精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025－2026学年度初三年级调研 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 3. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数是（ ） A. 27° B. 37° C. 53° D. 63° 4. 下列判断正确的是（ ） A. 弧长相等的弧是等弧 B. 过三点可以确定一个圆 C. 同弧或等弧所对的圆心角相等 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 5. 的半径是，圆心到直线的距离为，则直线a与的公共点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 6. 关于函数y=ax2和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 10. 若是关于x的二次函数，则______． 11. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为______． 12. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为______． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为_______ 15. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 16. 二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)． 17. 当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 如图，在中，圆心角，． （1）求的半径； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 21. 已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． 22. 某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． （1）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） （2）超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A、D的坐标分别为，，则的半径为______； （3）在（2）的条件下，求的长． 25. 【阅读感知】 我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到 【理解应用】 （1）将因式分解得______ （2）解方程： 【知识拓展】 （3）试求方程组的解 26. 【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 27. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度初三年级调研 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A． ，最高次数为3，不符合题意； B． ，含有两个未知数，不符合题意； C． ，只含x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D． ，含有分式，不是整式方程，不符合题意． ∴ 关于x的一元二次方程是C项． 故选：C． 2. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 3. 如图，是的直径，是弦，若，则的度数是（ ） A. 27° B. 37° C. 53° D. 63° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角度数的一半是解答此题的关键． 根据是的直径，确定，然后根据直角三角形两锐角互余并结合同弧所对的圆周角相等分析求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 4. 下列判断正确的是（ ） A. 弧长相等的弧是等弧 B. 过三点可以确定一个圆 C. 同弧或等弧所对的圆心角相等 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 5. 的半径是，圆心到直线的距离为，则直线a与的公共点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，比较大小即可得到答案，熟记直线与圆的位置关系的判定是解决问题的关键． 【详解】解：的半径是，圆心到直线的距离为， ，即直线与相离，公共点个数是0， 故选：A． 6. 关于函数y=ax2和函数y=ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象，A，B，C，D四位同学各画了一种，你认为可能画对的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：a＞0时，抛物线开口向上，一次函数y=ax+a经过第一、二、三象限， a＜0时，抛物线开口向下，一次函数y=ax+a经过第二、三、四象限， D选项符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论． 7. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 8. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 10. 若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为______． 【答案】##31度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 12. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知圆锥的底面半径和母线长，直接利用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：依题意知母线长 ，底面半径 ， 则由圆锥的侧面积公式得： . 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，根据二次函数图像的平移规则，“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为_______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 15. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 16. 二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是______(填正确的序号)． 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、顶点坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系及函数值的计算，解题的关键是利用和时函数值相等求出对称轴，再结合时函数值大于0确定二次项系数的取值范围，进而分析各结论． 由和时，得对称轴，结合对称轴公式得；由时得，函数式化为；将代入，解得；分析①：顶点纵坐标为负，顶点在第四象限，①错误；分析②：由对称性得时另一根为3，②正确；分析③：计算，得，结合得，③正确． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，故二次函数对称轴为． ∵ 对称轴， ∴ 又∵ 当时，， ∴ 二次函数解析式为． ∵ 当时，， ∴ ，即，解得． 分析①：顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∵ ， ∴ ，顶点在第四象限，故①错误． 分析②：方程的根，即时的取值． 已知时，由对称轴，得另一根为，故和是方程的根，②正确． 分析③：当时，； 当时， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故③正确． 故答案为：②③． 17. 当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数与x轴有且只有一个公共点的条件，需考虑方程在区间内有唯一实根；分两种情况：判别式为零且根在区间内，或一个根在区间内另一个根不在区间内，通过判别式和区间端点函数值分析c的取值范围． 【详解】解：设二次函数，其与x轴有公共点等价于方程有实根， ∴判别式， 由当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，可知： 情况一：判别式为零，即，则，解得； 此时方程有重根，根为，满足条件； 情况二：判别式大于零，即，则，方程有两个不等实根， 设根为和，且，由求根公式可得， 需一个根在区间内，另一个根不在区间内， 分析可得，当且时成立 ∴，即，解得， ，即，解得， 同时恒成立， 因此，当时，满足条件； 综上，的取值范围为或； 故答案为或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解． （1）对方程，需将左边二次三项式因式分解，找到两个数使其乘积为、和为，进而得到两个一元一次方程； （2）对方程，需观察到式子中两项均含公因式，提取公因式后转化为两个一元一次方程． 【小问1详解】 解： 因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解： 提取公因式得， 则或， 解得，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 20. 如图，在中，圆心角，． （1）求的半径； （2）求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，扇形面积公式及三角形的面积公式． （1）根据已知条件得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可； （2）先求出扇形的面积，再减去等腰直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， 即的半径为1． 【小问2详解】 解：∵的半径为1，， ∴，， ∴． 21. 已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． 【答案】（1）直线 （2） 函数图象如下所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … 【小问3详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 22. 某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． （1）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） （2）超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件商品应降价5元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每件商品降价x元，用x表示出平均每天的销售量与每件商品的利润； （2）利用总利润=每件商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到更多实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是件，每件商品的利润是元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更多实惠， 答：每件商品应降价5元． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点． （1）求b的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值； （2）先求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据，，结合图象，即可确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， 联立得：， 整理得 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A、D的坐标分别为，，则的半径为______； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、垂径定理的应用、矩形的判定与性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）过点F作，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为r， 则，即， 解得，即的半径为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：过点F作，连接， 由（2）得，， 在中，， 在中，， ∴，， 在中，， 由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 25. 【阅读感知】 我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到 【理解应用】 （1）将因式分解得______ （2）解方程： 【知识拓展】 （3）试求方程组的解 【答案】（1）（2）（3）或 【解析】 【分析】本题考查解方程和方程组，熟练掌握因式分解法解方程（组），是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用平方差公式法将进行因式分解，将方程组化为两个二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴可化为：或， 解得或． 26. 【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 【答案】（1）； （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图①中，作于F，根据角平分线的性质得到，然后证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再由面积法求出即可解题； （2）过点作，交的延长线于点，连接，，证明，推出，然后证明，推出即可解决问题； （3）过点作，交的延长线于点，于点，连接，由（2）可知：四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接，．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，理由勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）作于点， ∵平分，，， ∴，， 又∵是圆内接四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴. ∵，， ∴ ∵， ∴； 故答案为：；； （2），理由如下： 过点作，交的延长线于点，连接，，如图所示： ∵平分，，， ∴，. ∵，， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交的延长线于点，于点，连接， ∵， ∴点在上， 作的内切圆，圆心为点，切点为，连接，， 由（2）可知，四边形是正方形，是对角线， ∵， ∴正方形的边长为， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由切线长定理可知，， ∴， 设内切圆的半径为，则， 解得， 即， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得即可解答； （2）先求得，再求得直线的解析式，设，则，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）先求出点的坐标，再根据列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． 【小问3详解】 解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $