专题02 解直角三角形的三大模型（30题）（举一反三专项训练）数学北师大版九年级下册

专题02 解直角三角形的三大模型（30题）（举一反三专项训练） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对解直角三角形的三大模型的理解！ 模型一：背对背型（在三角形内部作高） 模型分析 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，CD为公共边， 图形演变 模型二：拥抱型 模型分析 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关健 基本图形 等量关系 在和中， 图形演变 模型三：母子型（在三角形外部作高） 模型分析 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，BC为公共边， 图形演变1 图形演变2 【模型1 背对背型】 1．如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 5．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图1，在矩形中，，E，F分别为的中点，连接．如图2，将绕点A逆时针旋转角，使，连接并延长交于点H．则的长为 ． 6．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ． 7．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，D为边上一点，，E为延长线上一点，连接，且，若，则 ．（用含n的代数式表示） 8．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． (1)当时，求所作圆的半径；（结果精确到） (2)保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 9．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，在中，，，． (1)求的长． (2)若点D在上，且，求的值． 【模型2 拥抱型】 1．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 2．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，） 3．如图，两座建筑物AB与CD，其地面距离BD为60米，E为BD的中点，从E点测得A的仰角为30°，从C处测得E的俯角为60°，现准备在点A与点C之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子AC的长度．（结果保留一位小数，≈1.41，≈1.73） 4．（2025·河南平顶山·模拟预测）登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，） 5．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为． (1)求教学楼的高； (2)设建筑物的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）． 6．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 7．如图，河南某建筑物上挂着“皇帝故里、天地之中”的宣传条幅，勘测队利用测倾器在斜坡的底部D处测得条幅底部B的仰角为，沿斜坡DE走到E处测得条幅顶部C的仰角为，已知斜坡的坡度，m，m（点A，G，B，C在同一平面内，，测倾器的高度忽略不计），求条幅BC的长度约为多少米？（参考数据：，，，，， 8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：） 9．如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． (1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ (2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 10．【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    【模型3 母子型】 1．每到夜晚，泌阳县双龙公园的灯光在暗夜中熠熠生辉，照亮了河岸边的一片宁静．沿着蜿蜒的梁河，几位垂钓者静静坐在岸边，小心地将钓竿支在摇曳的水面上，专注地等待着鱼儿的咬钩．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 3．如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 4．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，于点B，在C处测得气球A的仰角为，向前走140米到达点D，在D处测得气球A的仰角为，求的高度． （参考数据：，，）    5．一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离． 6．如图，已知一居民楼前方处有一建筑物，小敏在居民楼的顶部处和底部处分别测得建筑物顶部的仰角为和，求居民楼的高度和建筑物的高度(结果取整数)． (参考数据:，) 7．如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4） 8．某校测绘社团欲利用周末时间测量学校附近某建筑物AB上的广告牌BC的高度，受条件的限制，无法直接测量该广告牌的高度．小亮给出如下方案：如图，在建筑物正前方找一点D，使得在D处测得广告牌上端C的仰角为30°，同时测得广告牌下端B的仰角α，然后在垂直于建筑物方向上找一点E，使得在E处测得广告牌上端C的仰角为60°，测量D，E间的距离m，然后根据测得的数据即可求出广告牌的高度．经实地测量α为26°，m为20米．你认为小亮的方案可行吗？如果可行，请你帮助他们计算出广告牌BC的高度；如果不可行，请说明理由．（结果精确到0.1 m，参考数据：tan26°≈0.49，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，） 9．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为39°，铁塔顶端的仰角为27°，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为53°．已知，点、、构成的中，． （1）图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； （2）小明说，在点处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是_____，若将这个角记为，则铁塔的高度是______；（用含的式子表示） （3）小丽说，除了在点处测量角的度数外，还可以在点处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是______．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 10．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的三大模型（30题）（举一反三专项训练） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对解直角三角形的三大模型的理解！ 模型一：背对背型（在三角形内部作高） 模型分析 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，CD为公共边， 图形演变 模型二：拥抱型 模型分析 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关健 基本图形 等量关系 在和中， 图形演变 模型三：母子型（在三角形外部作高） 模型分析 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键 基本图形 等量关系 在和中，BC为公共边， 图形演变1 图形演变2 【模型1 背对背型】 1．如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 3．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的定义与性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 作的中点M，连接，易得是的中位线，可求出，再根据，易证是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：作的中点M，连接，如图    ∵，，，是的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 由折叠，可得 ， ∴， ∴． 故选B． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图1，在矩形中，，E，F分别为的中点，连接．如图2，将绕点A逆时针旋转角，使，连接并延长交于点H．则的长为 ． 【答案】 【分析】设交于点M，交于点N，先证明，可得，可得；然后过点E作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，然后求出，再利用锐角三角函数可得，从而得到，进而得到，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点M，交于点N， 根据题意得：，， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，过点E作于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例．作于点，作于点，设，，求得，，，在中，利用勾股定理求得，再利用余弦函数的关系求得，证得，再利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，，D为边上一点，，E为延长线上一点，连接，且，若，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出． 【详解】解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、三角形中位线性质定理，全等三角形的性质和判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． (1)当时，求所作圆的半径；（结果精确到） (2)保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点C，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． （2）过点A作于点D，根据题意，得，故，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：过点O作于点C， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得， 故， 故折断的部分长为， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 9．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解； （2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 10．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，在中，，，． (1)求的长． (2)若点D在上，且，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，主要是利用锐角三角函数的概念解直角三角形和勾股定理． （1）根据的正切求解可得，利用勾股定理列式计算即可得到． （2）过D点作，利用直角三角形和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点D作，则， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【模型2 拥抱型】 1．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．在中，，解得，在中，，可得，由可得出答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 解得， 在中，， ， ． 故选：A． 2．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，） 【答案】办公楼的高度约为10.4米． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AD的长，进而得出CD的高度． 【详解】解：根据题意，∠BDA=53°，AB=24， 在Rt△BDA中，， ∴AD=， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， ∴， ∴CD=(米)， 故办公楼的高度约为10.4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，两座建筑物AB与CD，其地面距离BD为60米，E为BD的中点，从E点测得A的仰角为30°，从C处测得E的俯角为60°，现准备在点A与点C之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子AC的长度．（结果保留一位小数，≈1.41，≈1.73） 【答案】AC的长度约为69.2米． 【分析】在Rt△ABE和Rt△CDE中，根据30°、60°角的余弦值可求得AE和CE的长，再由勾股定理求AC的长度即可． 【详解】如图，连接AC． 在直角△ABE中，BE＝30米，∠AEB＝30°，则AE＝＝＝20（米）． 在直角△CDE中，DE＝30米，∠CED＝60°，则CE＝＝＝60（米）． 又∵∠AEC＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴由勾股定理得到：AC＝＝40≈69.2（米）． 答：AC的长度约为69.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题,借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键． 4．（2025·河南平顶山·模拟预测）登封境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近的某建筑物，高为14.7米，同学们利用测角仪在建筑物的底端D处测得塔顶端B的仰角为，在建筑物的顶端C处测得塔底端A的俯角为， ，，点A，D在同一水平线上．求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，） 【答案】约为36.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角、俯角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由，可得，由题意得，在中，，米，由正切的定义可得米，在中，，由正切的定义可得，由此即可求出嵩岳寺塔的高度． 【详解】解：，， ， 在中，，米， （米）， 在中，， （米）， 嵩岳寺塔的高度约为36.3米． 5．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为． (1)求教学楼的高； (2)设建筑物的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）． 【答案】(1)教学楼的高为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】（1）由题意知，，则，然后求解作答即可； （2）①由题意知，根据，求解作答即可；②如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， ∴教学楼的高为． （2）①解：∵， ∴， ∴， ∴的长为． ②解：如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴建筑物的高度约为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质是解题的关键． 6．综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在中，利用30度角的性质求解即可； （2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长； ②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解． 【详解】（1）由题意得 在中，， ．即的长为． （2）①在中，， 在中，由，得． ．即HE的长为 ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ， ∴． 在中，， ．即， （m）． 答：建筑物的高度约为． 7．如图，河南某建筑物上挂着“皇帝故里、天地之中”的宣传条幅，勘测队利用测倾器在斜坡的底部D处测得条幅底部B的仰角为，沿斜坡DE走到E处测得条幅顶部C的仰角为，已知斜坡的坡度，m，m（点A，G，B，C在同一平面内，，测倾器的高度忽略不计），求条幅BC的长度约为多少米？（参考数据：，，，，， 【答案】m 【分析】先根据斜坡的坡度值，可求出的长，进而得到的长，根据的正切值，可以求出的长； ，根据的长和的正切值，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意： 在中，，， ∴，． ∴． 在中，∵，， ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∴．． ∴条幅的长度的为m． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是求解的关键． 8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】该建筑物的高度约为31.9m 【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解． 【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H 则，， ∵ ∴设，则 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴， ∴， 设，则 在中， ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ 答：该建筑物的高度约为31.9m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． (1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ (2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 【答案】(1)7米 (2)建筑物高约为米． 【分析】（1）根据题意解直角三角形即可得出答案； （2）过点D作，垂足为P，再解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴，， ∴（米）； 则平台的长为7米； （2）过点D作，垂足为P． 在中，， 同理可得：， 在矩形中，，， 在中， ， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴（米）， 答：建筑物高约为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形中坡角问题，仰角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出答案是解题关键． 10．【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．    【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．    【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．    【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展] 【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； [活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案； [应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：[问题背景]如图所示：    ，， ， ， ， ，，， ，解得； [活动探究]如图所示：    ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ； [应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， 由题意得：， ， ，， 设，，则，， ， ， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， 同【问题背景】得：， ， ， 解得：， ， 答：信号塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键． 【模型3 母子型】 1．每到夜晚，泌阳县双龙公园的灯光在暗夜中熠熠生辉，照亮了河岸边的一片宁静．沿着蜿蜒的梁河，几位垂钓者静静坐在岸边，小心地将钓竿支在摇曳的水面上，专注地等待着鱼儿的咬钩．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了二次根式的应用和勾股定理，利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案，解题关键是根据已知条件求出和的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 3．如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 【答案】60-20 【分析】作CF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质得到BD=AB=60，根据正切的概念求出AF，结合图形计算即可． 【详解】作CF⊥AB于F，如图所示： 则四边形BDCF为矩形， ∴CF=BD， ∵∠ADB=45°， ∴BD=AB=60， ∴CF=BD=60， 在Rt△AFC中，tan∠ACF=， AF=FC×tan∠ACF=60×=20， ∴BF=AB-AF=60-20， 则CD=BF=（60-20）米， 故答案是：60-20． 【点睛】考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，于点B，在C处测得气球A的仰角为，向前走140米到达点D，在D处测得气球A的仰角为，求的高度． （参考数据：，，）    【答案】的高度约为640米 【分析】设，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出，的长度，利用列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， 在中， ， ． 在中， ， ， ． ， ， 解得：． 的高度约为640米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择恰当的关系式是解题的关键． 5．一人自地平面上测得塔顶的仰角为60°，于原地登高50米后，又测得塔顶的仰角为30°，求塔高和此人在地面时到塔底的距离． 【答案】75，． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，用表示出长，根据得方程求，进而求得长． 【详解】解：由题意，得：， 设米． 在中，， ∴（米）． 在中，（米）， 根据题意得：， 解得：， 则x（米）． 答：塔高是75米，此人在地面时到塔底的距离是米． 6．如图，已知一居民楼前方处有一建筑物，小敏在居民楼的顶部处和底部处分别测得建筑物顶部的仰角为和，求居民楼的高度和建筑物的高度(结果取整数)． (参考数据:，) 【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米． 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC， 由题意得，∠BDE＝，∠BAC＝41， 在Rt△ABC中， BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41≈26.1≈26， 在Rt△BDE中， BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19≈10.2， ∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16． 答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米． 【点睛】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键． 7．如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4） 【答案】50m． 【分析】设CH＝xm，根据矩形的性质得到AG＝CH＝x，根据正切的定义用x表示出EH、EG，结合图形列式计算即可． 【详解】 解：设CH＝xm，由题意得，四边形ACHG为矩形， ∴AG＝CH＝x，GH＝AC＝20﹣10＝10， ∵∠ECH＝45°， ∴EH＝CH＝x， 在Rt△EAG中，tan∠EAG＝ ，即tan37°＝， 解得，EG≈ x， 则x﹣x＝10， 解得，x＝40， ∴EF＝FH+EH＝50， 答：建筑物EF的高度约为50m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键． 8．某校测绘社团欲利用周末时间测量学校附近某建筑物AB上的广告牌BC的高度，受条件的限制，无法直接测量该广告牌的高度．小亮给出如下方案：如图，在建筑物正前方找一点D，使得在D处测得广告牌上端C的仰角为30°，同时测得广告牌下端B的仰角α，然后在垂直于建筑物方向上找一点E，使得在E处测得广告牌上端C的仰角为60°，测量D，E间的距离m，然后根据测得的数据即可求出广告牌的高度．经实地测量α为26°，m为20米．你认为小亮的方案可行吗？如果可行，请你帮助他们计算出广告牌BC的高度；如果不可行，请说明理由．（结果精确到0.1 m，参考数据：tan26°≈0.49，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，） 【答案】可行，2.6米 【分析】根据三角形的外角可得∠CDA=∠DCE，从而可得CE=DE=20米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出AE，AC的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行计算即可解答． 【详解】我认为小亮的方案可行， ∵∠CDA=30°，∠CEA=60°， ∴∠DCE=∠CEA-＋CDA=30°， ∴CE=DE=20米， 在中， AC=EC·sin60°=20×(米)， AE=EC·cos60°=20×=10(米)， ∴AD=AE+DE=30(米)， 在中，∠DBA=26°， ∴AB=AD·tan26°≈30×0. 49＝14. 7(米) ∴BC=AC-AB=-14. 7≈2. 6(米) ∴广告牌BC的高度为2.6米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为39°，铁塔顶端的仰角为27°，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为53°．已知，点、、构成的中，． （1）图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； （2）小明说，在点处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是_____，若将这个角记为，则铁塔的高度是______；（用含的式子表示） （3）小丽说，除了在点处测量角的度数外，还可以在点处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是______．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】（1）铁塔的高度为米；（2）；；（3）的长度或点到直线的距离或线段，其中点为的平行线与的交点．（写出两个即可） 【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出AB的长． （2）测得∠BED=a，解直角三角形ABE求得BE，进而解直角三角形BED求得DE，最后在Rt△CED中，由正切可求CD； （3）测得FD长度或F到DE的距离即可通过计算求得CD．①测得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE•tan27°求得结果， ②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD=DE•tan27°求得CD， 【详解】解：（1）在中，， ∴，即， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴米， 答：铁塔的高度为米； （2）（2）在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED， 在Rt△ABE中，， 在中，， 在中，； （3）在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度， ①测得FD=m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD=DE•tan27°求得结果， ②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD=DE•tan27°求得CD； 故答案为FM长度或F到DE的距离． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题需要同学们理解仰角、俯角的定义，根据实际构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解． 10．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 【答案】(1) (2)84米 (3)飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为 【分析】（1）根据，可求的值； （2）根据求得AB，再根据ED=求得A、E两点垂直距离ED，最后CD的长即可求得； （3）延长交于点，作交于点，并使，根据可求EF的值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：如图，延长交于点， ∵，米， ∴ 米， ∵，米 ∴、垂直距离为ED=米， ∴米． 答：建筑物的高为84米． （3）解：延长交于点， 作交于点，并使， ∴米， 由（2）得、垂直距离米， ∵， ， ∴， ∴米， ∴米． 答：飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为． 【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角函数并结合图像解直角三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $