1.6利用三角函数测高 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，小丽从点A出发，沿坡度的坡向上走了110米到点B，则她升高（   ）米． A． B． C． D． 2．某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（   ）米. A． B． C． D． 3．如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下的影子正好与建筑物一样高，当光线与地面的夹角是时，教学楼顶A在地面上的影子E到墙角C的距离，到墙角B的距离，（点B，E，C在同一条直线上），则建筑物的高度为（  ） A． B． C． D． 5．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为（    ）m A．42 B． C．78 D． 6．海南环岛旅游公路被定位为“国家海岸一号风景道”，位于环海南岛沿海，主线规划总里程约1000公里，其中儋州市的海岸线长度约为300公里，风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．风电塔筒的高度为（　　） （参考数据：，，．） A． B． C． D． 7．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆，小杰从篮球场的点处观察到旗杆顶端的仰角是，往前走50米到点处，再沿着坡度为的阶梯走到足球场的点，米，测得之间的水平距离米，则旗杆的高度为　　米（参考数据：，， A．37.8米 B．42.8米 C．52.8米 D．56.5 米 二、填空题（满分24分） 9．合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为 米．（结果保留根号） 10．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，，则旗杆的高度为 ． 11．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 12．如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，河对岸处的小明测得此时仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，若，则河流的宽度约为 ．（参考数据：） 13．为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图1是生活中某一地下车库，出口为斜坡，图2是其侧面示意图．为斜坡，坡角为，车牌识别设备的摄像头在立柱的点D处，可识别的最大范围与立柱的夹角为，立柱的高度为，且立柱垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：） 14．如图，利用无人机测量雕像的高度，在点处测得雕像底部点的俯角为，水平前行9米到达点，在点处测得雕像顶部点和底部点的俯角分别为和，若点、与雕像均在同一平面内，则雕像的高约为 米．（参考数据：，） 15．中国力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．内蒙古自治区风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是某校数学兴趣小组开展了实践活动，利用无人机测量风电塔筒的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得风电塔筒顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得风电塔筒底端的俯角为，则风电塔筒的高度约为 ．（结果精确到1m，参考数据：，） 16．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，） 三、解答题（满分72分） 17．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是 米．（参考数据：，，，） 18．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 19．徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，） 20．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 21．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛P看作业本A的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．      (1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求． (2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点E处，求作业本移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 22．如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 23．【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，． 【拓展应用】 如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出建筑物的高度． 参考数据：，，． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． 利用正弦函数进行求解即可． 【详解】解：根据正弦函数得，升高的高度为， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 过点作于点，易得四边形是矩形，则，，在中，由正切的定义可得，在中，由正切的定义可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 由题意得：，， 四边形是矩形， ，， 在中， ， 在中， ， ， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形，过B作于E，过C作于F，根据正切的定义分别求出，，即可求解． 【详解】解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，． ∴， ∵斜坡的坡角的正切值为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是正确解答此题的关键． 过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 8．D 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，延长交于，过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：延长交于，过点作于． ， 四边形是矩形， ，（米， 在中，，米，， （米，（米， （米， （米， 在中，（米， （米， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在中，， ∴， ∴该灯塔的高度为 故答案为：． 10．11米 【分析】本题考查了相似三角形的应用、解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，解直角三角形求出的长，再由同一时刻物高与影长成正比得出的长，然后根据可知，根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， ∵，米，， ∴米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度为11米． 故答案为：11米． 11．/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 12． 【分析】过点作于点，连接．根据仰角，俯角，解直角三角形计算解答即可． 本题考查了仰角，俯角的计算，正确理解仰角，俯角的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． 由题意，得，，，， ． 易知， 四边形是矩形， ，． ，，， ， ， ， 河流的宽度约为． 13．4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先过点F作于点H，得，则，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∴有效识别区域点F到点B的距离约为． 故答案为：4 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．设延长线与延长线交于点，由题意得，，推出，设，利用正切的定义可得，，得出，再利用求出的值，即可求出． 【详解】解：如图，延长线与延长线交于点， 由题意得，，，， ， ， ， 设（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， ， ， 解得：， （米） 雕像的高约为米． 故答案为：． 15．109 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点E，在中，根据，得出为等腰直角三角形，说明，在中根据，，进而求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，则，． 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 在中，，， ， ， 故答案为：109． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长与分别交直线交于G、H，分别利用解三角形求出、、，即可． 【详解】解：延长与分别交直线交于G、H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴楼与之间的距离的长约为． 故答案为： 17． 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定和解直角三角形的实际应用，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出四边形是矩形，在中，求出的长，根据矩形性质求出的长，进而在中，正切值求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 答：盲区中的长度约为． 故答案为：． 18．(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 19．266米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，由题意得四边形是矩形，则，解求出的长，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，，， ， 答：最高塔的高度约为266米． 20．(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 21．(1)嘉琪的眼睛与作业本的距离不符合最佳要求，理由见解析 (2)作业本移动的距离AE约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，利用仰角俯角的定义确定角度，结合三角函数（正弦、余弦、正切）和勾股定理求解边长，解决此类问题的关键是准确识别直角三角形的边角关系，合理选择三角函数公式． （1）通过俯角确定直角三角形中的角度，利用余弦函数求出眼睛与作业本的距离，与比较判断是否符合要求； （2）先由勾股定理求出原位置的长度，再根据最佳距离，利用余弦函数求出移动后的长度，最后通过计算移动距离． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉琪的眼睛与作业本的距离不符合最佳要求． （2）在中，，， ∴． 为了符合最佳要求，， 在中，， ∴， ∴． ∴作业本移动的距离约为． 22．(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 23．(1) (2)米 【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于添加辅助线． （1）作，连接，作的垂直平分线交于点，连接，则四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质以及三角形的外角定理得到，由，设，则，设，在中，由勾股定理得，解得：，由即可求解； （2）设，作的垂直平分线交于点，连接，则导角可得，设，在中由勾股定理得到，解得：，可得，再由即可求解． 【详解】（1）解：如图，作，连接，作的垂直平分线交于点，连接， 由题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∵， ∴设，则， 设， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴设， 作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：建筑物的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $