸探究活动，操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕．与交于点．则点为的三等分点，即．    问题解决：如图1，若正方形的边长是2． (1)的长为 ． (2)请通过计算的长度，说明点是的三等分点． (3)类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由折叠可得：，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，求解即可； （2）证明，得到，求出，，即可得证； （3）设，，，得到，，在中，，即①，由（2）有，得到②， 由①②可得，即，从而． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， 设，则，， ∵在中，， 即， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P为的三等分点． （3）解：∵， ∴点P是靠近点A的三等分点， 设，，， ∵点P为的三等分点， ∴， ∴在长方形中，， 由折叠有， ∵在中，， ∴①． 由（2）有， ∴，即， ∴②， 由①②可得， ∴， 把代入，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为 ． 例2（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    例3（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）定义：有一组对角为直角的四边形称为准矩形． (1)如图1，准矩形中，，若，，，求的长； (2)如图2，边长为3的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且四边形是准矩形． ①当时，求的长． ②点F从点D运动到点C的过程中，E随之运动，求E运动的路径长． 例4（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 例5（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 °， °． (2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”． (3)如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，，，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 2．（2025·河南漯河·二模）人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验． 【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为． 【发现】 (1)如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形； 【探究】 (2)若点落在矩形对角线上，求的长； 【拓展】 (3)如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长． 3．（2025九年级·新疆乌鲁木齐·专题练习）【课本再现】 （1）如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．在实验与探究中，小明发现通过证明，可得．请帮助小明完成证明过程． 【类比探究】 （2）如图②，若四边形是矩形，O为对角线上任意一点，过O作，交于点F，当时，求证：． （3）如图③，若四边形是平行四边形，O为对角线上任意一点，点F在上，且，求证：． 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，点E，F在正方形的对角线上，． (1)求证：； (2)如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 5．（2025·甘肃陇南·一模）综合与探究 (1)在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系： (2)兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 8．（24-25九年级下·甘肃天水·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 9．（2025·浙江台州·一模）用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 10．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 11．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 12．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 13．（2025·广西南宁·三模）综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 14．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 15．（2025·河北石家庄·二模）定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． (1)如图①，在“双垂四边形”中，若，则__________，的值为__________； (2)如图②，在“双垂四边形”中，，为线段上一点，且，求的值； (3)在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且． ①当点运动到中点的右侧时，连接，作点关于的对称点，并连接，，．（保留作图痕迹，不写作图过程） ②在①的条件下，若，请直接写出的面积． 16．（2025·河南洛阳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．    (1)【初步探究】 如图1，在四边形中，，连接，点E是的中点，连接，．试判断在四边形是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”） (2)【问题解决】 在（1）的条件下，若，求的度数． (3)【拓展应用】 如图2，点E是矩形内一点，点F是边上一点，四边形是双等腰四边形，且．延长交于点G，连接．若，，，求的长． 17．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 18．（2025·安徽合肥·一模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 19．（2025·广东·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 20．（2025·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 22．（24-25九年级上·广东·期中）综合与运用 (1)发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．则______； (2)探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，连接，若，求证：，并直接写出面积比的值． (3)拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长． 23．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）综合与探究 在正方形ABCD中，，点E是AB边上的动点，连接CE． (1)【探索发现】如图1，过点D作，若求证：． (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接DF，当是等腰三角形时，求此时AE的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接DF，将沿CE翻折得到．FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值． 24．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点 的对应点为，直线与直线交于点． (1)如图①，当点在的延长线上时，求证； (2)若，足够长，当点到直线的距离等于时，求的长； (3)若，．当点在同一直线上（如图②）时，点开始向点运动，到与重合时停止，则点运动的路程是____． 25．（24-25九年级下·河南南阳·阶段练习）综合实践活动课上，伍老师带领学生们分小组进行折纸探究活动，操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕．与交于点．则点为的三等分点，即．    问题解决：如图1，若正方形的边长是2． (1)的长为 ． (2)请通过计算的长度，说明点是的三等分点． (3)类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $