专题04 二项式定理与杨辉三角十一大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第二册

专题04 二项式定理与杨辉三角 题型一：求二项展开式 题型二：求含有参数的二项展开式 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 题型六：整除与余数问题 题型七：近似计算问题 题型八：杨辉三角 题型九：证明组合恒等式 题型十：二项式定理与数列求和 题型十一：排列组合综合 题型一：求二项展开式 1．（24-25高二·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·浙江杭州·期中）展开式中，的系数为（    ） A．20 B． C．160 D． 4．二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 5．展开式中的常数项为 A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在 6．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 7．（2025·云南楚雄·模拟预测）展开式中的常数项为（    ） A．120 B．240 C．280 D．480 8．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 9．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 10．（24-25高三上·浙江·开学考试）的展开式中，常数项为 ． 题型二：求含有参数的二项展开式 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为15，则的系数为（   ） A．420 B．640 C．720 D．960 3．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为5，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25高二下·河北·期末）已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025高三·全国·专题练习）若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是 ． 7．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为 (用数字作答)． 8．（24-25高二下·北京延庆·期末）在的二项展开式中，常数项为，则的值为 . 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 . 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 2．（2025·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）展开式中的系数为（    ） A． B．24 C． D．16 5．（25-26高三上·湖北·阶段练习）的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）展开式中，的系数为 . 8．（2025·广东深圳·二模）的展开式中的系数为 ． 9．（25-26高三上·广东·开学考试）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 10．（2025高三·全国·专题练习）在展开式中，的系数为 ． 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 2．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 4．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 5．（24-25高二下·河南开封·阶段练习）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 7．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 8．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 1．（24-25高一下·广东广州·期中）（多选题）已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 3．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 6．（24-25高二下·天津南开·期中）的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为 . 题型六：整除与余数问题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 4．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 5．（24-25高二下·湖北恩施·期末）除以7的余数是 . 6．（24-25高二下·江苏连云港·期中）被9除所得的余数是 . 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 8．除以9的余数是 ． 题型七：近似计算问题 1．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 3．实数精确到的近似值为 . 4．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是 万元.（结果精确到1万元） 题型八：杨辉三角 1．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 2．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 4．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 5．（24-25高二下·重庆·期末）（多选题）将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（    ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 6．（24-25高二下·广东广州·期末）（多选题）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 7．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11阶杨辉三角. 11阶杨辉三角 （1）第20行中从左到右的第4个数为 ； （2）若第行中从左到右第7个数与第9个数的比为，则的值为 . 8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.      杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知： . 题型九：证明组合恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 2．（2024高三·全国·专题练习）求证： 3．已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 4．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知数列满足，，数列满足， (1)求、、的值，并证明数列是等比数列； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 5．（2024高二下·全国·专题练习）（l）当，时，证明：． （2）当，时，证明：． 题型十：二项式定理与数列求和 1．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，则 ； ． 3．（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 题型十一：排列组合综合 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（    ） A．180种 B．210种 C．240种 D．360种 3．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（    ） A．162种 B．150种 C．120种 D．114种 4．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（    ） A． B． C． D． 5．某班级计划安排学号为1～9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有 种．(用数字作答) 6．有3本不同的数学书和4本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率为 .（结果用数值表示） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二项式定理与杨辉三角 题型一：求二项展开式 题型二：求含有参数的二项展开式 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 题型六：整除与余数问题 题型七：近似计算问题 题型八：杨辉三角 题型九：证明组合恒等式 题型十：二项式定理与数列求和 题型十一：排列组合综合 题型一：求二项展开式 1．（24-25高二·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 2．二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式 【分析】由二项式定理求解. 【详解】二项式， . 故选：B 3．（24-25高三上·浙江杭州·期中）展开式中，的系数为（    ） A．20 B． C．160 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】求出展开式的通项，令的指数位置等于即可求解. 【详解】展开式通项为， 令可得， 所以的系数为， 故选：D. 4．二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可. 【详解】依题意，的展开式的通项为，， 令，得，即是二项式的展开式的常数项， 所以展开式中的常数项是第5项. 故选：C 5．展开式中的常数项为 A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项 【分析】根据题意，写出展开式中的通项为，令的指数为0，可得的值，由项数与的关系，可得答案． 【详解】解：根据题意，展开式中的通项为， 令，可得；则其常数项为第项； 故选． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与的关系,属于基础题． 6．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A．210 B． C．10 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果. 【详解】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D 7．（2025·云南楚雄·模拟预测）展开式中的常数项为（    ） A．120 B．240 C．280 D．480 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理求出通项即可求得答案. 【详解】展开式的通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 故选：B 8．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 9．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 10．（24-25高三上·浙江·开学考试）的展开式中，常数项为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项 【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解. 【详解】由展开式中的通项公式为：， 令，则， 故展开式中的常数项为：， 故答案为：3. 题型二：求含有参数的二项展开式 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）的展开式中常数项是，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项式定理的有关知识点列式求解. 【详解】因为的展开式中常数项是：， 由. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为15，则的系数为（   ） A．420 B．640 C．720 D．960 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】由二项式定理的通项得，令即可求，令即可求解. 【详解】由展开式的通项公式为， 令得，则的系数，所以， 令可得，则项的系数为． 故选：D. 3．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二项式的系数和 【分析】令，可得，解出m的值即可. 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）在的展开式中，的系数为5，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意，可知通项为，令，可解问题. 【详解】因为的通项为， 令，解得，则， 解方程得：． 故选：B． 5．（24-25高二下·河北·期末）已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用二项展开式的通项公式，结合条件，列方程求解. 【详解】设的展开式中，通项为，， 由，所以. 由. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】求出二项式的通项，求出，解方程求解即可. 【详解】， 令，得，则． 令，得，则． 由，即，因为，解得． 故答案为：2. 7．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为 (用数字作答)． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的二项式系数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，可求得，再用赋值法，令即可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式中第2项的系数为，第2项的二项式系数为， 所以，解得． 令，二项式展开式中的所有项的系数之和为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·北京延庆·期末）在的二项展开式中，常数项为，则的值为 . 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为，即得解. 【详解】由题得， 令. 所以常数项为. 故答案为：1. 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）若的展开式中的系数为231，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解. 【详解】的展开式的通项，. 令，解得，则，解得. 故答案为：2. 题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可． 【详解】根据题意， 展开式中项为， 所以展开式中的系数为． 故选：A． 2．（2025·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）展开式中的系数为（   ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）展开式中的系数为（    ） A． B．24 C． D．16 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 故展开式中的系数为. 故选：D 5．（25-26高三上·湖北·阶段练习）的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 7．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）展开式中，的系数为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】分不含项和含一个项两种情况，直接根据组合数的知识进行求解即可. 【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 8．（2025·广东深圳·二模）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由乘法原理求出展开式中的项即可得解. 【详解】由题可得展开式中的项为， 故展开式中的系数为. 故答案为： 9．（25-26高三上·广东·开学考试）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】应用二项式定理求展开式通项，根据乘积形式写出含项，即可得. 【详解】对于，展开式通项为，， 所以含项为， 所以该项对应系数为. 故答案为： 10．（2025高三·全国·专题练习）在展开式中，的系数为 ． 【答案】180 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解. 【详解】，若满足题意可知其展开式为， 其的展开式中通项，令可得， 所以系数得180， 故答案为：180． 题型四：求二项式系数与项的系数的最值 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 2．（2025·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【详解】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 4．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为： 因为展开式中第9项是常数项，故，解得， 故第项的系数绝对值为. 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有 由①可得：，即，解得； 由②可得：，即，解得. 即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 5．（24-25高二下·河南开封·阶段练习）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 7．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质得到，设展开式中系数最大项是，利用展开式的通项公式得到，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 8．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 1．（24-25高一下·广东广州·期中）（多选题）已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】由二项式系数和的性质可判断A；由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等可判断B；由二项式系数最大值可判断C；由展开式通项公式可判断D. 【详解】由的展开式中二项式系数之和为1024，可得，故A正确； 由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，可得展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 易知是最大的二项式系数，所以二项式系数最大项为第6项，故C错误； 由，故D正确； 故选：AD. 2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 3．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】先根据二项式系数和求出，求出展开式通项，令得，代入通项即可求出常数项. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为. 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 【答案】681 【难度】0.65 【知识点】根据二项式的第k项求值、二项式的系数和 【分析】根据二项式定理写出的展开式的通项，求得常数项，从而得到a的值；根据所有奇数项的二项式系数之和为256求得n的值，即可得到的值. 【详解】的展开式的通项是. 的展开式中所有项的二项式系数之和为， 所以所有奇数项的二项式系数之和为. 由题可知：，解得：. 当时，.所以常数项为：，即. 所以. 故答案为：681. 6．（24-25高二下·天津南开·期中）的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数. 【详解】因为的展开式中，各二项式系数和为，所以. 再令，可得各项系数和为，解得， 则展开式中的通项公式为， 令，可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 题型六：整除与余数问题 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】应用二项式展开式计算得出余数即可. 【详解】， 又， 所以， 所以除以8的余数为3. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】由，，结合二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 4．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二下·湖北恩施·期末）除以7的余数是 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】先把化为，再利用二项式定理展开，即可得解. 【详解】因为， 所以除以7的余数为1. 故答案为：1. 6．（24-25高二下·江苏连云港·期中）被9除所得的余数是 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】由，然后根据二项式定理结合条件即得. 【详解】因为 又能被9整除， 所以被9除所得的余数为2， 故答案为：2. 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】由二项式定可得，即可得出结论. 【详解】 ， 因为都能被26整除， 所以除以26所得余数为1. 故答案为：1 8．除以9的余数是 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据组合数性质得原式等于，再将其变形为，最后利用二项展开式即可得到答案. 【详解】 所以余数是8． 故答案为：8. 题型七：近似计算问题 1．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 3．（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 4．实数精确到的近似值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 5．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是 万元.（结果精确到1万元） 【答案】147 【难度】0.65 【知识点】近似计算问题、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可， 【详解】由题意可知， (万元)，即2026年的利润大约是147万元. 故答案为：147 题型八：杨辉三角 1．（25-26高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（   ） A． B．第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C．在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记杨辉三角中第行的第个数为，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算、二项式的系数和 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ， A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 而， 又展开式中项的系数为， 因此，C正确； 对于D，因为，所以，D不正确. 故选：D 2．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算 【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A．124 B．185 C．220 D．330 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】由题意可知问题转化为 根据组合数性质计算即可. 【详解】根据题意可知：这些数分别为 ， 则由 逐步应用得： ， 所以这些数和为 330. 故选：D. 4．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断. 【详解】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为 ，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二下·重庆·期末）（多选题）将（，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（    ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第（，2，…）行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆多一个 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC,由杨辉三角的性质即可求解D. 【详解】第n行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B错误； 通过观察规律归纳可知：第的全行都是奇数，因此可以归纳出第（，2，…）行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由D可知第127行全行为奇数，则由奇数偶数奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D正确； 故选：ACD． 6．（24-25高二下·广东广州·期末）（多选题）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 7．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11阶杨辉三角. 11阶杨辉三角 （1）第20行中从左到右的第4个数为 ； （2）若第行中从左到右第7个数与第9个数的比为，则的值为 . 【答案】 1140 15 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角 【分析】（1）根据杨辉三角数字规律可得第20行中从左到右的第4个数为， （2）列出等式可得，解得. 【详解】（1）易知第行的数从左到右分别为， 所以第20行中从左到右的第4个数为， （2）由，得，解得或（舍去）， 即的值为15. 故答案为：（1）1140；（2）15 8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.      杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为.请写出一条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知： . 【答案】 （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】利用杨辉三角的数的规律可得结论. 【详解】杨辉三角有很多有趣的性质，如， 故：. 故答案为：（答案不唯一）；. 题型九：证明组合恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、证明组合恒等式、二项式的系数和 【分析】将右侧式子倒序相加，结合组合数的性质及二项式系数和，即可证. 【详解】设①， 把①式倒序排列得， 由，得②， ①②得， 所以，得证. 2．（2024高三·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明组合恒等式、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 3．已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、证明组合恒等式、二项式定理与数列求和 【分析】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知数列满足，，数列满足， (1)求、、的值，并证明数列是等比数列； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【答案】(1)，，，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）根据递推公式可求出、、的值，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）化简得出，利用裂项相消法可证得结论成立； （3）利用二项式定理化简得出，再利用分组求和法可求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列满足，， 则，，，， 又因为，所以，，， 所以，且， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以 ， 因此， . （3）当时，， 此时， 显然， 所以， ， 所以，显然，， 所以， 所以，， 又因为也满足， 故对任意的，， 所以，数列的前项和为 . 5．（2024高二下·全国·专题练习）（l）当，时，证明：． （2）当，时，证明：． 【答案】（l）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和 【分析】根据题意，利用二项式定理的展开式，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】（1）由二项式定理可得， 若，则有 ， 所以成立． （2）由二项式定理得， 若，则有， 则， 所以成立． 题型十：二项式定理与数列求和 1．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、求指定项的系数、二项式定理与数列求和 【分析】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【详解】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可. 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知，则 ； ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项式定理与数列求和 【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案. 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 3．（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、证明组合恒等式 【分析】（1）利用组合数公式可证得结论成立； （2）推导出，利用二项式定理可化简所求代数式； （3）由已知可得出，计算得出，利用二项式定理化简函数的解析式，即可证得结论成立. 【详解】证明：（1）因为、，， 由组合数公式可得，故结论成立； 解：（2）因为、，， 则， 则 ； （3）因为等差数列的首项为，公差为，则， 则 ， 所以， 总是关于的一次函数. 题型十一：排列组合综合 1．（24-25高二上·辽宁大连·期末）现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合、二项式的系数和 【分析】分老师带一位女同学和两位同学两种情况分别求满足要求的方法，由条件列方程求. 【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为， 若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为， 所以符合要求的参与活动的方法， 由已知， 所以， 所以. 故选：D. 2．（2024·浙江嘉兴·二模）6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（    ） A．180种 B．210种 C．240种 D．360种 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、排列组合综合、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可. 【详解】若A有2人游玩，则有种； 若A有4人游玩，则有种； 所以共有240种， 故选：C. 3．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（    ） A．162种 B．150种 C．120种 D．114种 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答. 【详解】将5人分成三组的分法有种，其中甲乙同组的分法有种， 因此符合要求的分组有种，再把所分组安排工作，共有种， 所以不同的安排方案有114种． 故选：D 4．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率 【分析】先求出6册书本中卡片的可能情况，再讨论可以获奖的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】这6册书本中卡片总共有种可能情况， 其中可以获奖的情况分为两类， 第一类是有3册书的卡片相同的获奖情况有种； 第二类是有2册书的卡片相同的获奖情况有种； 所以小明获奖的概率是， 故选：B 5．某班级计划安排学号为1～9的九名同学中的某5位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有 种．(用数字作答) 【答案】720 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】分为学号为偶数的同学有3位和4位两类进行分类即可得结果. 【详解】第一类：当学号为偶数的同学有3位时，有； 第二类：当学号为偶数的同学有4位时，有； 所以不同的安排方法有种， 故答案为：720. 6．有3本不同的数学书和4本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率为 .（结果用数值表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率 【分析】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数，再计算数学书甲不排在左边第一个且英语书排在左边第二个的情况数，即可得数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的方法数，即可计算所求概率. 【详解】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数为，数学书甲不排在左边第一个且英语书排在左边第二个的情况数为， 则数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个有种方法， 所以数学书甲不排在左边第一个并且英语书不排在左边第二个的概率. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $