专题02 排列与排列数八大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第二册

专题02 排列与排列数 题型一：排列的概念及简单计算 题型二：排列数方程与不等式 题型三：全排列问题 题型四：元素（位置）有限制的排列问题 题型五 ：相邻问题的排列问题 题型六：不相邻问题的排列问题 题型七：数字的排列问题 题型一：排列的概念及简单计算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列数的定义即可得到答案. 【详解】根据排列数的定义得可以表示为. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】排列的意义理解 【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可. 【详解】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列的意义理解、排列数的计算 【分析】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解. 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 4．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列数的定义即可求解. 【详解】根据排列数的定义， 可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是. 故选：B 5．（24-25高二下·福建福州·期末）（多选题）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】排列的意义理解 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 6．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】排列的意义理解 【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断. 【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确； 对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误； 对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确； 对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大取值 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】全排列问题 【分析】根据排列数意义计算即可. 【详解】由题中所给的n个数组成的排序共有， 所以任意两行的顺序都不相同时的最大取值为. 故答案为：. 8．（2025·上海·三模）互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 【答案】48 【难度】0.4 【知识点】全排列问题 【分析】设，由已知得，可得或，从而可求解. 【详解】设， 由，可得， 因为是互不相同的正整数，故是互不相同的整数， 因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个， 可得或， 则对应的也有两组， 故符合条件数有2组，故符合条件的的所有有序实数对是这两个组的数的全排列， 即. 故答案为：. 题型二：排列数方程与不等式 1．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数计算公式，化简求值. 【详解】由题意得， 故选：A. 3．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出即可. 【详解】由，可知，且， 化简得：， 解得或，因，故. 故选：D. 4．已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案. 【详解】由题意得， 化简可得，解得或6， 因为，所以且，故. 故选：A. 5．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】 根据排列数公式计算即可. 【详解】 由， 得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D. 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）（多选题）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可. 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 8．（多选题）满足不等式的的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式化简后解一元二次不等式即可. 【详解】,, , 原不等式可化为，, 解得,, 即或， 故选：BC 9．（24-25高三·上海·课堂例题），则 . 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】根据阶乘的性质即可求解. 【详解】 ， 所以，故， 故答案为：9 10．（24-25高三·上海·随堂练习）已知，则正整数 ． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式，转化为关于的不等式，结合的取值范围，得出的值． 【详解】，则，解得， 又，则，得． 故答案为： 题型三：全排列问题 1．（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、全排列问题 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 2．（25-26高一上·浙江·开学考试）对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】全排列问题 【分析】先确定末尾有4个0，再确定!能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】由!……，5的倍数有5，10，15，20共4个， !中，末尾共有4个0， 故； !中的因数有9， !能被9整除， 各位数字之和也能被9整除， 应为9的倍数，即， ， 故选：A. 3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】全排列问题 【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决. 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题 【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解.. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法； 故选：A. 5．（25-26高二上·全国·课前预习）把n个不同的元素 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为（叫做n的阶乘）．规定： . 【答案】 全部 1 【难度】0.94 【知识点】排列的意义理解 【分析】略 【详解】略 6．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）3名工人各自在4天中选择1天休息，且每天最多只能1个人休息，则共有 种不同的休息方法. 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】排列的意义理解、全排列问题 【分析】依题意可知相当于将三人在4天中进行排序的问题，计算可得结果. 【详解】根据题意可知该问题相当于将三人在4天中进行排序，共有种不同的休息方法. 故答案为：24. 题型四：元素（位置）有限制的排列问题 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】先将2位老师看作一个整体与5名学生全排，有种，2位老师自身排有种，所以2位老师相邻时不同的排法共有种． 故选 ：B． 2．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有种放置方法， 捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有种方法， 再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有种方法， 综上，共有种放置方式. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（    ）. A．3120种 B．3360种 C．5160种 D．5520种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】本题是一个分类和分步原理的综合应用，横向相邻种，在这三种蔬菜的排列就是,排在上排与排在下排又是两种方案，可以选择的方案:分两种情况，当与在同一排时，又分两种情况，根据计数原理得到结果. 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故选：C. 4．（24-25高二下·天津·期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 【答案】 36 108 【难度】0.85 【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、其他排列模型 【分析】利用特殊元素优先选择，即可求解第一空；利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解第二空. 【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； 5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 故答案为：36；108 5．（25-26高三上·云南·期中）甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种. 【答案】72 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据排列的定义，结合分步乘法原理进行求解即可. 【详解】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有种， 则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有种，， 所以5名同学获奖的所有可能情况有种. 故答案为：72 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 【答案】144 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解. 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】由题抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字，讨论的情况、、、依次求出对应满足要求的抽取情况数，结合排列数及古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字， 由甲取三次纸牌即获胜，则不可能为10，不可能为10，且，， 由题意，的情况有、、、， 对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有种，乙在余下的7个数字中选2个数字， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 综上，满足要求的的情况有种， 又的所有情况有种， 所以甲取三次纸牌即获胜的概率为. 故答案为： 8．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先安排甲、乙两位老师，再利用间接法安排剩下的3位老师，最后利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设学校为，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有种， 不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故答案为：. 9．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ． 【答案】192 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故答案为：192. 10．（25-26高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3，四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成 个不同的五位数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先分两大类，第一类为1和2相邻，然后再按1和2的左右顺序分两小类，分别由分步乘法计数得出，第二类为1和2不相邻，然后再按3在不在数字1和2中间分两小类，分别由分步乘法计数得出，最后再由分类加法计数得到答案. 【详解】分两大类进行： 第一类：数字1和2相邻时，再分两小类： ①数字1和2相邻且1在2的左边，这时相当于两个和一个3排序，先排两个只有一种方法如图， 再由这两个产生3个空中选一个空插入3，所以共有种不同的五位数；    ②数字1和2相邻且2在1的左边，这时1，2，3的排法有2种顺序如图，此时产生3个空， 再从这3个空中选一个空插入，所以共有种不同的五位数. 或   第二类：数字1和2不相邻时，再分两小类： ③数字3在数字1和2中间，此时共有两种顺序132和231如图， 再由这3个数产生4个空选一个空插入，所以共有种不同的五位数， 或   ④数字3不在数字1和2中间，那么只能在数字1和2中间，此时共有2种不同的排法如图， 最后3只能排首位或者末位，所以共有种不同的五位数. 或   故一共有种不同的五位数. 故答案为：. 题型五 ：相邻问题的排列问题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】排列问题，捆绑法解决 【详解】先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有种排列方式， 再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有种排列方式， 总数为种 故选：C 2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解 【详解】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】将“a”和“b”看成一个整体，利用捆绑法求解. 【详解】将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，再将“a”和“b”交换顺序， 所以不同的放置方式种数为. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏·阶段练习）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有 种． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故答案为：24. 5．（25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 【答案】144 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有种方法；甲班两人内部有种排法，故共有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故答案为：144 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他4名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 【答案】144 【难度】0.85 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【详解】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 题型六：不相邻问题的排列问题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据题意，先让“雨水”和“谷雨”不相邻，再让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，分别求得不同的放置方式，结合间接法，即可求解. 【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为； 第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为； 所以不同放置方式种数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·四川资阳·期末）某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（   ） A．240种 B．360种 C．480种 D．512种 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】不相邻排列问题 【分析】根据插空法计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案. 【详解】若情景类节目第一个出场，有种，再安排3个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 若歌舞类节目第一个出场，有种，再安排余下的2个歌舞类节目和2个朗诵类节目的演出顺序， 有种，最后再利用插空法安排2个情景类节目，有种， 则共有种演出顺序. 故不同的演出顺序的种数为. 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果. 【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位， 从中选两个安排物理化学，有种排法， 所以星期一上午不同课程安排种数为. 故答案为： 6．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 【答案】144 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 7．（2025高三·全国·专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列是1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数有 种． 【答案】144 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】插空法，先排2，3，5，8四个数，再根据已知条件，分两类情况将剩下的两个1插空即可解答. 【详解】先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当，再考虑排两个1，有两类情况： 第一类：若两个1相邻，依题意应从可选择的3个空当中选一个放入两个1，有3种排法； 第二类：若两个1不相邻，则应从可选择的3个空当中选两个分别放入数字1，有3种排法． 由分步乘法计数原理，不同的密码个数有种， 故答案为：144. 8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 【答案】50 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间三种情况的站法，根据排除法求解即可. 【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有种； 若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有种， 若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间， 则满足题意的站法有种， 所以满足条件的站法种数为种. 故答案为：50 9．（2025高二·全国·专题练习）有2名女生和3名男生共5名学生站成一排照相，则女生甲不在两端、3名男生中有且只有2名相邻的站法有 种. 【答案】48 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理,对“3名男生中有且只有2名相邻”利用捆绑法、插空法即可求解. 【详解】先从3名男生中选择2名捆绑，且他们的位置与顺序相关，共有种可能， 记2名女生为甲和乙，则她们的站法有2种： 若甲在左、乙在右，因为女生甲不在两端，所以男生捆绑后作为两个个体插空，必有一个在甲的左边，因此有种可能； 若甲在右、乙在左，同样也有种可能； 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知，共有种站法. 故答案为：48. 题型七：数字的排列问题 1．（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、全排列问题 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解. 【详解】 先排1，3，5，7，有种排法； 再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有种排法； 最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有种排法. 故相邻数字互质的排法共有（种）． 故选：C. 3．（24-25高二下·吉林·期末）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数字排列问题、其他排列模型 【分析】利用排列计数原理可求得结果. 【详解】用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 5．（24-25高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据题意，选出3个数字，进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，可从1，2，3，4这四个数中，选出3个数字，进行全排列， 可得组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：D. 6．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数字排列问题、排列数的计算 【分析】利用间接法，将首位为的情况去掉即可求解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，共有种选法， 若首位为，从剩下的五个数字中任选个数字，共有种选法， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选： 7．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 【答案】156 【难度】0.65 【知识点】数字排列问题、排列数的计算 【分析】考虑个位数字是否为0，利用分类加法计数原理即可求得答案. 【详解】若个位数字为0，则其余数位上的数字可从其余5个数字里任选3个排列， 此时符合题意的偶数有（个）； 若个位数字为2或4，首位不能为0，则符合题意的偶数有（个）； 故符合题意的四位偶数共有（个）， 故答案为：156. 8．（25-26高三上·广东·开学考试）从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为 ． 【答案】180 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由，知，必须同奇或同偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解. 【详解】由，知，必须同奇或同偶， 若，都为奇数，则有种选法； 若，都为偶数，则有种选法； 由分类加法计数原理知，满足题意的数组共有种. 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数字排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，画出树状图，得到满足条件的取法数，再用排列数表示总的取法数，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】由图所示的树状图可知，满足条件的共有14种，全部取法共有种，    因此所求的概率为. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海·期末）在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2和4时的情况，由古典概率求解可得. 【详解】首先无重复的三位数共有个， 当个位是2时，有； 同理当个位是4时，也有， 所以偶数的概率为. 故答案为： 题型八：综合问题 1．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型 【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解. 【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、， 三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、； 依题意根算筹可以分为，，三种情况： 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 综上可得一共有个三位数. 故选：D 2．（24-25高二下·湖北·期中）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型 【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于的自然数的平方有哪些，再列出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，最后算出这些数的排列数即可. 【详解】小于等于的自然数的平方有：，而 ， 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 由构成的有序数组的个数为：个； 所以一共有：个. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，局部元素相同法求排列数： 在对元素进行排列时，出现部分元素相同时，则要除以相同元素数量的全排列，以消除顺序，有多少就除多少； 思路点睛：解题时先求出可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，再应用排列的相关知识求排列数，最后相加即为最后的答案； 关键点点睛：这道题考查排列及排列数问题，列出三种情况后能否求出其排列数是关键，故应对局部元素相同的排列数的求法加以巩固. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 4．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法. 【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种， 然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题， 则可排成不同音序的种数为. 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】解法1利用捆绑法将糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，根据分步乘法计数原理即可求解； 解法2把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放，利用间接法即可求解. 【详解】解法1：分三步：第一步，将糖、什锦馅的烧饼捆绑，有种不同的方法； 第二步，将糖、什锦馅的烧饼相邻捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，有种不同的方法； 第三步，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，有种不同的方法． 故一共有（种）不同的方法． 故答案为：24. 解法2：把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，有种不同的方法； 糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放有种， 所以所求摆放方法共有（种）． 故答案为：24. 6．（24-25高二下·河南濮阳·期末）将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式，首尾相连拼接成一个圆环，若任意调换积木的顺序，但其中红色和黄色两块积木必须相邻，则可以拼成的不同圆环有 种.（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型 【分析】利用捆绑法可求拼成的不同圆环的种数. 【详解】将红色和黄色两块积木捆绑并放在圆环某一固定位置上，有种排法， 将其余六块依次放入余下六个位置，共有种排法， 故可以拼成的不同圆环有种排法， 故答案为：. 7．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型、计算古典概型问题的概率 【分析】将问题转化为抽取5张，且甲抽取的张数字之和为，乙抽取的两张卡片数字之和不为10，再分类讨论每种情况的种类数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束相当于从6张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为10，乙抽取的两张卡片数字之和不为10， 则总的情况相当于从6张卡片中抽取了5张并进行排列，即共种排法， 其中三张卡片数字之和为10的组合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3种情况， 两张卡片数字之和为10的组合有，一种情况， 当甲抽取的数字为1，3，6；1，4，5时，乙在剩余的3个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为2，3，5时，若乙抽取的两张卡片数字可能为4，6，此时不合题意， 此时共有种， 所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为. 故答案为：. 8．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第号，共种颜色，其中，.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第号颜色（每种颜色至少使用一次，，），则称此方案为一种上色方案.当时，不同的上色方案共有 种. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、其他排列模型 【分析】不妨将块排成一排的地砖从左至右依次记为、、、，分析可知，一定有块地砖同色，列举出同色的情况，结合排列计数原理与分步乘法计数原理可得结果. 【详解】不妨将块排成一排的地砖从左至右依次记为、、、， 用种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有块地砖同色， 同色的情况有、、，共种， 所以，共有种不同的上色方案. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 排列与排列数 题型一：排列的概念及简单计算 题型二：排列数方程与不等式 题型三：全排列问题 题型四：元素（位置）有限制的排列问题 题型五 ：相邻问题的排列问题 题型六：不相邻问题的排列问题 题型七：数字的排列问题 题型一：排列的概念及简单计算 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 4．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建福州·期末）（多选题）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 6．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 7．（24-25高二下·山东临沂·阶段练习）一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大取值 ． 8．（2025·上海·三模）互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 题型二：排列数方程与不等式 1．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 2．（24-25高二下·四川成都·期末）（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 3．（24-25高二下·吉林松原·期中）已知，则（   ） A．5 B．3 C．4或6 D．4 4．已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 5．不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期中）（多选题）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（多选题）满足不等式的的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（24-25高三·上海·课堂例题），则 . 10．（24-25高三·上海·随堂练习）已知，则正整数 ． 题型三：全排列问题 1．（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 2．（25-26高一上·浙江·开学考试）对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 4．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 5．（25-26高二上·全国·课前预习）把n个不同的元素 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为（叫做n的阶乘）．规定： . 6．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）3名工人各自在4天中选择1天休息，且每天最多只能1个人休息，则共有 种不同的休息方法. 题型四：元素（位置）有限制的排列问题 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）2025年10月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周后合影留念，2名指导老师和5名学生排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．5040种 B．1440种 C．720种 D．360种 2．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 3．（2025高三·全国·专题练习）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（    ）. A．3120种 B．3360种 C．5160种 D．5520种 4．（24-25高二下·天津·期中）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3个节目中要有相声节目，有 种排法． 5．（25-26高三上·云南·期中）甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种. 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种. 7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为 ． 8．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是 . 9．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ． 10．（25-26高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3，四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成 个不同的五位数． 题型五 ：相邻问题的排列问题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 3．（24-25高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．（24-25高二下·江苏·阶段练习）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有 种． 5．（25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．（用数字作答） 7．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 题型六：不相邻问题的排列问题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ） A．144 B．240 C．336 D．456 3．（24-25高二下·四川资阳·期末）某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（   ） A．240种 B．360种 C．480种 D．512种 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要安排3个歌舞类节目、2个情景类节目和2个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（   ） A．1560 B．2640 C．1360 D．2340 5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 6．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 7．（2025高三·全国·专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列是1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数有 种． 8．（24-25高二下·四川绵阳·期末）有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ． 9．（2025高二·全国·专题练习）有2名女生和3名男生共5名学生站成一排照相，则女生甲不在两端、3名男生中有且只有2名相邻的站法有 种. 题型七：数字的排列问题 1．（25-26高三上·福建·阶段练习）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 2．（2025高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 3．（24-25高二下·吉林·期末）用、、、可以组成没有重复数字的三位数的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 5．（24-25高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 6．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 7．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5中任取四个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为 8．（25-26高三上·广东·开学考试）从1，2，3，…，19，20中选三个不同的数a，b，c，且满足的数组（a，b，c）的个数为 ． 9．（2025高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为 . 10．（24-25高二下·上海·期末）在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为 ． 题型八：综合问题 1．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 2．（24-25高二下·湖北·期中）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 4．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（    ） A．128 B．64 C．48 D．24 5．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种． 6．（24-25高二下·河南濮阳·期末）将8块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式，首尾相连拼接成一个圆环，若任意调换积木的顺序，但其中红色和黄色两块积木必须相邻，则可以拼成的不同圆环有 种.（用数字作答） 7．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为 . 8．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第号，共种颜色，其中，.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第号颜色（每种颜色至少使用一次，，），则称此方案为一种上色方案.当时，不同的上色方案共有 种. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $