专题05空间向量折叠问题和存在性问题5大题型（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题05 空间向量折叠问题与存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、折叠中有关角的问题 8 题型二、折叠有关距离问题 15 题型三、有关位置关系存在性问题（常考点） 19 题型四、有关角的存在性问题 25 题型五、有关距离的存在性问题 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、折叠中有关角的问题 1．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C 2.已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点（如图1），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）    连接，，令， 由、分别为、的中点，得， 又四边形是直角梯形，，，，， 则，， 因此，，四边形为正方形， 则，， 由平面平面，平面，平面平面， 得平面，而平面，则， 又，，，平面， 所以平面. （2）由（1）得直线，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 平面的一个法向量为， ∵平面， ∴取平面的一个法向量为， 显然二面角为锐角， ∴二面角的余弦值. 所以二面角的正弦值 3．如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 4．如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3). 【详解】（1） 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴， 过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，或-4（舍）故当时，存在， 使直线与平面所成角的正弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 题型二、折叠中有关距离问题 5．如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 6．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故.    （2）当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为.    （3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 7.在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.    (1)求证：平面； (2)求点M到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)；(3)存在，. 【详解】（1）因为在中，，，所以， 根据折叠关系，而且平面， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，所以平面； （2）因为DE经过的重心，故，由（1）知平面， 以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，.    由几何关系知， 故， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； （3）设，，，即， 即，，. 设平面CMN的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以. 8.如图甲，在梯形中，，E是的中点，将沿折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且． (1)求证：平面平面； (2)求点E到平面的距离； (3)设的中点为O，在平面内取点Q，使得直线平面，问点Q是否在内？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在，理由见解析 【详解】（1）取的中点为O，连接，由题意知，所以. 在中，，所以， 在中，，则， ， 则， 在中， ，所以， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连接， ， 即，而O为的中点，则，且， 由（1）知，平面，平面，故， 故以O为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，. 取，则，则， 故点E到平面的距离为. （3）设，由Q在平面内可知， 即，即， 所以，即，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，，所以Q点不在内. 题型三、有关位置关系的存在性问题（常考点） 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 解：存在．由题意知，AB，AD，AP两两垂直，∴以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)． 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)． ∵∥， ∴y(－1)－2(z－1)＝0.① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的一个法向量，＝(－1，y－1，z)，由CE∥平面PAB， 可得⊥， ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0， ∴y＝1，代入①式得z＝.∴点E的坐标为， ∴点E是PD的中点，∴存在点E，即点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD. (1)求证：CD⊥平面PAC； (2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由． 解：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． (1)证明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，可得·＝0，·＝0， 所以AP⊥CD，AC⊥CD. 又因为AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC. (2)设侧棱PA的中点是E，则E， ＝. 设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则 因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)， 所以取x＝1，则y＝1，z＝2， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)． 所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥. 因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD. 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD. 11.(2024河南省实验中学月考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,AB=BD,E是线段AC上一点.是否存在点E,使得平面BDE⊥平面ADC?若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 解析　存在,当=2时,平面BDE⊥平面ADC. 证明如下:假设存在点E使得平面BDE⊥平面ADC,设=λ. 不妨设AB=2,在平面BCD中作BF⊥BD,以BF,BD,BA所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz, 则B(0,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),C(1,1,0). 易得=(-1,-1,2),=(0,2,0),=(-1,1,0). 设m=(x1,y1,z1)是平面ADC的法向量, 则即取x1=1,则y1=1,z1=1,所以平面ADC的一个法向量为m=(1,1,1). 因为=λ,所以点E的坐标为, 所以=. 设n=(x2,y2,z2)是平面BDE的法向量, 则即 取x2=1,则y2=0,z2=-,所以平面BDE的一个法向量为n=. 因为平面BDE⊥平面ADC,所以m⊥n,即m·n=0,即1-=0,解得λ=2. 所以当=2时,平面BDE⊥平面ADC. 12.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CB=CD=4,AA1=4,∠BCD=60°,M,M1分别是线段BC,B1C1的中点. (1)证明:BC⊥平面MM1D; (2)在线段BC上是否存在点P,使得PB1∥平面BDA1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由. 解析　(1)证明:因为CB=CD=4,∠BCD=60°,所以△BCD为正三角形, 因为M是线段BC的中点,所以DM⊥BC, 又M1是线段B1C1的中点,所以MM1∥CC1, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥底面ABCD,而BC⊂平面ABCD,所以CC1⊥BC,所以MM1⊥BC, 又DM∩MM1=M,DM,MM1⊂平面MM1D, 所以BC⊥平面MM1D. (2)由(1)知△BCD为正三角形,则BD=CB=CD=4, 在△ABD中,AB=AD=2,BD=4,则BD2=AB2+AD2,所以AB⊥AD, 又在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥AB,AA1⊥AD, 所以AB,AD,AA1两两互相垂直,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(2,0,0),C(+,+,0),D(0,2,0),A1(0,0,4),B1(2,0,4), 所以=(-,+,0),=(-2,0,4),=(-2,2,0),=(0,0,4), 设平面BDA1的法向量为n=(x,y,z), 则令x=,则y=,z=1,所以n=(,,1), 假设在线段BC上存在点P,使得PB1∥平面BDA1, 令=λ(0≤λ≤1),则=(λ-λ,λ+λ,0), (根据点在线段上,利用三点共线设出参数λ并确定坐标,注意λ的范围是[0,1]) 所以=-=(λ-λ,-λ-λ,4), 由PB1∥平面BDA1,得⊥n, 所以·n=(λ-λ)×+(-λ-λ)×+4×1=0,解得λ=,则=, 所以||==,满足题意.故在线段BC上存在点P,使得PB1∥平面BDA1,且BP的长为. 题型四、有关角的存在性问题 13.（多选）如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 【答案】ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确；    对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 14.在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.    (1)当平面时，求的值； (2)当最小时，求与所成角的余弦值； (3)当二面角的大小为时，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故，    以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故； （2）由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为； （3）由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故. 15.如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii） 【详解】（1）由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 16.图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求证：； (2)棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以． （2）因为是直二面角，且是二面角的平面角， 所以， 又， 故分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图 由题意，、、、． 则，，， 设，则， 则， 平面的一个法向量为， 由题意，得. 所以，解得. 此时，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则. ∴， 则， ∴， 所以二面角的正弦值为． 题型五、有关距离的存在性问题 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点．问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 解：∵在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1，0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0，0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)． 假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为， 设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y,0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则∴ 取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)． ∴点Q到平面PCD的距离为d＝＝＝，∴y＝－或y＝(舍去)． 此时|AQ|＝，|QD|＝. ∴存在点Q满足题意，此时＝. 18.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，圆台下底圆心O为AB的中点，直径为2，圆与直线AB交于E，F，圆台上底的圆心O1在A1B1上，直径为1. (1)求A1C与平面A1ED所成角的正弦值； (2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1，若存在，求点P到直线A1B1的距离，若不存在，请说明理由． 解：(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A1(2，0，2)，C(0，4，0)，E(2，1，0)，D(0，0，0)，所以＝(－2，4，－2)，＝(2，0，2)，＝(2，1，0).设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有即令x＝1，则y＝－2，z＝－1，故n＝(1，－2，－1)，所以|cos 〈，n〉|＝＝＝.故A1C与平面A1ED所成角的正弦值为. (2)由(1)可知，A(2，0，0)，C1(0，4，2)，所以＝(－2，4，2).假设存在这样的点P，设P(x，y，2)，由题意可知(x－2)2＋(y－2)2＝.所以＝(x－2，y－3，2).因为FP⊥AC1，则有·＝－2(x－2)＋4(y－3)＋4＝0，所以x＝2y－2.又(x－2)2＋(y－2)2＝，所以5y2－20y＋＝0，解得(舍)，所以当P时，FP⊥AC1，此时点P到直线A1B1的距离为. 1．（2025·湖北武汉模拟）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）． (1)求证：平面； (2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能，理由见解析； (3) 【详解】（1）连接，因为，为的中点， 是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以． 在中，因为，所以， 同理可得， 又，， 故平面． （2）不可能与平面平行，理由如下： 假设平面， 又因为平面平面． 所以平面． 因为平面平面， 从而有平面平面，这显然不成立， 所以不可能与平面平行． （3）设为的中点，则． 因为平面平面， 所以平面平面． 又平面平面平面，所以平面． 以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 过点且平行于的直线向上方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 因为， 所以， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则． 2.如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在内， 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以， 在中，，所以，在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连结，，，，所以， 且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故，. 所以点不在内，. 43.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，    所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）连接，因为为等边三角形，则.    所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则，取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得.又，所以，线段CF的长为2. 4.（25-26高三上·广东·模拟）在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. (2)若为的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1)存在，为的中点 (2). 【详解】（1）当为的中点时，平面， 证明如下：取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 则为的中位线，则，且， 因为，，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面，此时为的中点. （2）取的中点，连接交于点，连接， 由，可得四边形为菱形，则有， 由可得，. 又因为，所以. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面 平面. 因为为的中点，所以，平面平面， 所以平面，因为，，所以. 以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系. ， . 设为平面的法向量， 即 令，得， 设为平面的法向量， 即 令，得， ∴平面的法向量为， 可得. 设二面角的平面角为， 则，可得. 综上，二面角的正弦值为. 5.（25-26高三上·河北·模拟）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面. （2）解法一：存在，. 证明：假设存在点满足要求，过作，交于点， 过作于G，连接， ∵平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 又，平面，∴平面， 又平面，∴. 所以是二面角的平面角. 设，∴，，， ∴， 解得， ∴，∴. 解法二：存在，. 取的中点O，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，∴， ，∴平面， 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，以所在直线为轴， 以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，则，， ∴平面的一个法向量为， ∴， 设二面角的平面角为， 则， 解得， ∴，∴. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间向量折叠问题与存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、折叠中有关角的问题 2 题型二、折叠有关距离问题 4 题型三、有关位置关系存在性问题（常考点） 6 题型四、有关角的存在性问题 8 题型五、有关距离的存在性问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、折叠中有关角的问题 1．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2.已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点（如图1），以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 3．如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 4．如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 题型二、折叠中有关距离问题 5．如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 6．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 7.在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.    (1)求证：平面； (2)求点M到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8.如图甲，在梯形中，，E是的中点，将沿折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且． (1)求证：平面平面； (2)求点E到平面的距离； (3)设的中点为O，在平面内取点Q，使得直线平面，问点Q是否在内？请说明理由． 题型三、有关位置关系的存在性问题（常考点） 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由． 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD. (1)求证：CD⊥平面PAC； (2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由． 11.(2024河南省实验中学月考)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,AB=BD,E是线段AC上一点.是否存在点E,使得平面BDE⊥平面ADC?若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 12.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CB=CD=4,AA1=4,∠BCD=60°,M,M1分别是线段BC,B1C1的中点. (1)证明:BC⊥平面MM1D; (2)在线段BC上是否存在点P,使得PB1∥平面BDA1?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由. 题型四、有关角的存在性问题 13.（多选）如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 14.在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点.    (1)当平面时，求的值； (2)当最小时，求与所成角的余弦值； (3)当二面角的大小为时，求的值. 15.如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 16.图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求证：； (2)棱上存在一点，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值． 题型五、有关距离的存在性问题 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点．问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，圆台下底圆心O为AB的中点，直径为2，圆与直线AB交于E，F，圆台上底的圆心O1在A1B1上，直径为1. (1)求A1C与平面A1ED所成角的正弦值； (2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1，若存在，求点P到直线A1B1的距离，若不存在，请说明理由． 1．（2025·湖北武汉模拟）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）． (1)求证：平面； (2)为线段上的动点（不含端点），能否与平面平行？说明理由； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 2.如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？并求的长. 3.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 4.（25-26高三上·广东·模拟）在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. (2)若为的中点，求二面角的正弦值. 5.（25-26高三上·河北·模拟）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $