精品解析：江苏省南通市张謇第一初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025～2026学年度第一学期第二次集中作业初二数学 （试卷共5页 总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，故此选项计算错误，不符合题意； C. ，故此选项计算错误，不符合题意； D. ，运算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方．熟练掌握相应运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的判定与性质证得∠FGE=∠BEG，再根据角平分线的定义证得∠FEG=∠BEG，进而有∠FGE=∠FEG，然后根据等腰三角形的等角对等边即可求解． 【详解】解：∵∠1=∠BEF， ∴CD∥AB， ∴∠FGE=∠BEG， ∵EG平分∠BEF， ∴∠FEG=∠BEG， ∴∠FGE=∠FEG， ∴FG=EF=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判断，熟练掌握平行线的判定与性质，会利用等腰三角形的等角对等边证明边相等是解答的关键． 5. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 6. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝2∠BAD， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴∠ADC＝3∠BAD， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC+∠C＝90°， ∴3∠BAD+2∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 8. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 9. 如图，已知，平分，，若，，则的长是( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】在的延长线上取点E，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得． 【详解】解：在的延长线上取点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形再证是解题的关键． 10. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】（1，-3） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，-3）， 故答案为：（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则的逆用是解题的关键． 先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，构成三角形的条件；分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 当腰长为时，， 则三角形的周长为：； 综上，此三角形的周长是或． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由对顶角相等得，根据垂直平分线的定义得到， ，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是____________（填序号）①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三线合一、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线．延长到点，使，连接，和相交于点，结合垂直平分线的性质推得，再由三线合一可得，通过“边角边”即可证明，由全等三角形的性质可得，，可得②正确；通过线段的等量代换运算可推出④正确；设，则，由，推出，再用表示出，即可计算出，则③正确；当时，可证，否则无法说明，故①是不正确的． 【详解】解：延长到点，使，连接，和相交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 即，②正确； ， ， 平分， 当时，可证，则， 当时，，则无法说明， ①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③正确； ， ， ， ， ④正确． 故答案为：②③④． 18. 如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，过点B作，连接，则，根据等角对等边得出，可求出，则是等边三角形，得出，，然后导角可求出，根据等角对等边得出，最后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点B作，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）利用简便方法计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行幂的乘方、积的乘方运算，单项式乘以多项式，再进行加减计算； （2）利用同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析，顶点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据割补法即可求的面积； （3）连接与x轴交点即为点P的位置． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所作． 21. （1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握单项式乘以多项式法则以及同底数幂的乘法、幂的乘方运算是解题的关键； （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算进行计算即可求解． （2）根据单项式乘以多项式法则、合并同类项进行化简，然后将代入即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ n ； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 22. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证得，可证明． （2）由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 24. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】略 25. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】（1） （2）秒 （3）11秒或12秒 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 由题意可知，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 26. 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当点E在线段上，时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）连接，当点P运动t秒（）时，线段长度取到最小值，请直接写出t和的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）秒， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，证明，推出，可得结论； （3）分两种情况分析：①当点与点在直线同侧时，②当点与点在直线两侧时，得到运动过程中，所在的直线平分，点在的角平分线上运动，当时，最短，可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，在上取一点使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点与点在直线同侧时，如图3， 由（2）中有：是等边三角形，即， ， 则根据可知：， ，， ， ， ， ， ②当点与点在直线两侧时，如图4， 在上截取， ， 结合对顶角相等，可得， ， ，， ， ， ， ， 即运动过程中，所在的直线平分， 则有点在的角平分线上运动， 当时，最短，如图5， 此时， 点与点在直线同侧时， 在中，， ， 中，， ， ， ， 运动时间为秒时，线段长度取到最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第二次集中作业初二数学 （试卷共5页 总分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　） A. 4 B. 3 C. 5 D. 1.5 5. 如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 6. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 9. 如图，已知，平分，，若，，则的长是( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 10. 如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 计算：________． 13. 已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 15. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 16. 如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为_______． 17. 如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是____________（填序号）①；②；③若，则；④． 18. 如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）利用简便方法计算： 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 21. （1）已知，，求的值； （2）先化简，再求值：，其中． 22. 已知：如图，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 23. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 24. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 25. 如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）　　　　　（用t的代数式表示）． （2）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． （3）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 26. 已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． （1）如图1，当点E在线段上，时，求证：； （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； （3）连接，当点P运动t秒（）时，线段长度取到最小值，请直接写出t和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $