微专题01 正比例函数的图像与性质13题型（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

微专题01 正比例函数的图像与性质 题型一 根据正比例函数的定义求参数 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如的式子是正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：函数是关于x的正比例函数， ， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若函数（为常数）是正比例函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．根据正比例函数的定义，．从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选B． 3．（23-24八年级上·江苏·期末）若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，得，据此解答即可． 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义列出，然后求出的值即可； （）由题意可得出函数解析式为，当时，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴函数解析式为， ∴当时，，解得：， ∴的值为． 题型二 用待定系数法求函数解析式 可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知点的坐标代入解析式，通过解关于k的方程，就可以求出解析式. 5．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质， （1）把点代入正比例函数中，可得； （2）由（1）得，，再把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得：； （2）解：在 理由：由（1）得：， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了一次函数的性质． （1）利用正比例的意义设，再把已知对应值代入求出k，从而得到y与x的函数表达式； （2）直接把代入（1）的解析式，计算即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 把代入得 解得， 所以，整理得 所以y与x的函数表达式为； （2）解：依题意，把代入，得 解得． 7．（21-22八年级上·陕西榆林·期中）已知关于的函数． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)3 (2)函数图象与x轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义即可得出的值； （2）当时，函数为一次函数，令，即可得出图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：是的正比例函数， ， 解得． 故的值为：3． （2）解：当时，该函数的表达式为， 令，得， 解得， 当时，该函数图象与轴的交点坐标为． 8．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件分别确定其函数表达式： (1)与成正比例，当时，； (2)与成正比例关系，图像经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据与成正比例可设，再把，带入即可求出的值； （2）可设，再把点代入求出值即可． 【详解】（1）解：根据题意设， 把时，代入，得， 解得， ； （2）根据题意设， 再把点代入，得， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解正比例函数与一次函数的解析式，运用待定系数法求解的步骤是解题的关键． 题型三 判断正比例函数的图像 正比例函数图像的位置和增减性由k决定，当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 9．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）正方形的周长与边长之间的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，根据正方形的周长即可解题． 【详解】解：正方形的周长， 故选：C． 10．（2017·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象，利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限． 【详解】解：正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，熟练掌握是解决本题的关键． 根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 故选：A． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 题型四 判断正比例函数图像上的点 将这个点的坐标代入正比例函数解析式中，若等式两边的值相等，则该点在正比例函数图像上. 13．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则以下四个点中，也在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查待定系数法求正比例函数解析式中的参数k．直接把代入求得解析式，再判断即可求解． 【详解】解：把代入， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 当时，，点也在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 故选：A． 14．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，是解决问题的关键． 将点代入正比例函数，得正比例函数的解析式为．根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，逐项判断． 【详解】∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， A．， 时，， ∴的图象不经过点； B．， 时，， ∴的图象经过点； C．， 时，， ∴的图象不经过点； D．， 时，， ∴的图象不经过点． 故选：B． 15．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． 设解析式为，代入点求出值得到解析式，再代入点坐标求出值即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 在的图象上， ， ， 正比例函数解析式为：， 是直线上的点， ， ． 故答案为：6． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一个正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征．解答此题时，利用正比例函数中的k是定值来确定函数的图象一定的点． 利用一次函数图象上点的坐标特征，将点代入求得k值，求出函数解析式，然后再判断点是否在函数图象上即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 把代入，得 ，解得：， ∴正比例函数的解析式为， A、∵把代入，得， ∴不在该函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵把代入，得， ∴在该函数图象上，故本选项符合题意； C、∵把代入，得， ∴不在该函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵把代入，得， ∴不在该函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 17．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点．求： (1)k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入函数解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：当时，， 点不在函数图象上． 题型五 根据正比例函数解析式求其性质 18．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．y随x的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过二、四象限 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意； B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，则点不在函数的图象上，故本选项错误，符合题意； D、因为，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 20．（20-21八年级下·全国·课后作业）关于函数，下列结论中，正确的是（    ）． A．函数图象经过点 B．函数图象经过二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：关于函数， A. 当 时，，则函数图象经过点，故该选项不正确，不符合题意； B. ，函数图象经过一、三象限，故该选项不正确，不符合题意； C. ，则y随x的增大而增大，故该选项正确，符合题意； D. 当时，有，故该选项不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 21．（2022·贵州遵义·一模）定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点 C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线 【答案】C 【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意； B．当x=1时，y，故本选项不符合题意； C．y随x增大而增大，故本选项符合题意； D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键． 题型六 根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 22．（安徽省蚌埠市蚌埠第一实验学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 【答案】A 【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 【详解】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|． 则k1＞k2＞k3＞k4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 23．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，根据时，图象经过一、三象限；时，图象经过二、四象限，由此得出，，，，然后根据直线越陡，越大，即可判断． 【详解】解：∵正比例函数，图象经过二、四象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∵正比例函数，图象经过一、三象限， ∴，， ∵比的图象陡些， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 24．（河南省周口市商水县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）光从空气进入水中，入水前与入水后的光路图如图所示，若建立坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则下列关于与的大小关系中，正确的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和， 则，， ， ， 当取横坐标为正数时，同理可得， ，， ， 故选：D． 题型七 判断正比例函数图像通过象限 当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 25．（23-24八年级下·福建·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么函数的图象应在（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，将代入求出，进而求解即可． 【详解】∵正比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴此正比例函数的图象经过第一、三象限． 故选A． 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论，掌握当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， 故选：． 27．（2023八年级上·江苏·专题练习）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，各象限点的坐标特征；根据题意得出，进而根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：由点在第二象限可知，，， 则， 根据正比例函数图象的性质得，的图象经过第二、四象限． 故选：B． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点在第三象限，则正比例函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了平面直角坐标系的性质、正比例函数图象的性质．对于正比例函数有：（1）当，函数图象经过第一、三象限，随的增大而增大；（2）当，函数图象经过第二、四象限，随的增加而减小． 由点在第三象限可知，，，则；再根据正比例函数图象的性质即可得． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴； 根据正比例函数图象的性质得，图象经过第一、三象限． 故答案为：一、三． 题型八 已知正比例函数图像经过象限求其参数 29．（2023·上海虹口·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 30．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，掌握正比例函数，当时，图象经过第一三象限，当时，图象经过第二四象限是解题的关键．据此得到不等式，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数时正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 33．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 【答案】第二、四象限 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限，可求出的范围，进而可得出，即可知函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：， ∴， 函数的图象经过第二、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意求出的范围是解题的关键． 题型九 比较正比例函数中函数值的大小 34．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，当时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，熟记正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数，y随x的增大而减小即可判断． 【详解】∵直线中， ∴y随x的增大而减小， 又∵和点是直线上的两个点,且， ∴， 故选：A． 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数的随的增大而增大，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数的比例系数是， ∴随的增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图象上，， ∴， 故选：B． 36．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据，可得随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵三点 都在函数的图象上， 而， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：A． 37．（2025八年级下·全国·专题练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，可知随的增大而减小，因为，所以，从而可得． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， ， ， ． 故答案为： ． 题型十 根据正比例函数的增减性求参数 38．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 由当时，可知：y随x的增大而增大，则由一次函数性质可得：，然后求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象上两点，当时，有， ∴正比例函数的图象是y随x的增大而增大， ∴，解得：． 故选D． 39．（23-24八年级下·吉林·期末）已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的增减性求参数，根据正比例函数的性质可得，解出a的值即可． 【详解】解：∵函数中y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故选：B． 40．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可求出当时，时，列出不等式，进而求出的取值范围，解答此题要熟知正比例函数；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象上两点，，当时，有， ， ， 故选：D． 41．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于的正比例函数． (1)当取何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)当取何值时，的值随着值的增大而减小？ (3)当取何值时，点在该函数图象上？ 【答案】(1)当时，函数图象经过第一、三象限 (2)当时，y的值随着x值的增大而减小 (3)当时，点在该函数图象上 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的图象与性质求解即可； （2）根据正比例函数的图象与性质求解即可； （3）将点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴当时，函数图象经过第一、三象限． （2）解：∵y的值随着x值的增大而减小， ∴， ∴， ∴当时，y的值随着x值的增大而减小． （3）解：将点代入得：， 解得：， ∴当时，点在该函数图象上． 43．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知正比例函数，且y随x的增大而增大，求m的值． 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义计算即可． 【详解】解：∵正比例函数，且 y随x的增大而增大， ∴， 解得． 题型十一 画正比例函数图像 44．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画正比例函数图象，正比例函数的性质； （1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图像特征即可求解． 【详解】（1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 45．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 【答案】(1)补充表格见解析 (2)作图见详解 【分析】（1）当时，分别代入和求得对应的函数值，当时，分别代入和求得对应的函数值，然后将对应的函数值填入表格即可； （2）将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像，将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， ∴表格补充完整如下： …… … … … （2）描点并连线得，如图所示：      【点睛】本题考查正比例函数的图像，函数图像上点的坐标特征，函数图像上点的坐标适合解析式是解题的关键． 46．（24-25八年级下·福建厦门·期中）（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键． （1）先列表，再描点，连线即可； （2）把代入函数解析式求m，再代入坐标即可． 【详解】解：列表： x 0 1 y 0 2 描点，连线如图 ； （2）解：当点在图象上， 则 解得：， 把代入点的坐标得， 所以这个点的坐标为． 47．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 【答案】（1）画图见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查正比例函数的图象绘制和两直线垂直的判定（斜率之积为），运用图象法和归纳猜想思想．解题关键是掌握正比例函数图象过原点的性质，准确绘制图象；易错点是绘制图象时找点错误，或忽略斜率之积与垂直的关系． （1）绘制正比例函数图象：对于，取点，过原点和画直线．对于，取点，过原点和画直线． （2）测量交角并猜想：用量角器测量两直线交角为，结合两函数斜率和之积为，猜想：当两个一次函数的斜率之积为时，两条直线互相垂直（交角为）． 【详解】（1）如图： （2）两条直线的交角为；当两个一次函数两系数之积为时，两条直线的交角为，即垂直． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． (2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________． (3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________． (4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）互相垂直 （3）互相垂直 （4） 【分析】本题主要考查正比例函数的图像，涉及到正比例函数的性质、垂直的判定等知识. （1）在平面直角坐标系中分别取两点，画出两图像； （2）用量角器度量出两直线的夹角即可； （3）根据（2）作出猜想； （4）利用（2）得出的结论，求出的值即可. 【详解】（1）解：图像如图所示： （2）经过测量，两直线的夹角为， 猜想：当两个正比例函数的比例系数之积为：时，两直线的夹角为，这两条直线的位置关系是互相垂直； 故答案为：互相垂直. （3）由（2）的猜想可知： ∵， ∴直线与直线的位置关系是：互相垂直； 故答案为：互相垂直. （4）∵直线（m为常数）与直线互相垂直， ∴， 解得：. 题型十二 与正比例函数有关的平移问题 49．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数平移的规律，向左平移m个单位后的解析式为．将点代入解析式即可求解m的值． 【详解】原函数向左平移m个单位后，解析式变为． ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得方程： 解得：． 故选A． 50．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）向下平移个单位长度，其图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的平移求解析式，一次函数的性质． 根据“函数上加下减常数项”，得出平移后的函数解析式，再将代入新得的函数解析式，即可选出正确结果． 【详解】解：∵正比例函数（）向下平移个单位长度， ∴函数解析式为， ∵的图象经过点， ∴将点代入，可得， 解得：， 故选． 51．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标平移规律．由向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点，再把点代入即可． 【详解】解： 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点 点在直线上 ． 52．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例的解析式； (2)将该正比例函数的图象向上平移m个单位后恰好经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即得出平移后的解析式，再将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设这个正比例函数的解析式为， ∵该正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 正比例函数的解析式为； （2）解：正比例函数的图象向上平移个单位得到函数解析式， ∵平移后的函数解析式经过点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式和函数图象的平移规律是解题关键． 题型十三 与正比例函数有关的最值问题 53．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，根据，结合函数解析式得出当时，正比例函数有最大值，当时，正比例函数有最小值，然后求出结果即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y的值随x值的增大而减小， 又∵， ∴当时，正比例函数有最大值，为， 当时，正比例函数有最小值，为． 故答案为：；． 54．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据判断出函数的增减性，再把与代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可． 【详解】解：∵正比例函数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴，解得． 故答案为：． 55．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得． ∴k的值为或． 故答案为：或． 56．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可得， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，为， ∴当时，的最大值为． 57．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点代入求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 将代入，得， 解得， 所以，即． （2）解：将点代入， 得， 解得． （3）在中， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最小值时，值最小． 当时，， 解得， 所以的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 正比例函数的图像与性质 题型一 根据正比例函数的定义求参数 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若函数（为常数）是正比例函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏·期末）若是正比例函数，则的值是 ． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）函数是正比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 题型二 用待定系数法求函数解析式 可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知点的坐标代入解析式，通过解关于k的方程，就可以求出解析式. 5．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数表达式； (2)当时，求的值． 7．（21-22八年级上·陕西榆林·期中）已知关于的函数． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，求该函数图象与轴的交点坐标． 8．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）根据下列条件分别确定其函数表达式： (1)与成正比例，当时，； (2)与成正比例关系，图像经过点． 题型三 判断正比例函数的图像 正比例函数图像的位置和增减性由k决定，当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 9．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）正方形的周长与边长之间的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 10．（2017·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 11．（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C． D． 题型四 判断正比例函数图像上的点 将这个点的坐标代入正比例函数解析式中，若等式两边的值相等，则该点在正比例函数图像上. 13．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则以下四个点中，也在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 15．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一个正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·陕西渭南·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点．求： (1)k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 题型五 根据正比例函数解析式求其性质 18．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．y随x的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过二、四象限 19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 20．（20-21八年级下·全国·课后作业）关于函数，下列结论中，正确的是（    ）． A．函数图象经过点 B．函数图象经过二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 21．（2022·贵州遵义·一模）定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点 C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线 题型六 根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 22．（安徽省蚌埠市蚌埠第一实验学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 23．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）同一坐标系中，正比例函数，，，的图象如图所示，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（河南省周口市商水县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）光从空气进入水中，入水前与入水后的光路图如图所示，若建立坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则下列关于与的大小关系中，正确的是（   ） A．， B．， C． D． 题型七 判断正比例函数图像通过象限 当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 25．（23-24八年级下·福建·期中）如果正比例函数的图象经过点，那么函数的图象应在（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）函数的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 27．（2023八年级上·江苏·专题练习）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知点在第三象限，则正比例函数的图象经过第 象限． 题型八 已知正比例函数图像经过象限求其参数 29．（2023·上海虹口·二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 31．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 33．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 题型九 比较正比例函数中函数值的大小 34．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D．无法判断 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．（2025八年级下·全国·专题练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 ．（填“”“”或“”） 题型十 根据正比例函数的增减性求参数 38．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 39．（23-24八年级下·吉林·期末）已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知关于的正比例函数． (1)当取何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)当取何值时，的值随着值的增大而减小？ (3)当取何值时，点在该函数图象上？ 43．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知正比例函数，且y随x的增大而增大，求m的值． 题型十一 画正比例函数图像 44．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 45．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 46．（24-25八年级下·福建厦门·期中）（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 47．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一坐标系内画出正比例函数与的图象； （2）请你用量角器度量一下这两条直线的交角，你会发现什么？写出你的猜想． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）(1)在如下图所示的平面直角坐标系内画出正比例函数与的图象． (2)请你用量角器度量一下（1）中这两条直线的夹角，你发现这两条直线的位置关系是________． (3)在同一平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是________． (4)若直线（m为常数）与直线互相垂直，求m的值． 题型十二 与正比例函数有关的平移问题 49．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 50．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）向下平移个单位长度，其图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 52．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例的解析式； (2)将该正比例函数的图象向上平移m个单位后恰好经过点，求m的值． 题型十三 与正比例函数有关的最值问题 53．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 54．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 55．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 56．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 57．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $