5.2 平面直角坐标系导学案 2025-2026学年鲁教版（2024）数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦平面直角坐标系，涵盖坐标系概念、点的坐标表示、象限划分等核心知识点。通过自主探究填空、动手画图等方式导入，衔接数轴知识，为后续函数学习铺垫，构建从具体到抽象的知识支架。 特色在于情境化问题设计，如公园、地铁等现实场景，培养几何直观与空间观念。分层训练（针对训练、基础巩固等）结合中考链接，提升运算能力与模型意识，方法提炼模块助力学生掌握规律，适合自主学习与课堂教学。

5.2 平面直角坐标系（1） 【自主探究】 知识点一：平面直角坐标系及其相关概念 在平面内，______互相_______且有________的________组成平面直角坐标系。 通常，两条数轴分别置于水平位置和铅直位置，取向 和向 为正方向。其中水平的数轴称为 轴或 轴，铅直的数轴称为 轴或 轴。横轴和纵轴统称 ,公共的原点O称为直角坐标系的 。 知识点二：点的坐标的表示及象限划分 (1)如图，对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作______，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的_______、______；有序数对（ ）叫做点P的______。 (2)在平面直角坐标系中，两条数轴把平面分为四部分，从右上部分开始，按逆时针方向依次叫做 、 、 、 。 特别的坐标轴上的点 任何象限. (3)请动手画一画平面直角坐标系。 针对训练 1.下列说法正确的是（ ） A.平面内，两条互相垂直的直线构成数轴. B.坐标原点不属于任何象限. C.X轴上的点必是纵坐标为0，横坐标不为0. D.坐标为(3, 4)与（4，3）表示同一个点. 2.（1）A（4，3）的横坐标是 ，纵坐标是 ，点A在第 象限. (2)B（-2，-3）的横坐标是 ，纵坐标是 ，点B在第 象限. 3.如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为（ ） 4.在平面内确定点A（3，2）、B（2，3）的位置，并确定点C、D、E的坐标。 总结：在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有 的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上 的一点与它对应。 【基础巩固】 1.平面直角坐标系中有一点P（3，0），则点P在（　　） A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴 2.已知点P（﹣3，5），则点P到y轴的距离是 3.在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）与点B（2，4）间的距离是 　 　． 4.在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣3）在第　 　象限． 【素养提优】 如图，若用（1，2）表示学校校门A的位置，则图书馆B的位置可表示为___________，（4，4）表示点_____的位置，点E的位置表示为（ ），点C的位置表示为（ ）。 【中考链接】 （2025·四川）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【方法提炼】 1.平面直角坐标系及其相关概念 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。其中水平的数轴称为 x 轴或 横 轴，铅直的数轴称为 y 轴或 纵 轴。 1. 在平面直角坐标系中，有序数对（a，b）叫做点P的 坐标 。 3.在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有 唯一的一对有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上 唯一的一点与它对应。 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.“横跨”花溪、南明、云岩和乌当四区的贵阳地铁3号线正式开通运营．“北京路”是其中的一个换乘站，若以“北京路”为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若用表示“喷水池”，则可以表示“贵阳一中”的坐标是（　　）（2分） A． B． C． D． 2．用可大致表示图中的（　　）（2分）    A．点E B．点F C．点 G D．点H 3．如下所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的有（　　）（2分） 4．如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接A,B,C,D点；（2分） (2)求四边形ABCD的面积．（2分） 5.2 平面直角坐标系（2） 【自主探究】 知识点一：坐标轴上的点 坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征为：在x轴上的点的______坐标为0；在y轴上的点的______坐标为0；原点的横、纵坐标都为_________。 针对训练一 1.点A（0，-6）在 轴 半轴上；点B（3，0）在 轴 半轴上. 2.若点P（m+5，m－2）在x轴上，则m= ；若点P（m+5，m－2）在y轴上，则m= 。 知识点二：平行于坐标轴的点 平行于坐标轴的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的点______坐标相同；平行于y轴的直线上的点_______坐标相同． 针对训练二 1.若点A(3,5),点B(3,-8),点C（-4，5），则直线AB∥ 轴；直线AC∥ 轴. 2.已知线段AB∥y轴，且已知A(2，-6)，B(x，3)，那么x=________. 3.已知点 P（ a，b），Q（3，6）且 PQ ∥ x轴，则 b的值为 。 4.已知点A(-3,2)，点B（1,4）， （1）若CA∥x轴，BC∥y轴，则点C的坐标是 ; （2）若CA∥y轴，BC∥x轴，则点C的坐标是 。 知识点三：点与象限 坐标轴把平面分隔成四个象限。根据点所在位置填表 坐标的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 针对训练三 1.在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、D（3，4）中,属第一象限的点是 ，属第二象限的点是 ,属第三象限的点是 ,属第四象限的点是 . 2.用“>”或“<”填空: (1)若点A(a,b)满足 a＜0，b＞0，则点A在第 象限； (2)若点B(a,-b) 满足 a＜0，b＞0，则点B在第 象限； (3)若点C(-a,b)在第四象限，则a______0，b_______0; (4)若点D(a,-b)在第一象限，则a______0，b_______0. 3.在直角坐标系中，如果点P（a,2）在第二象限，那么点Q(-3，a)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 知识点四：点到坐标轴的距离 若P的坐标为(a,b)，则：P到x轴距离为_______，P到y轴距离为_______．P到原点距离为_________________． 针对训练四 1.在直角坐标系中，点M（2，-3），则点M到x轴距离为_______，M到y轴距离为_______． 2.如果点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（　 　） 3.直角坐标系中，点P（a，b）到x 轴、y 轴距离分别为3，７，则P点坐标为 知识点五：两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： 若点P（m，n）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标_____________； 若点P（m，n）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标_____________。 针对训练五 1.若点M（6，-6），则点M在第 象限角平分线上. 2.已知点P（x2-3，1）在第一、三象限的角平分线上，则x= . 【基础巩固】 1.下列说法正确的是（ ） A.点P（0，5）在X轴上 B.点A（-3，4）与点B(3,-4)在x轴的同一侧 C.点M（-a，a）在第二象限 D.坐标平面内的点与有序数对是一一对应的 2.已知点 M（ m-2，m+2），N（3，6）且 PQ ∥ x轴，则点M的坐标为（ ） 3.若点A（a+5， a-3）在第四象限，且到x轴的距离为4，则a= 4.点P（-2，m）在第二象限的角平分线上，则m = 【素养提优】 1.已知线段AB=3，AB∥x轴，若A点坐标为（-1，2），则B点坐标是 ． 2.在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.点P(x，y)的坐标x，y满足xy=0，则点P在(　　 ) A.x轴上 B.y轴上 C.坐标轴上 D.原点 【中考链接】 （2022·泰安）如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ． 【方法提炼】 1.四个象限的坐标点的正负性： 第一象限（＋，＋） 第二象限（－，＋） 第三象限（－，－） 第四象限（＋，－） 2.两坐标轴上的坐标点的特征： （1）在x轴上，纵坐标的值为0.（2）在y轴上，横坐标的值为0. 3.坐标点P（a，b）到两坐标轴的距离： （1）到x轴的距离：|b| （2）到y轴的距离：|a| 4.线段与两坐标轴平行的特点： （1）平行于x轴的线段，每个点的纵坐标的值相等； （2）平行于y轴的线段，每个点的横坐标的值相等. 5.坐标轴在象限的角平分线上的特征： （1）若P（a，b）在第一、三象限的角平分线上，则a=b； （2）若P（a，b）在第二、四象限的角平分线上，则a=-b或a+b=0. 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.点（5，4）在第_____象限，点（-1.5，-1）在第_______象限（2分） 2.点（-3，0）在_____轴上；若点（1-，b-5）在y轴上，则______（2分） 3.已知点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=5，则点P的坐标是_____（2分） 4.在平面直角坐标系中，点（3，m2+1）一定在（ ）（2分） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知点A（a，2）B（-3，b）若AB∥y轴，则a= , 此时，当AB=3时，则b= .（2分） 5.2 平面直角坐标系（3） 【自主探究】 知识点一：建立平面直角坐标系确定点的坐标 例2：如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。 例3：对于边长为2的正△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标. 针对训练一 1. 一个直四棱柱的俯视图如图所示.请建立适当的坐标系，并标出各顶点的坐标. 知识点二：复原平面直角坐标系确定点的坐标 1.如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标 ． 针对训练二 如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　 　） 【基础巩固】 1.一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_________。 2.如图，小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（　　） A．（1，0） B．（-1，0） C．（-1，1） D．（1，-1） 【素养提优】 1.如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，0），食堂在点（1，3），则教学楼在点（　　） A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（﹣5，2） D．（﹣4，2） 2.如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），试建立恰当的直角坐标系，写出点C的坐标． 【中考链接】 （2022·南京）如图是某学校的部分平面示意图，以学校大门A为原点建立直角坐标系，教学楼所在B点的坐标为（﹣3，﹣3），则篮球场所在C点的坐标为 　 　． 【方法提炼】 1.建立平面直角坐标系步骤：（1）选择适当的点作为原点；（2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴，y轴；（3）确定正方向、单位长度；（4）读点. 2.复原平面直角坐标系确定点的坐标的关键：确定坐标原点. 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣2，2），点F的坐标为（2，﹣1），则该坐标系的原点是 　 　．（2分） 2.用两个数字来确定一个点的位置是常用的确定位置的方法，如图,A点用（2,3）来表示，那么B点的位置为 ．（2分） 3.如图，正方形ABCD中点A和点C的坐标分别为（-2,3）和（3，-2），则点B和点D的坐标分别为（   ）（2分） A.（2,2）和（3,3） B.（-2,-2）和（3,3） C.（-2,-2）和（-3,-3） D.（2,2）和（-3,-3） 4.如图，若用（2，3）表示学校校门A的位置，则图书馆B的位置可表示为_________，（5，5）表示点_____的位置，点E的位置表示为（ ），点C的位置表示为（ ）（4分） 答案： 5.2 平面直角坐标系（1） 【自主探究】 知识点一：平面直角坐标系及其相关概念 __两条_；_垂直__；_公共原点__；_数轴__； 右 ；上 ； x ； 横 ； y ； 纵 ； 坐标轴 ； 原点 。 知识点二：点的坐标的表示及象限划分 (1)_垂直__；__横坐标_____、_纵坐标___；（a，b ）；坐标 (2)第一象限、第二象限 、 第三象限 、第四象限；不属于 针对训练 1. B 2.（1）4 ； 3 ； 一 象限 (2) -2 ； -3 ； 三 . 3.（ 2，2 ） 总结： 唯一 ； 唯一 【基础巩固】 1. A　　2. 3 3.　5 4.　 三 【素养提优】 _（0，5）__；_D__；（6,6）；（ 5,1 ） 【中考链接】 四 【达标测评】 1. A 2. C 3. B 4.解：（1）如图所示： （2）解：AB=2-（-3）=2+3=5，边上的高为3，四边形ABCD的面积=5×3=15. 5.2 平面直角坐标系（2） 【自主探究】 知识点一：坐标轴上的点 _纵___；__横___；__0____ 针对训练一： 1. y ； 负 ； x ； 正. 2. 2 ； -5 。 知识点二：平行于坐标轴的点 _纵___；__横__． 针对训练二： 1. y ；x . 2. _2_______. 3. 6 4.（1）（1，2） （2）（-3，4） 知识点三：点与象限 坐标的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限 负 负 第四象限 正 负 针对训练三： 1. D ； B ； A ； C . 2. (1) 二 ； (2) 三 ； (3) __＜___；___＜_； (4) _＞__；_＜____. 3. C 知识点四：点到坐标轴的距离 _|b|___；__|a|____；_____． 针对训练四： 1. 3____；__2_____． 2.（　-2，1 　） 3. （7，3）或（-7，3）或（7，-3）或（-7，-3） 知识点五：两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标 __相等___；互为相反数__________。 针对训练五： 1. 二、四 2. ±2 . 【基础巩固】 1 D 2.（ 2,6 ）。 3. -1 4. 2 . 【素养提优】 1. (2,2)或（-4，2） ． 2. B 3. C　 【中考链接】 　（-2，-1） 【达标测评】 1. _一___；___三___ 2. _x__；__a=1____； 3.（-3，5）_ 4. A 5. -3 ； 5或-1 5.2 平面直角坐标系（3） 【自主探究】 知识点一：建立平面直角坐标系确定点的坐标 针对训练一 解：建立直角坐标系如图，选择比例为1：10,取点E为直角坐标系的原点，使俯视图中的线段AB在x 轴上，则可得A，B，C，D各点的坐标分别为（-1，0），（2，0），（2.5，1.5），（0，3.5）. 知识点二：复原平面直角坐标系确定点的坐标 ( -2 ， 3 ) 针对训练二 （　1，-2 ） 【基础巩固】 1. __（3，2）__ 2. A　 【素养提优】 1. D　 2. C(2,1) 【中考链接】 　(1,-2) 【达标测评】 1.D 2. (5,6) 3. B  4. _(1,6)__；__D__；（7,7 ）；（ 6,2 ） 学科网（北京）股份有限公司 $