专题01 坐标平面上的直线 压轴题（压轴题专项训练）数学高二沪教版2020选择性必修第一册

专题01 坐标平面上的直线 压轴题 目录 典例详解 类型一、最值问题 类型二、取值范围问题 类型三、反射问题 类型四、新定义题 类型五、满足条件的点、直线的个数/条数 类型六、任意、存在假设性条件问题 类型七、直线与函数、不等式 类型八、定点问题 类型九、其他问题 压轴专练 压轴技巧 1.点关于点对称 点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 2.点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. 本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 关于轴的对称点是，关于轴的对称点是. 关于直线的对称点是，关于直线的对称点是. 3.直线关于点对称 已知直线，求直线关于点对称的直线 思路一：在直线上取两点、，求这两点关于点的对称点、，直线为所求. 思路二：利用对称前后的两条直线平行，设对称后的直线为，再利用到与的距离相等列方程求解. 思路三：设是对称之后直线上任意一点，则关于的对称点在上，将代入即可. 4.直线关于直线对称 已知直线，求直线关于直线对称的直线 思路一：先求与的交点，再在直线上任取一点，求关于的对称点，直线为所求直线. 思路二：若与平行，则对称后的直线与原直线斜率相等，再在直线上任取一点，求关于的对称点，.利用与斜率可得对称直线. 思路三：若斜率为0或斜率不存在，则对称后的直线与原直线斜率相反，再在直线上任取一点，求关于的对称点，.利用与斜率可得对称直线. 类型一、最值问题 例1．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 变式1-1．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用两点距离公式将问题转化为点到点的距离之和的最小值，再利用将军饮马问题的解决方法，数形结合即可得解. 【详解】因为， 设，， 则表示点到点的距离之和， 设点关于直线的对称点为，又直线斜率为， 则，解得，则， 因为点在直线上， 所以， 当为与直线的交点时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 变式1-2．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 变式1-3．已知常数、、、满足：，，，则的最大值为 【答案】/ 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 类型二、取值范围问题 例2．已知动点到坐标原点，轴，轴的距离之和为2，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设点，由题意可得，根据圆的标准方程，利用三角函数表示点的坐标，根据三角恒等变化及角的范围即可求解. 【详解】设，则由题意可得. 设，则，，其中， ∴，即， ∴. ∵，∴，∴， ∴，∴， 即的取值范围是. 故答案为：. 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 变式2-2．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 变式2-3．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 类型三、反射问题 例3．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 变式3-1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 变式3-2．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 类型四、新定义题 例4．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 变式4-1．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【分析】结合有向距离定义，化简可得，由在直线l的同侧得，化简得的范围，由直线与直线的变化数形结合可得. 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论： 在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧. 变式4-2．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 【答案】 【分析】 根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为.    故答案为：. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 类型五、满足条件的点、直线的个数/条数 例5．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 变式5-1．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 变式5-2．如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示 则记为“▲”的四个点是， 线段的中点分别为， 易知四边形为平行四边形，设其对角线交于， 则. 由此求得与点重合， 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点. 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条； 过点和的直线有且仅有一条. 所以符合条件的点是，故3个. 故选：D. 类型六、任意、存在假设性条件问题 例6．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 变式6-1．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由条件根据点到直线的距离公式与两点在直线的同异侧的性质，判断各个说法是否正确，从而得出结论． 【详解】对于①，若，则， 又M点到直线l的距离为，N点到直线l的距离为， 所以M、N两点到直线l的距离相等， 又， 所以M、N两点在直线l的同一侧， 所以过M、N两点的直线与直线l平行，故①正确； 对于②，若，则， 类比①的分析，可知M、N两点到直线l的距离相等，且M、N两点在直线l的异侧， 所以直线l经过线段MN的中点，故②正确； 对于③，由于，故不存在实数，使点N在直线l上，故③错误； 对于④，若，则，故，与同号， 所以， 则，即点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离， 又，则M、N在直线l的同侧， 所以直线l与线段MN的延长线相交，故④正确； 综上：①②④正确，③错误. 故选：B． 类型七、直线与函数、不等式 例7．已知函数，给出下列四个判断：①的图像是轴对称图形；②方程有实数解．以下判断正确的是（    ） A．①正确②不正确 B．①不正确②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】先分析的几何意义为，进而数形结合得函数图象对称性性质可判断①；数形结合得且在上单调递减，进而可得值域，从而依据与该值域的关系即可判断②. 【详解】因为函数， 所以的几何意义为：在x轴上运动的点到定点和的距离差的绝对值，即    如图，由图可知当在处时，取得最小值为0， 当往两边运动时，无线接近，但是， 对于①，由上可知的图像是轴对称图形，对称轴为直线，故①正确； 对于②，由上可知，且在上单调递减， 所以在区间上的值域为， 所以， 因为，所以， 所以无实数解，故②错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是从函数几何意义的角度出发，数形结合简化问题的难度，从而得解. 变式7-1．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【详解】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最大值为， 因为关于S的不等式有解， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 类型八、定点问题 例8．已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的斜率为，倾斜角为； (2)证明见解析，定点为； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）直接利用直线的法向量、斜率、倾斜角定义计算即可； （2）设直线m方程，计算四边形交点，求其面积结合直线过定点计算即可； （3）设直线方程，联立直线得坐标，由弦长公式、三角形面积公式建立方程组计算参数即可说明. 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； （2）设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 变式8-1．在平面直角坐标系中，已知三个顶点. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. (3)若，四个点在直线的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，求出的斜率，代入的坐标，结合直线的点斜式即可求解； （2）因为点在直线上，则，再结合三角形的面积公式，得，联立方程即可求解； （3）根据题意，结合点到直线的距离特征，可得，代入方程得，即，即可求得其定点. 【详解】（1）由已知，，根据直线的两点式斜率得， 则根据直线的点斜式方程，得，即； （2）因为点在直线：上，所以①， 又，所以， 又边上的高为点到直线的距离， 则， 所以 由①代入，则，则或，即或. 得或，故点的坐标为或； （3）因为四点在直线的两侧， 根据距离公式的特征：直线同侧的点代入同号， 异侧的点代入符号相反， 由于两侧的点到直线的距离和相等，则四个点的坐标代入的和为0， 即， 则，即，代入方程得， 整理即：， 不同时为零，直线过定点，则与无关 故，即.则恒过定点. 类型九、其他问题 例9．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 变式9-1．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【详解】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 一、填空题 1．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 2．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围. 【详解】 由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴， 因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足， 所以，即， 设点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在直线上面， 所以，即， 所以（这里的是指中的）； 因为向量在向量上的投影向量记为， 所以， 如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为， 当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立； 当为直角时，； 当为钝角时，即， 综上，. 【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解. 3．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 【答案】 【分析】建立坐标系，设直线斜率为，用表示出，，利用基本不等式得出答案． 【详解】过作的三边的垂线，设的半径为， 则，即． 以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，． 在平面的射影在直线上，故直线必存在斜率． 过作，垂足为，交直线于． 设直线的方程为：，则， 又直线的方程为：， ，， 故而． ． ①若，则． 当且仅当即时取等号． ②若，则． 当且仅当即时取等号． 综上可知的最小值为. 故答案为： 4．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线， 又，作出图象，如图： 易知， 由，消得到，由， 得到或（舍）（因为时，，不合题意）， 所以当时，与（或）相切， 由图可知，当时，直线与曲线有1个交点，不合题意； 当时，直线与曲线没有交点，不合题意； 当时，直线与曲线有1交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 设直线与曲线相切于点， 联立，消y得， 由 解得或（舍去，此时方程的根为，不合题意） 当，即时， 直线与曲线有4交点，符合题意； 当时，直线与曲线有3交点，不合题意； 当时，直线与曲线有2交点，不合题意； 综上，k的取值范围为. 故答案为： 二、单选题 5．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点以及函数的中心对称性质计算可得. 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果. 6．设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 【答案】C 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图：    易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外）， 因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 三、解答题 7．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，利用定积直线的定义可得或，进而，计算即可； （3）设直线，直线，其中，计算得，利用基本不等式可求的取值范围. 【详解】（1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2）如图，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以， 解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． （3）设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标平面上的直线 压轴题 目录 典例详解 类型一、最值问题 类型二、取值范围问题 类型三、反射问题 类型四、新定义题 类型五、满足条件的点、直线的个数/条数 类型六、任意、存在假设性条件问题 类型七、直线与函数、不等式 类型八、定点问题 类型九、其他问题 压轴专练 压轴技巧 1.点关于点对称 点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 2.点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. 本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 关于轴的对称点是，关于轴的对称点是. 关于直线的对称点是，关于直线的对称点是. 3.直线关于点对称 已知直线，求直线关于点对称的直线 思路一：在直线上取两点、，求这两点关于点的对称点、，直线为所求. 思路二：利用对称前后的两条直线平行，设对称后的直线为，再利用到与的距离相等列方程求解. 思路三：设是对称之后直线上任意一点，则关于的对称点在上，将代入即可. 4.直线关于直线对称 已知直线，求直线关于直线对称的直线 思路一：先求与的交点，再在直线上任取一点，求关于的对称点，直线为所求直线. 思路二：若与平行，则对称后的直线与原直线斜率相等，再在直线上任取一点，求关于的对称点，.利用与斜率可得对称直线. 思路三：若斜率为0或斜率不存在，则对称后的直线与原直线斜率相反，再在直线上任取一点，求关于的对称点，.利用与斜率可得对称直线. 类型一、最值问题 例1．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 变式1-1．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式1-2．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 变式1-3．已知常数、、、满足：，，，则的最大值为 类型二、取值范围问题 例2．已知动点到坐标原点，轴，轴的距离之和为2，则的取值范围是 . 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 变式2-2．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 变式2-3．如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 类型三、反射问题 例3．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 类型四、新定义题 例4．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 变式1-1．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 变式4-1．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 类型五、满足条件的点、直线的个数/条数 例5．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 变式5-1．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 变式5-2．如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 类型六、任意、存在假设性条件问题 例6．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 变式6-1．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 类型七、直线与函数、不等式 例7．已知函数，给出下列四个判断：①的图像是轴对称图形；②方程有实数解．以下判断正确的是（    ） A．①正确②不正确 B．①不正确②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 变式7-1．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 类型八、定点问题 例8．已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 变式8-1．在平面直角坐标系中，已知三个顶点. (1)求边所在直线的方程. (2)若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. (3)若，四个点在直线的两侧，且直线一侧的点到直线的距离和，与另一侧的点到直线的距离和相等，求证：直线过定点. 类型九、其他问题 例9．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 变式9-1．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 一、填空题 1．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 . 2．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 3．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 4．若直线与曲线有4个交点，则k的取值范围为 . 二、单选题 5．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 6．设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（    ）． A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 三、解答题 7．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 8．过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $