第三章 空间向量与立体几何（单元综合检测卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册)

第三章：空间向量与立体几何章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标. 【详解】空间向量，，则， 故以为单位正交基底时的坐标为. 故选：B. 2．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题得. 故选：A. 3．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ， 故选：D. 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 5．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 6．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得. 【详解】取中点，连接，则， 而平面， 于是平面，，， 又，则， 解得，，而，则， ， 所以三棱锥的体积为. 故选：C    7．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件用表示出，然后对所得的等式两边平方化简可求得结果. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 【答案】ACD 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 夹角的余弦值为，所以B错误； 因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确； 因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确． 故选:ACD． 11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知向量，，，若，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理得到存在使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，存在使得，即， 故，解得. 故答案为： 13．已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 【答案】 【分析】由图形的结构特征，当为正方体中心时，点到两点的距离之和最小值为，到这两点的距离之和的最小值为，求值即可. 【详解】点与点和点的距离之和为， 因为关于平面的对称点为，故， 当且仅当为中点，即为正方体中心时等号成立； 点与点和点的距离之和可表示为， 则，当且仅当在所在直线上时等号成立， 故的最小值为， 当且仅当为正方体中心时等号成立. 故答案为：. 14．对于任意实数x，y，z，的最小值为 . 【答案】 【分析】设，记点及，则所求式子的几何意义为，然后根据三点共线时距离最短求解. 【详解】结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式， 可得表示的几何意义是空间内任意一点与原点及定点，的距离之和， 显然，当三点共线且在线段上时，最小， 最小值为. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．如图，在正方体中，点分别在上，且.    (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，故，得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求解出面面角的余弦值. 【详解】（1）因为，， 所以四边形为平行四边形，故，， 又，，故，， 又，， 故，所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为3，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令得，，故， 且平面的法向量为， 设平面与平面夹角的大小为， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故；    （2），则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 17．已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，． (1)在线段PB上找一点G，使得平面∥平面PDE，并说明理由； (2)在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值． 【答案】(1)线段PB的中点即为所求的点G，理由见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据题意可得，，根据面面平行的判定定理分析证明； （2）由二面角分析可知，建系，求平面PAC的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）线段PB的中点即为所求点G．理由如下： 连接BD交AC于点M，连接GM，PD， 因为四边形ABCD是正方形，则M为BD的中点， 且G为线段PB的中点，则， 又因为平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE， 由题意可知：， 则，且平面PDE，平面PDE，所以∥平面PDE． 且，GM，平面GAC，所以平面∥平面PDE． （2）因为，，，平面PAE， 可得直线平面PAE，且平面PAE，所以， 可知为二面角的平面角，则， 如图，以E为坐标原点，EA，ED所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，， 则，，， 设平面PAC的法向量为，则， 取，则，可得， 设直线CG与平面PAC所成角为， 则， 所以直线CG与平面PAC所成角的正弦值为． 18．如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）连接，则， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则 可知， 又因为平面，所以平面. （2）取中点，则，    以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 所以点B到平面的距离为. 19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 【详解】（1）因为, 所以,即平面, 平面,平面, 所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面,平面平面,平面,平面,    以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为, 设平面法向量为 , 令,得,所以 设二面角为 . , （3）   以为轴，过F做的垂线为z轴， 设, , ,得出, 设平面的法向量为, 设直线PE与平面ABC所成角为， , 因为,所以 所以正弦值的取值范围 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：空间向量与立体几何章末综合检测卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 6．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．4 7．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（    ） A． B．夹角的余弦值为 C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是 11．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知向量，，，若，，共面，则 ． 13．已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为 . 14．对于任意实数x，y，z，的最小值为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．如图，在正方体中，点分别在上，且.    (1)若，证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 17．已知棱锥的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，． (1)在线段PB上找一点G，使得平面∥平面PDE，并说明理由； (2)在（1）的条件下，二面角为，求CG与平面PAC所成角的正弦值． 18．如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；    (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$