精品解析：黑龙江省牡丹江市宁安市2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试题

2024-2025学年度第一学期八年级第三次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 展开后不含项，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是边长为的等边边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，则在运动的过程中，当为直角三角形时，运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒或秒 C. 秒 D. 秒或秒 9. 如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 10. 计算：______． 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 12. 若是一个完全平方式，则k的值是________． 13. 因式分解：_____． 14. 若等式，则_______． 15. 在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为_______． 16. 当x≠﹣时，无论x为何值，的值恒为2，则﹣＝_____． 17. 如图，为等腰的高，其中，E，F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为__________． 18. 如图，在中，，于点，有下列四个结论：①线段上任意一点到点的距离相等；②线段上任意一点到的距离与到的距离相等；③若为的三等分点，则的面积是面积的；④若，则，其中正确的有_____．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. （1）计算： （2）计算： 20. 因式分解 （1） （2） 21. 已知满足：．化简，并求值． 22. 已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值： （1）ab；（2）a2﹣b2﹣8． 23. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在此坐标平面的格点上确定点，使是等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 24. 【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 25. 如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F． （1）求证：； （2）过A作于点H，当，时，求线段的长度． 26. 如图①，在中，于，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，求的度数； （3）如图③，过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积为___________； 27. 在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴正半轴上．，，满足．点为线段上一点，且，连接． （1）如图①，求点的坐标； （2）作直线轴，作交于点，②，求证：； （3）在（2）的条件下，在直线上一动点，连接并在轴下方作且，连接点与点的线段交轴于点，当，则点的坐标为___________（请同学们自己画图，并直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期八年级第三次质量检测 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A ，是单项式，故该选项不符合题意； B ，是分式，故该选项符合题意； C ，是多项式，故该选项不符合题意； D ，是单项式，故该选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂相乘和相除等，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则逐一验证即可． 【详解】A．，∴ A错误，故该选项不符合题意； B．，∴ B错误，故该选项不符合题意； C． ，∴ C正确，故该选项符合题意； D．，∴ D错误，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 展开后不含项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，此题展开后必须先合并同类项，否则容易误解为．展开多项式合并同类项后，令项的系数为零，可得出关于的方程，解方程求． 【详解】解： ， 展开后不含项， ， 解得， 故选：C． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，逆用幂的乘方和同底数幂除法的逆用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握比例的性质，根据比例的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案选A． 7. 如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出． 【详解】解：连接并延长， 点是、的垂直平分线的交点， ，， ，， 是的一个外角， ， 同理，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 如图，点是边长为的等边边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，则在运动的过程中，当为直角三角形时，运动时间为（ ） A. 秒 B. 秒或秒 C. 秒 D. 秒或秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据等边三角形的性质得出，然后分两种情况进行讨论，利用含角的直角三角形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ①当时，，假设运动时间为， 此时，， 即， 解得； ②当时，，假设运动时间为， 此时，， 即， 解得； 故选：D． 9. 如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ①根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ②利用等角的余角相等和对顶角相等，再利用等角对等边即可得出结论； ③根据条件证明，得出，再利用等量代换即可得出结论； ④连接，过点作于点，利用直角三角形斜边中线定理和线段的垂直平分线进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②由①得， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 10. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和绝对值的运算．先根据零指数幂法则计算第一项，再根据绝对值定义计算第二项，最后求和． 【详解】解：． 故答案为：3 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件得出，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，掌握分式值为0的条件是解题的关键． 12. 若是一个完全平方式，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式．首尾两项是和5的平方，根据完全平方式的形式可知，中间项为加上或减去和5的积的2倍，据此可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ 故答案为：． 13. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 14. 若等式，则_______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查利用平方根解方程，利用平方根的定义，将方程化为两个一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：． ∴ 或 ． 解得 或． 故答案为：2或4 15. 在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为_______． 【答案】90°或30°或150° 【解析】 【分析】先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD，即是等腰直角三角形，即可得出△ABC顶角角的度数；当AB=BC时，进而得到，然后根据含30°直角三角形的性质即可解答；当AB=BC时，根据AB=BC，求出顶角的度数． 【详解】解：①如图1，当时， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形 顶角为； ②如解图2，当时， ， ， ， 顶角为； ③如解图③，当时， ， ， ， ， 顶角的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，根据题意画出所有可能图形是解答本题的关键． 16. 当x≠﹣时，无论x为何值，的值恒为2，则﹣＝_____． 【答案】1.9 【解析】 【分析】由的值恒为2知a+（1+2b）x＝﹣10，根据代数式的值与x无关得出a、b的值，再代入计算可得． 【详解】解：∵x≠﹣， ∴﹣bx﹣5≠0， ∵＝2， ∴a+x＝﹣2bx﹣10， a+（1+2b）x＝﹣10， 根据题意知1+2b＝0，则b＝﹣0.5， ∴a＝﹣10， 则， 故答案为1.9． 【点睛】考查分式的值，解题的关键是根据代数式的值与x无关得出a、b的值． 17. 如图，为等腰的高，其中，E，F分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为__________． 【答案】##103度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．作，使，证明，得到，，当F为与的交点时，取最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图，作，使，连接，， 是等腰三角形，， ，， ∵， ， ， ∴当F为与的交点时，如图，的值最小， 此时， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，于点，有下列四个结论：①线段上任意一点到点的距离相等；②线段上任意一点到的距离与到的距离相等；③若为的三等分点，则的面积是面积的；④若，则，其中正确的有_____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． 利用等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分线段， ∴线段上任意一点到点的距离相等，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∴线段上任意一点到的距离与到的距离相等，故②正确，符合题意； ③若为的三等分点，则的面积是面积的或，故③错误，不符合题意； ④∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 综上，正确的选项为：①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式，完全平方公式等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算，再进行乘除运算； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先利用平方差公式因式分解，再提公因式因式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式=+ ． 21. 已知满足：．化简，并求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，整式的化简求值，解题的关键是掌握各运算法则和乘法公式． 先利用完全平方公式和平方的非负性求出，然后再利用完全平方公式和平方差公式化简整式，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， 原式， 当时， 原式． 22. 已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值： （1）ab；（2）a2﹣b2﹣8． 【答案】（1）6；（2）﹣3或﹣13 【解析】 【分析】（1）根据求出ab； （2）结合（1）及求出a+b，然后分类求解． 【详解】解：（1）∵a﹣b＝1， ∴， ∵a2+b2＝13， ∴ab＝6； （2）由（1）知，ab＝6， ∴， ∴a+b＝5或﹣5， ∵a2﹣b2﹣8＝(a+b)(a﹣b)﹣8， 当a+b＝5时，a2﹣b2﹣8＝5﹣8＝﹣3， 当a+b＝﹣5时，a2﹣b2﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13， 综上，a2﹣b2﹣8的值为﹣3或﹣13． 【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 23. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在此坐标平面的格点上确定点，使是等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2）点的坐标为或或或或或 【解析】 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，根据等腰直角三角形判断和性质确定点的坐标，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． （1）根据轴对称的性质，找出三角形的对称点，然后顺次连接即可，根据图形和平面直角坐标系确定点的坐标； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质进行确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， 点的坐标为或或或或或． 24. 【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 25. 如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F． （1）求证：； （2）过A作于点H，当，时，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴； （2）14 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，可证明； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，求出，由直角三角形性质得出，进而即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（ 1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 26. 如图①，在中，于，，点在上，，连接． （1）求证：； （2）如图②，延长交于点，连接，求的度数； （3）如图③，过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积为___________； 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） （3）21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据条件证明，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证明，得出相等边和角即可求解； （3）在上截取，连接并延长交于点，证明，根据对应边相等求出三角形底边长，最后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接并延长交于点， 结合（1）（2）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴正半轴上．，，满足．点为线段上一点，且，连接． （1）如图①，求点的坐标； （2）作直线轴，作交于点，②，求证：； （3）在（2）的条件下，在直线上一动点，连接并在轴下方作且，连接点与点的线段交轴于点，当，则点的坐标为___________（请同学们自己画图，并直接写出结果）． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，作于，于， ， ，， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图3、图4所示，或 【解析】 【分析】本题考查三角形综合题，图形与坐标的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）作轴于，作轴于，求出、的面积即可解决问题； （2）作于，于，只要证明即可解决问题； （3）分两种情形：当点的坐标为时，作于；当点的坐标为时，作轴于；根据全等三角形的判定与性质，坐标与图形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，作轴于，作轴于， ，即， ，， 解得，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图中，当点的坐标为时，作于．    ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ②如图中，当点的坐标为时，作轴于，    同法可得，， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $