第1章直角三角形的边角关系同步练习题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版(2012)九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1.在△ABC中，∠C=90°，给出下列式子，①a=tanA;②b=csinB;③ b=ccosA;④a=btanA;⑤c=btanB,其中能成立的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 c.不变 D.无法确定 3.如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB,O为AB的中点，它的支撑柱OH垂直于地 面，垂足为点H,当AB一端A着地时，∠BAH=心，则支撑柱OH的长可表示为() B A A.120.sinacm B.120.tanacm C.cm D.品8cm 4.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D为AC边的中点，E为BC边上任意一点.若 AC=4,CE=DE,则CE的长为() A D A 8.29 c D.5 5.如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，连接BE,DE,且BE=DE ,若AB=5,tan∠BAC=2,则四边形ABCD的面积为() B A.10 B.20 C.30 D.40 6.如图所示，有一架静止的秋千0A,将秋千向前推1米（BE=1米)到达0B的位置时， 秋千与竖直方向的夹角∠AOB=《,若绳索始终拉直，则秋千OA的长度是() 0 4 A.sina B.cosa C.品 D.sina 7.如图，在反比例函数y=一是图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B, 在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当A点运动时，点C始终在函数y=会的图象上运 动，若tan∠CAB=2,则k的值为() A.2y5 B.4 c.45 D.8 二、填空题 8.△ABC是以AB为腰的等腰三角形，AB=2V3,∠A=30°，则△ABC的面积为 9.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 COS∠BAC的值是 B 10.如图，ABCD,CH⊥AB,AB=160m,CD=40m,∠CAB=30°， ∠DBA=60°，则CH的长为m(结果保留根号) 11.己知公式cos(a+B)=cosacosB-sinasinB,那么cos75·= 12.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，连接AE,BN⊥AE,垂足为M, 交CD于点N,若tan∠BAE=专，MN=3,则线段AB的长为 13.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB上，AD=0.6m,D、E F三点共线，DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°， 则DF落在地面上的投影GH= m 60°2 G HC 图(1) 图(2) 14.如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向 的隧道AB,无人机从A处的正上方C处，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达D处，此 时测得A处的俯角为60·，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达E处，此时测得B处 的俯角为37。.由以上测量数据，计算得隧道AB的长度为_m.(结果精确到1m;参 考数据：sin37≈0.60，cos37°≈0.80， V5≈1.73) C60D 379E 西 东 三、解答题 15.计算： (1)6tan230。-V5sin60°-2sin45; (2)2sin60 2 十an45-tan60 V(sin45°-1)2 3)先化简，再求代数式（寻-）÷哥的值，其中a=2sin45°-tan45°. 16.某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古 塔，图②中的线段BC是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图.己知BC=1米， ∠MBC=37·,从水平地面点D处看点C,仰角∠ADC=45°，继续向前行走，从点E 处看点B,仰角∠AEB=53°，且点D到点E走了2.2米.求匾额悬挂的高度AB.(参考 数据：sin37·≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) ① ② 17.某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长 3米，AD长1米，点D距地面为0.3米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB、CD分 别绕点A、D转动，且边BC始终与边AD平行. E 图1 图2 (1)如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.3米，求 点P到MN的距离PF的长 (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米.当道闸打开至∠ADC=35°时，轿车 能否驶入小区？请说明理由.（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35·≈0.8192， tan35°≈0.7002) 18.如图，要测量某小区居民楼下一棵大树AB的高度，已知居民楼CD的高度为30m,在 居民楼CD的顶端C处测得大树的顶端A的俯角为22·，某一时刻在太阳光的照射下，大树 AB顶端A的影子落在地面上的点E处，居民楼CD顶端C的影子落在地面上的点F处，测得 DE=10m,DF=33m,己知大树和居民楼均垂直于地面，且点B、D、E、F在同一条 直线上，求大树的高度AB (结果精确到0.1m,参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 22 中 E D 19.为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活 动实施方案》.甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼.如图，他们从点A出发，目 的地在点A的东北方向1500m处点C,点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方 向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西15°方向.（参考数据： V2≈1.41,3≈1.73，V6≈2.45) 北 iC. 西 →东 B609 南 A 45 D (1)求AB的长度（结果保留根号）： (2)甲乙两人同时从点A出发跑步前往点C,甲选择路线A一B一C,乙选择路线A一D一C, 已知甲的速度为每分钟150m,乙的速度为每分钟200m,请通过计算说明甲和乙谁先到达 点C. 20.矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F. (1)如图1，求证：△ABE∽△ECF B E 图1 (2)如图2，当AE=EF,连接AF,tan∠BAE=星，则tan∠DAF= D A E 图2 3)如图3，在(2)的条件下，过点E的直线HQ交AB和AD延长线于点H、Q,若 AH+GQ=495,c0s2Q=25,求AF的长. DG0 B E 图3 参考答案 1.解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据锐角三角函数的定义： 正切：tanA=号，tanB=台； 正弦：sinB=是： 余弦：cOsA=名， 对式子逐一分析： 因为tanA=可得a=btanA,并非a=ctana,所以①不成立； 因为sinB=,等式两边同乘c,可得b=csinB,所以②成立； 因为cosA=名，等式两边同乘c,得到b=ccosA,所以③成立； 因为tanA=帚，等式两边同乘b,有a=btanA,所以④成立； 因为tanB=号可得b=atanB,不是c=btanB,所以⑤不成立. 综上，②③④成立，能成立的个数有3个. 故选：B. 2.解：：∠C=90°， .cosA :△ABC的三边都放大2倍， ·∠A的邻边与斜边的比不变， cosA的值不变， 故选：C. 3.解：：0为AB的中点，AB=240cm, :0A=专AB=120cm 在Rt△AOH中，∠BAH=, :OH =0A.sina 120.sinacm, 故选：A. 4.解：如图，过点E作EF⊥CD于点F, D .∠CFE=90°， :CE=DE :.CF=DF=CD, AC=4,D为AC边的中点， .CD=2, :CF=DF=1, 又：∠C=30°， 在Rt△CFB中，c0s∠C=器=cos30·=走=号 CE=5. 故选：B 5.解：连接BD交AC于O, B :四边形ABCD是平行四边形， :.BO=0D :OE=0E,BE=DE .△BOE≌△DOE(SSS), .∠BEO=∠DE0O, BE=DE,AE=AE, .△BAE≌△DAE(SAS), ∴AB=AD, 四边形ABCD是菱形， BD⊥AC,AC=2OABD=2OB, 在Rt△AB0中，tam∠BAC=2=8器， .0B=20A, 0A2+0B2=AB2,AB=5, ∴0A2+(20A)2=52, 解得0A=V5 (负值舍去)， AC=20A=25,BD=20B=40A=4V5, :四边形ABCD的面积为AC·BD=专×25×4V5=20, 故选：B. 6.解：在Rt△OBE中，BE=1,∠AOB=C, 0B=盟=品（米）， 由题意，得OA=OB=品a米， 秋千OA的长度是品a米. 故选：A. 7.解：如图，作AD⊥x轴于点D,作CE⊥x轴于点E,连接OC, 则有∠AD0=∠0EC=90°， .∠A0D十∠0AD=90°， 由题意得，点AB关于原点对称， .A0=B0, AC=BC .OC⊥AB, .∠A0C=90。, .∠A0D+∠C0E=90o, ∠C0E=∠0AD, .△C0E△OAD, :器==%， :在Rt△A0C中，tan∠CA0=%=2, :器=器=2， .CE=20D,0E=2AD, :点A在反比例函数y=一是图象上，点C始终在函数y=奈的图象上运动， AD·OD=2,CE.OE=|k|, |k|=CE·0E=20D·2AD=8, k=±8， 点C在第一象限， k=8. 故选：D. 8.解：：△ABC是以AB为腰的等腰三角形，AB=2W3,∠A=30°，分两种情况： 情况1：AB=AC,则AB=AC=2N3,过C作CD⊥AB于D, A D-------- B 在Rt△ACD中，CD=AC.sin30°=2W5×=V5, SA4Bc=专×AB×CD=克×2V5×V5=3. 情况2：AB=BC,则AB=BC=25, .∠A=∠ACB=30°， 过B作BE⊥AC于E,