专题02 二项式定理与杨辉三角11类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题02二项式定理与杨辉三角11类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、二项式定理的正用及逆用 类型二、二项展开式的特定项问题 类型三、二项式系数和及其最值的应用 类型四、二项展开式的有理项问题 类型五、二项展开式系数最大（小）问题 类型六、两个多项式积的特定项 类型七、三项式的特定项 类型八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） 类型九、近似计算问题 类型十、余数和整除的问题 类型十一、杨辉三角形问题 压轴专练 类型一、二项式定理的正用及逆用 （1） 正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. （2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律 例1．已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 变式1-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 两边求导数，， 令，得， 取，得. 故选：D. 变式1-2．化简： ． 【答案】 【详解】 ， 故答案为： 变式1-3．（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）． （2）原式 类型二、二项展开式的特定项问题 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同 例2.（24-25高二下·河南驻马店·期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】 【解析】由，所以二项展开式的通项公式，，， 令，可得展开式的第六项为. 故答案为：. 变式2-1．二项式的展开式中存在常数项，则可以为 ．（只需写出一个符合条件的值即可） 【答案】（答案不唯一，为的倍数的正整数均可） 【解析】，， 令，得，因为为整数，为正整数，所以为偶数，为的倍数的正整数. 故答案为：（答案不唯一，为的倍数的正整数均可）. 变式2-2．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 变式2-3．已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是 ． 【答案】49 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解. 【详解】由题设，左边的通项公式为 ， ； 所以，由题设得， 因为，要使得成立，则为奇数， 即为奇数，且恒成立， 则等价为，又是正奇数，故的最大值为49， 故答案为：49 类型三、二项式系数和及其最值的应用 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大 例3．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 变式3-1．（2024·河南周口·高二校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【解析】根据二项式系数的对称关系， 当时，所有二项式系数中，最大； 当时，所有二项式系数中，，且均为最大； 当时，所有二项式系数中，最大； 当时，所有二项式系数中，，且均为最大； 故选:A. 变式3-2．（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】的展开式中二项式系数最大值为， 的展开式通项公式为， 令得，， 故展开式中的系数为，故，解得. 故选：AB 变式3-3．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 类型四、二项展开式的有理项问题 对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解 例4．写出展开式中的一个有理项为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】展开式的通项公式为 （）， 所以展开式中的有理项分别为：时，； 时，；时，； 时，. 故答案为：（四个有理项任写其一均可）. 变式4-1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：C. 变式4-2．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，得，所以展开式中的有理项有项， 把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列， 再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种. 故选：D. 变式4-3．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 类型五、二项展开式系数最大（小）问题 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项 例5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 变式5-1已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 . 【答案】 【解析】二项式的展开式的通项是，则第3项的系数为， 第6项的系数为，则，则；展开式中各项的系数为， 由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小，则系数最小的项为. 故答案为：. 变式5-2．（多选）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】ABC 【详解】依题意，，即，解得，而， 所以. 故选：ABC 变式5-3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 类型六、两个多项式积的特定项 ①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 例6．（2024·全国·高二校联考开学考试）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．60 C． D．80 【答案】C 【解析】展开式的通项为， ∴原式的展开式中含的项为， ∴的系数为． 故选：C． 变式6-1在的展开式中常数项为（    ） A．14 B．－14 C．6 D．－6 【答案】D 【详解】由二项式定理得， 所以所求常数项为． 故选：D． 变式6-2．.展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 变式6-3．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到含的项为，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 类型七、三项式的特定项 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性 例7．的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 变式7-1的展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 【答案】B 【解析】依题意，，而展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为210. 故选：B 变式7-2．.已知的展开式中的常数项为，则 . 【答案】 【分析】写出展开式的常数项，即可得到方程，解得即可. 【详解】二项式的展开式中的常数项为， 则，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 变式7-3．记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以的约数有个，即， 又展开式的项可以看作从个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有，，， 要得到，需从个盒子中取出，个盒子中取出，个盒子中取出， 所以，所以，即. 故选：B 类型八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 例8．（多选）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】在中， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，因此，B正确； 对于C，令，得，则，C正确； 对于D，令，得，则，D错误. 故选：BC 变式8-1若. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【详解】（1）令，则，① （2）令，则，② 令，则， ， ； （3）， 即为含项的系数，为， 则. 变式8-2．.（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】， 令时，解得，故A正确； 令，解得，故，故B正确； 根据二项式的展开式的通项，， 当时，，故C错误； 令，解得，故， 故，D正确； 故选：ABD． 变式8-3．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)－2 (2)1093 (3)2187 【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故； （2）当时，； 由（1）知， 所以； （3）由展开式可知均为负值，均为正值， 结合（1）（2）可知， 故 . 类型九、近似计算问题 在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 例9．的计算结果精确到个位的近似值为 A．106 B．107 C．108 D．109 【答案】B 【解析】 【分析】 由题得，再利用二项式定理求解即可. 【详解】 ∵， ∴. 故选B 变式9-1的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【答案】C 【分析】由二项式定理求解 【详解】. 故选：C 变式9-2．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 【答案】C 【详解】 ， 故， 于是a的小数部分为， 而， 于是a的十分位、百分位和千分位均为9，和为27． 故选：C. 变式9-3．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7． (1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数； (2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)，或，，的系数为5 (2) 【详解】（1）根据题意得，即．① 的展开式中的系数为． 将①变形为代入上式，得的系数为， 故当，或，时，的系数取得最小值且为9； 此时的系数均为； （2） 当，或，时， 类型十、余数和整除的问题 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 例10．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 【答案】5（答案不唯一） 【详解】 ， 其中被6整除， 由能被6整除，可得能被6整除， 则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一 故答案为：5（答案不唯一） 变式10-1若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 变式10-2．设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】对于①，因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，65被7除所得余数也为2，所以．①正确． 对于②，若正整数能被13整除，则能被13整除，所以；若正整数不能被13整除，由费马小定理得，，则．②正确． 对于③，若正整数能被7整除，则能被7整除，所以；若正整数不能被7整除，由费马小定理得，即，又，所以．③正确． 对于④，当不能被5整除时，由费马小定理得，即，又，所以．④错误． 故选：C． 变式10-3．（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 类型十一、杨辉三角形问题 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解 例11．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 【答案】C 【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项， 根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项， 则即第11行的第项， 结合二项展开式的二项式系数的性质，可得. 故选：C. 变式11-1（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 【答案】BC 【详解】对于A：第10行是二项式的展开式的系数， 所以第10行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第8行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第4个数为，第5个数为， 所以第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D：第n行是二项式的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为，故D错误． 故选：BC． 变式11-2．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 变式11-3．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 压轴专练 一、单选题 1．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 2．的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果. 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】四项中不存在， 对于其余部分 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故选：B. 4．设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由，结合二项式定理即可求解. 【详解】 因为能被9整除，所以，所以. 故选：B 5．一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出“0，2，4，5，6，8”这组数据的上四分位数，代入二项式，并写出二项式展开式的通项，分析其有理项,即可得到答案. 【详解】“0，2，4，5，6，8”，这组数据共有6个数，所以， 所以这组数据的上四分位数为第5个数，即6. 二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有4项. 它们分别是： 故选：B. 6．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余式定理，结合已知条件列出关于的方程组，进而求出的值． 【详解】有因式x，， 又被除后的余式为，当，即或时， ，， 被除后的余式为，当时，余式等于的值： 当时，， 当时，， 当时，， ，解得， ． 故选：D 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 8．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 【答案】B 【分析】由二项式定理可得，将利用二项式展开，将利用二项式展开，得到被17除后的余数，从而求得正整数的最小值. 【详解】由于， 所以， 由于， 所以， 所以， 由于， 所以 因为，所以被17除后余数为5，由， 则正整数的最小值5； 故选：B 二、多选题 9．设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 【答案】AB 【分析】利用二项式展开式的通项公式，找到一次项的系数，得出的值判断A选项. 判断B选项： 令，代入，得到的值. 判断C选项： 同样根据二项式展开式通项求，判断正负. 判断D选项： 分别令和，代入展开式，再通过两式相减得到的值. 【详解】设，则，所以， A选项正确； 令，得，B选项正确； 为负数，显然C选项错误； 令，得， 令，得，所以，D选项错误. 故选：AB. 10．设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的m的取值个数为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中函数的定义及性质判断选项A；举反例判断选项B；根据题中函数的定义及性质，结合组合数判断选项C；根据题中函数的定义及性质，结合组合数的性质，利用倒序相加法即可求解判断选项D. 【详解】根据题意，函数表示将正整数转化为二进制后，统计该二进制中1的个数. 选项A，，有2个1， 所以，所以A正确； 选项B，取，由，所以， 此时，所以B错误； 选项C，根据题意当时， 得， 所以集合中的任一元素均可以由唯一表示， 则意味着二进制表示中有位1，从位中选位为1即， 所以使成立的的取值个数为，所以C正确； 选项D，由题意得， 记， 又， 两式相加得， 所以，即， 所以， 而，则， 所以，所以D错误. 故选：AC. 11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．被9除的余数是 . 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 13．已知，则 ；则 ． 【答案】 【分析】第一个空可用赋值法求得； 第二个空关键是将，再通过并项求和得到. 【详解】（1）由， 令，得，令，得，所以． （2）由二项式定理可得，， 所以， 因为 注： ， 所以 ． 故答案为：；. 14．类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1） ；（结果用数字表示） （2）若，（，），则 ． 【答案】 24 【分析】根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出，再根据定义函数的性质，构造一个新的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果. 【详解】由题意知，则时一次项系数，则， 即. 由题意得， 展开得， 可得， 因为，，所以， 故答案为：24；. 四、解答题 15．在的展开式中 (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 【答案】(1)，第5项； (2)不含常数项； (3)，； (4)，. 【分析】根据二项展开式的通项公式写出，（1）令，（2）令，（3）根据二项式系数的性质来求，（4）根据二项式系数和的性质，以及赋值法来求系数和. 【详解】（1）由二项展开式得第项， 令，得， 则，为第5项； （2）令，得，不是整数，则不含常数项； （3）二项式系数最大为， 时，， 时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项； （4）二项式系数和为， 令，则所有项的系数和为. 16．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 【答案】(1) (2)140 (3)582 【分析】（1）写出的通项公式，根据展开式中x的系数得到的值； （2）由（1）知，分，，均大于等于2时，得到展开式中的系数，求出当或时，的系数取得最小值，进而得到的系数； （3）由（1）知，写出的展开式的通项公式，根据二项式系数的增减性得到，利用不等式法得到，求出. 【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式的通项为 ， 根据题意得，即． （2）由（1）知， 当时，，此时展开式中的系数为， 同理当时，，此时展开式中的系数为， 当均大于等于2时，展开式中的系数为 ， 故当或时，的系数取得最小值64， 显然的系数最小时，或， 此时，的系数为． （3）由（1）知，则， 二项式的展开式的通项为， 所以可得，再根据即得， 此时，所以． 17．在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①②③，答案均为 (2)160 (3)400． 【分析】（1）选①，，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选②，令，则，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； 选③，易知，则，写出展开式的通项公式，求出常数项； （2）由（1）知，根据展开式的通项公式求出每一项，比较后得到结论； （3）在（2）基础上，得到含的项和常数项，乘以中相应的项，得到答案. 【详解】（1）若选①，易知，则， 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选②，令，则，则． 此时的展开式的通项公式为， 令得，故常数项为． 若选③，易知，则． 此时的通项公式为， 令得，故常数项为． （2）由（1）知，则展开式的通项为， 由于，，，， ，， 故展开式中系数最大的项为第4项，． （3）因为，所以问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以1，该项为， 再求展开式中常数项乘以，该项为， 所以展开式中含的项为， 所以其系数为400． 18．已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 【答案】(1)或13； (2) (3) 【分析】（1）利用不等式法求系数最大的项即可求出； （2）把所求式提出，对，令，即可求解； （3）利用倒序相加以及二项式系数和的性质即可求解. 【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：， 又在中，唯一的最大的数是，由于， 所以，即，解得，即， 又，所以或； （2）， 原式； （3）①， ②， 在①、②添加，则得 ③， ④， ③+④得：， . 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二项式定理与杨辉三角11类题型归纳（压轴题专项训练） 目录 类型一、二项式定理的正用及逆用 类型二、二项展开式的特定项问题 类型三、二项式系数和及其最值的应用 类型四、二项展开式的有理项问题 类型五、二项展开式系数最大（小）问题 类型六、两个多项式积的特定项 类型七、三项式的特定项 类型八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） 类型九、近似计算问题 类型十、余数和整除的问题 类型十一、杨辉三角形问题 压轴专练 类型一、二项式定理的正用及逆用 （1） 正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. （2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律 例1．已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（    ） A． B． C． D． 变式1-2．化简： ． 变式1-3．（1）求的展开式； （2）化简：． 类型二、二项展开式的特定项问题 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同 例2.（24-25高二下·河南驻马店·期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ． 变式2-1．二项式的展开式中存在常数项，则可以为 ．（只需写出一个符合条件的值即可） 变式2-2．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-3．已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是 ． 类型三、二项式系数和及其最值的应用 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大 例3．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（   ） A． B．90 C．40 D． 变式3-1．（2024·河南周口·高二校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 变式3-2．（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 类型四、二项展开式的有理项问题 对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解 例4．写出展开式中的一个有理项为 . 变式4-1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式4-3．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 类型五、二项展开式系数最大（小）问题 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项 例5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-1已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为 . 变式5-2．（多选）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式5-3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 类型六、两个多项式积的特定项 ①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得. 例6．（2024·全国·高二校联考开学考试）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．60 C． D．80 变式6-1在的展开式中常数项为（    ） A．14 B．－14 C．6 D．－6 变式6-2．.展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 类型七、三项式的特定项 应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性 例7．的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 变式7-1的展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 变式7-2．.已知的展开式中的常数项为，则 . 变式7-3．记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（    ） A． B． C． D． 类型八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和（赋值法） （1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可. （2）若,则展开式中各项系数之和为 （3）若,则奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 例8．（多选）若，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 变式8-1若. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 变式8-2．.（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 类型九、近似计算问题 在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度 例9．的计算结果精确到个位的近似值为 A．106 B．107 C．108 D．109 变式9-1.的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 变式9-2．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 变式9-3．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7． (1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数； (2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01） 类型十、余数和整除的问题 使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整 例10．设，且能被6整除，则的值可以为 .(写出一个满足条件的的值即可) 变式10-1若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 变式10-2．设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 变式10-3．（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 类型十一、杨辉三角形问题 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解 例11．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（    ）    A．252 B．426 C．462 D．924 变式11-1（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（    ）． 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第n行 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 第n行 A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为 变式11-2．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 变式11-3．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 压轴专练 一、单选题 1．展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 2．的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 4．设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 5．一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 6．设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 8．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 二、多选题 9．设，则（    ） A． B． C．中最大的是 D． 10．设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的m的取值个数为 D． 11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 三、填空题 12．被9除的余数是 . 13．已知，则 ；则 ． 14．类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1） ；（结果用数字表示） （2）若，（，），则 ． 四、解答题 15．在的展开式中 (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 16．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 17．在的展开式中，______．给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各项系数之和为729；③第3项的二项式系数为15．试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求展开式中的系数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知函数． (1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值； (2)化简； (3)当时，定义：，化简：． 19．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $