广东省部分重点中学2025-2026学年高三上学期10月标准学术能力诊断性测试数学试卷

标准学术能力诊断性测试2025年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 5. 已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 7. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9. 如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（ ） A. 直线AB B. 直线BC C. 直线CD D. 直线DA 10. 已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（ ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 11. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________ 13. 掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 14. 一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究生活习惯 M 与患有疾病N的关系，某疾控中心随机调查了其他条件都基本相同的340人，调查数据如表所示． 无习惯M者 有习惯M者 合计 没患疾病N者 120 160 280 患有疾病N者 15 45 60 合计 135 205 340 （1）根据小概率值的独立性检验，判断患有疾病N与有生活习惯M是否有关？ （2）常用表示在事件A发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是有习惯M者”，B表示“选到的人患有疾病N者”，请利用样本数据，估计的值． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，． （1）证明：数列为等差数列； （2）数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值． 17. 如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． （1）证明：平面PAB； （2）若，平面平面ABCD，求二面角的大小（用反三角函数表示）． 18. 已知抛物线的焦点为F，点在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 19. 已知． （1）当时，证明：对于任意，均有； （2）①若是R上的增函数，证明：； ②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且． 标准学术能力诊断性测试2025年10月测试 数学试卷 本试卷共150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）认为患有疾病N与有生活习惯M有关； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为当时，，， 所以， 可得当时，， 因为， 所以当时，等式两边同除可得， 数列是公差为的等差数列． （2） 【17题答案】 【答案】（1）设AD中点为Q，连接, 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB，平面PAB， 平面NQM，平面NQM，且， 所以平面平面PAB， 因为平面，所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①1 ；②或 【19题答案】 【答案】（1）当时，，定义域为. 所以. 当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 进而对任意，均有． （2）①由，得. 因为是R上的增函数，所以在R上恒成立. 设，则. 若，则恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. 所以在上递减，在上递增.不合题意. 若.令，则. 当时，. 设，则，所以在上递减， 存在，与是R上增函数矛盾； 当时，则，设，则. 所以在上递增，，与是R上增函数矛盾； 当时，由（1）知，所以满足要求， 综上所述，． ②由，得. 设，由①知： 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在恒成立，即方程在上无解. 由（1）知恒成立. 设，则，即. 所以， 因为，所以，， 所以方程在区间上存在唯一解，记为. 因为在上递增，所以方程在上存在唯一解. 综上所述，方程在上存在唯一解，且当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上存在唯一极值点. 因为，且在上递减，所以在恒成立， 所以函数在上无零点，且. 由，得. ，设， 则， 所以是增函数，因为，所以， 又，所以在上存在零点， 因为在上递增，所以函数在有唯一的零点． 综上所述，函数在有唯一的零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $