专题01 排列组合13类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题01排列组合13类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、排列数与组合数的相关证明 类型二、相邻元素捆绑法 类型三、不相邻问题插空法 类型四、特殊元素优先安排法 类型五、平均分组问题 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 类型九、涂色问题 类型十、元素配对问题 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 类型十二、错排问题 类型十三、环排问题 压轴专练 类型一、排列数与组合数的相关证明 （1）（、，且） （2）（、，且） 例1．证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ．为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 变式1-1．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】 变式1-2．已知，，. （1）求值：，(2)化简：. 【解题思路】（1）利用组合数的阶乘形式化简计算即可； （2）利用化简式子即可. 【解答过程】（1） ； （2）由（1）知，， 则. 变式1-3．组合数性质； 【分析】利用组合数公式计算化简可证结论； 【详解】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 类型二、相邻元素捆绑法 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例2.（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有 种. 【答案】144 【解析】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得. 故答案为：144. 变式2-1．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有 A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果． 【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法， 再与另一个男生排列，则有种方法， 三名女生任选两名“捆绑”，有种方法， 再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法， 利用分步乘法原理，共有种.故选：D． 变式2-2．某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种 【答案】C 【分析】根据题意，利用间接法，即可求解. 【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种）， 其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种). 因此满足题意的方法共有(种). 故选：C. 变式2-3．在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，利用捆绑法可求得结果. 【详解】将三对夫妇进行捆绑，形成三个大元素，所以，不同的排列方法种数为种. 故选：C. 类型三、不相邻问题插空法 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】C 【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种. 故选：C. 变式3-1．琵琶､二胡､编钟､箫、笛､瑟､琴､埙､笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶､二胡､编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的排法有（       ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从除琵琶､二胡､编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，然后用插空法插入琵琶､二胡､编钟这三种乐器，由分步乘法计数原理可得． 【详解】从除琵琶､二胡､编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的个空中挑个插入琵琶､二胡､编钟三种乐器，有种情况，故琵琶､二胡､编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为：； 故选：C. 变式3-2．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 变式3-3．已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法 类型四、特殊元素优先安排法 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制 例4．.甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 变式4-1．现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法 变式4-2．（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 变式4-3．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 【答案】B 【详解】安排B项工作的人数分为两类， 第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法， 再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法， 若D项工作安排一人，则有种方法， 所以B项工作仅安排1人共种方法， 第二类，B项工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 故选：B. 类型五、平均分组问题 ①分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． ②完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. ③部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) ④完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 例5．将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 【答案】A 【详解】依题意，可以先将5个大小相同，颜色不同的小球分成三份， 有，3，1，1，和1，2，2两种情况， 于是恰好有2个空盒的放法有（种）， 故选：A． 变式5-1某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 A．4680 B．4770 C．5040 D．5200 【答案】C 【详解】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 故选C. 变式5-2．.某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（    ） A．3180 B．3240 C．3600 D．3660 【答案】B 【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题. 【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2 把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有 种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为； 把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有 种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为； 把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有 种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为 综上，分配方案总数为 故选：B 变式5-3．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有 种分配方法． 【答案】390 【解析】法一：①6人分成的形式．若甲、乙两人均单人成组，则剩下四人组成一组，只有1种分组方法；若甲、乙两人中有一人与余下四人中的三人组成一组，余下一人单独成组，则有（种）分组方法，所以该种分组形式共有（种）分组方法． ②6人分成的形式．若甲、乙两人均有搭档，共有（种）分组方法；若甲、乙中有一人无搭档，共有（种）分组方法，所以该种分组形式共有（种）分组方法． ③6人分成的形式，共有（种）分组方法． 所以共有（种）分组方法，共有（种）分配方法． 法二：①6人分成的形式，则共有（种）分组方式，若甲乙同组，则还需选择两人成组，共有（种）选法，故共有（种）分组方式． ②6人分成的形式，则共有（种）分组方式，其中甲乙同组，剩下四人还可以分为的形式，共有（种）分法，或者分为的形式，共有（种）分法，故共有（种）分组方式． ③6人分成的形式，共有（种）分组方式，其中甲乙同组，剩下四人还可以分为的形式，所以共有（种）分组方式，故共有（种）分组方式． 综上，共有（种）分组方式，共有（种）分配方法． 故答案为：390. 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【分析】除了甲乙外，再选2人，从而利用倍缩法进行求解. 【详解】先从丙、丁、戊3人中选2人，有种，再把4人排列满足甲在前、乙在后，有，∴总共有种． 故选：C 变式6-1（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）由0到9这10个自然数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“267”）顺序排列的数的个数是 . 【答案】 【解析】先不考虑0的情况， 则从这9个数字中按题中条件选出3个数字，共种情形， 再考虑有0时，不可能组成严格递增的数， 综上各位数字按严格递增（如“267”）顺序排列的数的个数是个. 故答案为：. 变式6-2．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C. 变式6-3．某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课． （Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？ （Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（Ⅰ）480种；（Ⅱ）504种. 【分析】（Ⅰ）根据不相邻问题插空法处理即可求出； （Ⅱ）根据定序问题缩倍法即可求出． 【详解】（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻， 则不同的排法有（种）． （Ⅱ）若将这了节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变， 则不同的排法有（种）. 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 例7．现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 【答案】B 【详解】根据题意，先将13个名额分能给一班、二班每班2个，三班、四班每班1个， 而由于五班可以不分配名额， 则将剩下的7个名额加上1个空名额，再分成5组，每组至少1个名额， 由于有，利用“隔板法”，有种分配方式. 故选：B. 变式7-1（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ） A．10种 B．种 C．种 D．60种 【答案】A 【解析】依题意，采用隔板法，在个空中插入块板，则不同的放法共有种； 故选：A 变式7-2．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】问题可转化为，10个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的数目就是方程的一组解， 由隔板法可知，共有种不同的分法， 即方程共有组不同的解. 故选：A 变式7-3．方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为，所以， 从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分， 一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 变式7-4.（2024高二下·江苏南京·期中）一个架子上有8本书，每次至少拿出1本，拿完为止，则一共有几种拿法（       ） A．108 B．120 C．128 D．144 【答案】C 【分析】分8种情况求解，然后利用分类加法原理求解即可 【详解】解：1次拿完，有种， 2次拿完，相当于8本书分2堆，有种， 3次拿完，相当于8本书分3堆，有种， 4次拿完，相当于8本书分4堆，有种， 5次拿完，相当于8本书分5堆，有种， 6次拿完，相当于8本书分6堆，有种， 7次拿完，相当于8本书分7堆，有种， 8次拿完，相当于8本书一本一本拿，有种， 由分类加法原理可得共有 种， 故选：C 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 有些排列组合问题, 从正面直接考虑比较复杂, 可以尝试反其道而行, 先求出它的反面情况, 再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 例8．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474. 【分析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果. 【详解】从节课中任意安排节共有：种 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种 老师一天课表的所有排法共有：种 变式8-1某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用间接法求解，先求出五个节目的全排列数，再求出三个歌唱节目都相邻的排法数，相减即可得结果. 【详解】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为，故满足条件的排法数为，所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84， 故选：C. 变式8-2．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【答案】A 【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 变式8-3．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种． A．34 B．816 C．216 D．210 【答案】B 【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有种，而不选男教师的选法有种， 则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有种， 另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有种． 则这7名教师不同的安排方法有种． 故选：B． 类型九、涂色问题 （1） 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法； （2） 根据使用颜色总数分类讨论； （3） 根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论； （4） 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论； （5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 例9．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（    ） A．36 B．48 C．72 D．144 【答案】C 【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解. 【详解】按使用颜色的种类分类， 第一类：使用了3种颜色，则1,3同色且2,5同色，则共种， 第二类：使用了4种颜色，则1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，则共种， 所以不同的着色方案种数为种. 故选：C. 变式9-1如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 【答案】D 【分析】分类讨论按照O，A，B，C，D，E的顺序按题意要求去依次涂色即可解决. 【详解】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法， ①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法， 最后E有2种涂色方法； ②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色， 若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法； 若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法. 综上，涂色方法总数为 故选：D 变式9-2．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对所选颜色的种数进行分类讨论，先涂、、三点，再确定、、三点颜色的选择方法种数，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： ①若种颜色全用上，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中选择两点涂另外两种颜色，有种，最后一个点有种选择， 此时共有种； ②若用种颜色染色，由种选择方法，先涂、、三点，有种， 然后在、、三点中需选择一点涂最后一种颜色，有种，不妨设涂最后一种颜色的为点， 若点与点同色，则点只有一种颜色可选， 若点与点同色，则点有两种颜色可选， 此时共有种； ③若用种颜色染色，则有种选择方法，先涂、、三点，有种， 点有种颜色可选，则、的颜色只有一种选择， 此时共有. 由分类加法计数原理可知，共有种涂色方法. 故选：D. 变式9-3．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A．3125 B．1000 C．1040 D．1020 【答案】D 【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可. 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件. 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色. 故问题转化为如图五个区域， 有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.    分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 第二类：三个区域涂两种不同的颜色， 由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同. 若涂一色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即涂个区域不同色， 从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法， 由分步计数原理，则共有种方法； 若涂一色，与涂一色的方法数相同， 则共有种方法. 由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种. 故选：D. 类型十、元素配对问题 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 例10．从5双不同的袜子中取4只，使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数为（    ） A．20 B．30 C．130 D．140 【答案】C 【分析】由对立事件A为“4只没有可配对的袜子”的取法种数，总取法，即可知至少有2只袜子配成一双的可能取法种数，即可知正确选项. 【详解】“4只至少有2只袜子配成一双”的对立事件A为“4只没有可配对的袜子”， ∴A的取法数为种，而总取法有种， ∴“4只至少有2只袜子配成一双” 可能取法种数为种. 变式10-1小明家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的取法种数为________ 【答案】 【分析】求出从4双不同花色的袜子从中随机任取3只所有的取法，再求出恰有2只花色相同的取法，根据古典概型求解. 【详解】从4双不同花色的袜子中，其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法 变式10-2．.从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种． 【答案】 15 240 【分析】根据组合的定义，恰是两双的抽法有种；对于恰有一双的情形，采用分部抽取，先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双再分别抽取一只求解即可； 【详解】恰是两双的选法有种； 对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有种 变式110-3．现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 【答案】 45 1440 【分析】由乘法原理即可求出4只鞋子恰有两双的种数和有2只成双，另2只不成双的种数. 【详解】由题意，从10双中任选2双有种取法， 先选取一双有种选法，再从9双中任取两双有种选法， 每双鞋只取一只各有2种取法， 根据分步乘法计数原理可知选取的种数为：. 类型十一、球放盒子问题（先分后排） “球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。同一盒子放多个球时“只选不排” 注意分类套路不遗漏 例11．苏超正在如火如荼的举行，现在把招募的5名志原者中分配到3处秩序维护点，每处维护点至少分配一名，则不同的分配方法共有（    ） A．150 种 B．180 种 C．200 种 D．280 种 【答案】A 【分析】分情况讨论，分三处分别有1，2，2人与1，1，3人两种情况求解即可. 【详解】先将5人分组，可能情况有1，2，2人与1，1，3人两种情况. ①分成1，2，2人的所有情况共种情况； ②分成1，1，3人的所有情况共种情况； 再将分好的组分配到3处核酸采样点，共种情况. 故选：A 变式11-1三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有 A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 【答案】B 【分析】根据题意，先选后排.①先选，将5名医生分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案. 【详解】根据题意：分两步计算 （1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2； ①分成1，1，3三组的方法有②分成1，2，2三组的方法有，一共有种的分组方法； （2）将分好的三组全排列有种方法，则不同的派出方法有种. 故选B. 变式11-2．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 【解析】（1）先将4个不同的黑球全排列，有种方法；再将2个不同的红球全排列，有种方法； 接着将4个黑球看成是1个元素连同整体红球共2个元素全排列，有种方法； 最后将2个黄球排在2个大元素形成的三个空位上，有种方法. 所以总的排法数为； （2）从这8个球中取出4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是1，1，2， 所以取法种数为； （3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，有两类：2，2，4；2，3，3； 所以分堆种数为. 变式11-3．（2022·全国·高三专题练习）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18. 【分析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中； （3）按照插板法进行计算即可； （4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算. 【详解】（1）每个小球有4种方法，共有种放法； （2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法； （3）9个空中插入3个板即可，种放法； （4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法 类型十二、错排问题 封不同的信都装错了信封,问都装错信封的方法有多少种（即的错位数是多少）? ，其中 例12．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有 种． 【解答】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中， 当四个小球分组为如下情况时，放球方法有： 当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； 因此，不同的放球方法有12种． 故答案为：12． 变式12-1五位同学坐在一排,现让五位同学重新坐,至多有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法 有 种. 解析:第一类,两位同学坐在自己原来的位置,有种; 第二类,一位同学坐在自己原来的位置,有种; 第三类,没有同学坐在自己原来的位置, 种; 共109种. 变式12-2六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）． 解：根据题意，分2步进行分析： ①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况， ②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D， A不坐自己的位置，有3种坐法， 假设A坐在了B的位置，B有3种坐法， 剩下C、D，只有一种坐法， 则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况， 故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种； 故答案为：135． 变式12-3．已知甲乙丙丁四位教师分别任教（1），（2），（3），（4）班.在某一次考试中,要求每个班级都有一位教师监考,且四位教师不能去监考自己所教的班级.则不同的监考方法有 种 答案:第一步:考虑甲,有3种,比如甲去（2）班;第二步:考虑乙,有3种,比如乙去（4）班;第三步:考虑丁,有1种;第四步:考虑丙,有1种;故按照分步乘法原理有9种. 类型十三、环排问题 在圆排列数中： （1）个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理 例13．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种． 故选：B． 变式13-1已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得， 甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列， 其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为， 由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为. 故选：A 变式13-2．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答) 【答案】1440 【解析】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐， 则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5， 所以共有种不同的作法. 故答案为：1440. 变式13-3．．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 压轴专练 一、单选题 1．在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】分“小明单独一人执勤一个场馆”、“小明和另一个人一起执勤一个场馆”两种情况分析计算即可得解. 【详解】分两种情况：第一种情况，小明单独一人执勤一个场馆，共有种； 第二种情况，小明和另一个人一起执勤一个场馆，共有种. 综上，共有24种不同分配方案. 故选：A 2．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. 3．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 4．某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理和组合数的性质求解即可. 【详解】先选女生：从5名女生中选3名，可以选种， 再选男生：从7名男生中选3名，可以选种， 再对女生排列：3名女生在首行3张椅子上排列，有种， 再对男生排列：3名男生在第二行3张椅子上排列，有种， 由分步乘法计数原理得，总方法数为种，故C正确. 故选：C 5．如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得. 【详解】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 6．由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（    ）个. A．432 B．257 C．216 D．504 【答案】D 【分析】将3和4捆绑，由分步计数原理计算可得. 【详解】第一步，排1，5，7三个数，有种不同的排法； 第二步，排2，6，8三个数，有种不同的排法； 第三步，将3和4作为一个整体插入，有种不同的排法， 根据分步乘法计数原理，组成的不同的八位数共有个. 故选：D. 7．现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【答案】D 【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数. 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法， 将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法， 又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有， 所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校， 则不同的分派方法共有种. 故选：D. 8．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（    ） A．195 B．154 C．175 D．185 【答案】C 【分析】解法一：利用正难则反的思想，先假设，若不存在，使得，可得，进而结合组合学知识求解即可； 解法二：利用转化的思想，将问题转化为所取的4个数中至少有2个是连续正整数，进而分类讨论求解即可. 【详解】排列与组合 解法一（正难则反）：存在，，使得表示所取的4个数中总有相邻的数， 直接求解较复杂，考虑正难则反的方法． 假设，若不存在，使得， 则，所以符合条件的取法种数为． 解法二（转化法）：若存在，，使得， 则所取的4个数中至少有2个是连续正整数， 若只有2个是连续正整数，问题转化为把6个相同的白球与4个相同的红球排成一行， 要求只有2个红球相邻，先把6个白球排成一行，再用插空法排红球， 排法种数为． 同理可得若只有3个是连续正整数，排法种数为． 若4个都是连续正整数，排法种数为7． 若4个数中有2个是连续正整数，另外2个也是连续正整数， 但这4个数不是4个连续正整数，则排法种数为． 所以符合条件的取法种数为. 故选：C． 二、多选题 9．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【详解】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D：， 而，所以．故D正确. 故选：ABD 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BD 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况： 若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ）    A．若，不同的染色方法种数为 B．若，不同的染色方法种数为 C．若，不同的染色方法种数为 D．若，不同的染色方法种数为 【答案】BD 【分析】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1 2 3 4 若用三种颜色，则要么号和4号区域同色，要么号和号区域同色， 故有种不同的涂法，所以A错误，B正确. 若用四种颜色，1号区域可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号区域涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号区域有2种不同的涂法，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号区域涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号区域也有3种不同的涂法，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 因此，C错误，D正确. 故选： 三、填空题 12．学校开展班级轮值活动，高二某班有四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为 ．（用数字作答） 【答案】24 【分析】分一个小组去甲地点和两个小组去甲地点求解即可. 【详解】若甲地点去一个小组，从组选一组去甲地点，有种， 再将剩下的3个小组分配到剩下的2个地点，且每个地点至少有1个小组，有种，此时共有种； 若甲地点去两个小组，从组选两个小组去甲地点，有种， 将剩下的2个小组分配到剩下的2个地点有种，此时共有种． 综上，不同的任务分配方法种数为种. 故答案为：24 13．现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有 种. 【答案】60 【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数. 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法， 将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法， 又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有， 所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校， 则不同的分派方法共有种. 故答案为：60. 14．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 【答案】 【分析】利用隔板法求解不定方程的解的组数. 【详解】第一空: 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将100个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将100个名额分成50堆， 每堆至少一个名额，因此，把这100个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有99个空，在这99个空中选49个空，插入49个板子，则把这100个名额分成了50堆，故有组，每一堆的名额数就是的数值，则不定方程的正整数解的组数为组； 第二空: 设， ，，， 不定方程的非负整数解 就是不定方程正整数解， 利用隔板法求解，不定方程的正整数解, 相当于将150个名额分配给50个班级，每班至少一人，也就是将150个名额分成50堆， 每堆至少一个名额.把这150个名额排成一队，除去队前队后的空外， 有149个空，在这149个空中选49个空，插入49个板子，则把这150个名额分成了50堆， 故有组，每一堆的名额数就是的数值， 则不定方程的非负整数解的组数为组. 故答案为：，. 四、解答题 15．（1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1）144；（2）140；（3）378. 【分析】（1）先将2名女生捆绑在一起，然后先排两端，再全排即可； （2）用总的选法减去男生甲与女生乙都没有参加的选法即可； （3）分是否含0讨论即可得解. 【详解】（1）将2名女生排成一排有种排法， 再从4名男生中选2名男生排在两端，有种排法， 最后，将2名女生看成一个元素和剩余2名男生全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，总的排法有种. （2）10名同学中选取4人，共有种选法， 男生甲与女生乙都未参加的选法有种选法， 所以男生甲与女生乙至少有1人参加的选法有种选法. （3）不含0时：可以组成没有重复数字的四位数有个； 含0时：第一步，偶数的取法有种，奇数的取法有种，共种； 第二步，从不为0的3个数字中选择1个排在首位，其余3个数字全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，共有个 所以，一共可以组成个没有重复数字的四位数. 16．有张红色卡牌（分别标有数字、、）和张蓝色卡牌（分别标有数字、、），将这张卡牌排成一行． (1)若要求两张标有数字的卡牌不相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答） (2)若要求红色的卡牌相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答） (3)若要求红色的卡牌不排在最左端，标有数字的卡牌不排在最右端，求不同的排列方法数．（用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将标有、号的蓝色卡牌和红色卡牌进行排序，结合插空法可求得结果； （2）将三张红色卡牌进行捆绑，形成一个大元素，再与其余三张蓝色卡牌进行排序，结合捆绑法可求得结果； （3）记事件红色的卡牌排在最左端，事件标有数字的卡牌排在最右端，结合容斥原理可求得结果. 【详解】（1）先将标有、号的蓝色卡牌和红色卡牌进行排序， 然后再将两张标有号的两张卡牌插入其余四张卡牌所形成的个空位中的个空位， 所以不同的排列方法种数为. （2）将三张红色卡牌进行捆绑，形成一个大元素，再与其余三张蓝色卡牌进行排序， 所以不同的排列方法种数为种. （3）记事件红色的卡牌排在最左端，事件标有数字的卡牌排在最右端， 则，， ， 若要求红色的卡牌不排在最左端，标有数字的卡牌不排在最右端， 所以，不同的排法种数为 . 17．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】(1)210 (2)2100 (3)259200 【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． （2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． 18．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）结合组合数的运算，根据分步乘法原理直接求解即可. （3）根据分组分配问题，结合组合数和排列数求解即可. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后利用隔板法求解即可.方法二：在号盒子里先分别放入个球，然后利用隔板法求解即可. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理得共有种不同放法. （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法. （3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有种； 第三类，每盒2个球，有种. 综上得，共有种不同放法. （4）方法一：在2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球， 然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有种不同放法. 方法二：在号盒子里首先分别放入个球， 然后剩下的3个小球和两个挡板一起排队，5个位置中给挡板选两个位置，共有种不同放法. 19．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【答案】(1)3060 (2)答案见解析 (3)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据组合数的推广公式计算即得； （2）对于①，只需举反例即可排除；对于②，可根据组合数的推广公式推理计算证明； （3）对于①，利用组合数的推广公式化简计算即可证明；对于②，将问题分成，和三种情况，分别计算推理即可证明. 【详解】（1）． （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 证明：当时，有， 当时， ． （3）①因， 而， 所以． ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01排列组合13类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、排列数与组合数的相关证明 类型二、相邻元素捆绑法 类型三、不相邻问题插空法 类型四、特殊元素优先安排法 类型五、平均分组问题 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 类型九、涂色问题 类型十、元素配对问题 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 类型十二、错排问题 类型十三、环排问题 压轴专练 类型一、排列数与组合数的相关证明 （1）（、，且） （2）（、，且） 例1．证明： ． 变式1-1．求证：． 变式1-2．已知，，. （1）求值：，(2)化简：. 变式1-3．组合数性质； 类型二、相邻元素捆绑法 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例2.（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有 种. 变式2-1．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有 A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 变式2-2．某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种 变式2-3．在扬州市举行扬州世界园艺博览会，会场位于扬州市仪征枣林湾.某天三对夫妇来到枣林湾参观，在扬州园博园（主题园，又名中国园）前拍照留念，人排成一排，每对夫妇必须相邻，则不同的排列方法种数为（       ） A． B． C． D． 类型三、不相邻问题插空法 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 变式3-1．琵琶､二胡､编钟､箫、笛､瑟､琴､埙､笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶､二胡､编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的排法有（       ）种. A． B． C． D． 变式3-2．2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 变式3-3．已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 类型四、特殊元素优先安排法 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制 例4．.甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 变式4-1．现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 变式4-2．（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 类型五、平均分组问题 ①分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． ②完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. ③部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) ④完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 例5．将5个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5的5个盒子中，恰好有2个空盒的放法共有（   ） A．1500种 B．1800种 C．2340种 D．2400种 变式5-1某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 A．4680 B．4770 C．5040 D．5200 变式5-2．.某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（    ） A．3180 B．3240 C．3600 D．3660 变式5-3．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有 种分配方法． 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）某学校文艺汇演准备从甲、乙、丙、丁、戊5人中选4人参加演出．要求甲和乙必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足甲在前、乙在后，那么不同的演出顺序种数有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 变式6-1（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）由0到9这10个自然数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“267”）顺序排列的数的个数是 . 变式6-2．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 变式6-3．某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课． （Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？ （Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 例7．现有13个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一班和二班每班至少3个名额，三班和四班每班至少2个名额，五班可以不分配名额，则名额分配方式共有（    ）. A．15种 B．35种 C．70种 D．125种 变式7-1（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（    ） A．10种 B．种 C．种 D．60种 变式7-2．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A． B． C． D． 变式7-3．方程的非负整数解的组的个数为（    ） A． B． C． D． 变式7-4.（2024高二下·江苏南京·期中）一个架子上有8本书，每次至少拿出1本，拿完为止，则一共有几种拿法（       ） A．108 B．120 C．128 D．144 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 有些排列组合问题, 从正面直接考虑比较复杂, 可以尝试反其道而行, 先求出它的反面情况, 再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 例8．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 变式8-1某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 变式8-3．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（    ）种． A．34 B．816 C．216 D．210 类型九、涂色问题 （1） 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法； （2） 根据使用颜色总数分类讨论； （3） 根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论； （4） 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论； （5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 例9．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（    ） A．36 B．48 C．72 D．144 变式9-1如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ） A．480 B．720 C．1080 D．1200 变式9-2．用五种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式9-3．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ）    A．3125 B．1000 C．1040 D．1020 类型十、元素配对问题 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 例10．从5双不同的袜子中取4只，使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数为（    ） A．20 B．30 C．130 D．140 变式10-1小明家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的取法种数为________ 变式10-2．.从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种． 变式10-3．现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 类型十一、球放盒子问题（先分后排） “球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。同一盒子放多个球时“只选不排” 注意分类套路不遗漏 例11．苏超正在如火如荼的举行，现在把招募的5名志原者中分配到3处秩序维护点，每处维护点至少分配一名，则不同的分配方法共有（    ） A．150 种 B．180 种 C．200 种 D．280 种 变式11-1三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有 A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 变式11-2．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球. (1)将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数； (2)从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数； (3)将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数. 变式11-3．（2022·全国·高三专题练习）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法； （2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法； （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法； （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？ 类型十二、错排问题 封不同的信都装错了信封,问都装错信封的方法有多少种（即的错位数是多少）? ，其中 例12．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有 种． 变式12-1五位同学坐在一排,现让五位同学重新坐,至多有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法 有 种. 变式12-2六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）． 变式12-3．已知甲乙丙丁四位教师分别任教（1），（2），（3），（4）班.在某一次考试中,要求每个班级都有一位教师监考,且四位教师不能去监考自己所教的班级.则不同的监考方法有 种 类型十三、环排问题 在圆排列数中： （1）个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理 例13．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（    ）． A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 变式13-1已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（    ） A． B． C． D． 变式13-2．4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法(用数字作答) 变式13-3．．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（   ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 压轴专练 一、单选题 1．在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 2．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 4．某校的音乐学会有7名男生及5名女生．某舞台上放了两行椅子，且每行有3张椅子．从该音乐学会中随机选出3名男生及3名女生在舞台上就座．若选出的女生必须坐在首行：求编排男生和女生在舞台上就座的方法的数目．（　　） A．350 B．720 C．12600 D．25200 5．如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 6．由1，2，3，4，5，6，7，8组成一个没有重复数字的八位数，任何相邻两个数字的奇偶性不同，且满足 3 和 4 相邻，则这样的八位数有（    ）个. A．432 B．257 C．216 D．504 7．现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有（   ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 8．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（    ） A．195 B．154 C．175 D．185 二、多选题 9．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 11．如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ）    A．若，不同的染色方法种数为 B．若，不同的染色方法种数为 C．若，不同的染色方法种数为 D．若，不同的染色方法种数为 三、填空题 12．学校开展班级轮值活动，高二某班有四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为 ．（用数字作答） 13．现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有 种. 14．不定方程的正整数解有 组，非负整数解有 组. 四、解答题 15．（1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 16．有张红色卡牌（分别标有数字、、）和张蓝色卡牌（分别标有数字、、），将这张卡牌排成一行． (1)若要求两张标有数字的卡牌不相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答） (2)若要求红色的卡牌相邻，求不同的排列方法数；（用数字作答） (3)若要求红色的卡牌不排在最左端，标有数字的卡牌不排在最右端，求不同的排列方法数．（用数字作答） 17．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 18．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答） (1)求共有多少种不同放法； (2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法； (3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法； (4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？ 19．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $