精品解析：河南省天立教育2025-2026学年高三上学期10月调研考试数学试题

河南省天立教育2025—2026学年度高三秋期10月调研考试 数学试题 本试题卷共3页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数则“”是“函数有两个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，结合图象可得答案. 【详解】的图象如图所示， 函数有两个零点， 即的图象与的图象有两个交点， 由图可知，，即. “”是“函数有两个零点”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知定义在上的奇函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得是周期函数，周期为4，然后可得答案. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以， 所以是周期函数，周期为4 所以 故选：C 3. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 4. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论，，时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解. 【详解】当时，由指数函数的单调性得到取值范围为，此时不成立，故舍去； 当时，，若时，， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 此时 当时，若时，单调递减，所以， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 即解之可得， 综上可知. 故选：D 5. 函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和指数函数的性质得出，，然后利用函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，A错误； 由函数的图象过原点，有，即，所以，由于的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故，且，故，于是B，C错误； 由上面的分析得出函数，显然的单调递增区间为，故D正确； 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及已知区间的解析式，结合指数函数及对数运算性质求函数值，即可得. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则 当时，，故， 所以. 故选：A 7. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 8. 已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过给定特殊值求出的值，再利用函数性质判断单调性，接着对不等式进行转化，结合函数单调性得到关于的不等式，同时考虑函数定义域限制条件，最终确定不等式的解集. 【详解】取时，代入，有，可得，即，所以. 设，因为，又已知时，， 那么，所以函数在上单调递增. 对不等式进行转化求解： 已知，由可得，所以. 因为函数单调递增，所以，移项得，解得. 考虑定义域限制条件： 由，解得；解得. 综合以上结果，不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知集合，，则（ ） A. 当时，集合含有2个元素 B. 集合中的元素个数可能为5 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项. 【详解】对于A，当时，则，，此时，故A正确； 对于B，取，，则，，此时，故B正确； 对于C，取，，此时，，，而有，故C错误； 对于D，当时，，， 根据集合元素的互异性，必有， 若，则两集合除0外的元素也应相同，即， 这需要满足“且”（显然不成立）或“且”，后者要求， 与集合B元素互异性的要求矛盾，故假设不成立，因此，故D正确， 故选：ABD． 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图像关于直线对称 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线与关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的对称性可判断AC选项；解方程可判断B选项；求出曲线关于直线对称的曲线对应的函数解析式，可判断D选项. 【详解】对于AC选项，函数的定义域为，， 故函数图像的对称中心坐标为，AC均错； 对于B选项，， 由可得，，，B对； 对于D选项，曲线关于直线对称的曲线对应的函数解析式为 ，D对. 故选：BD. 11. 已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，在R上单调递增 C. ，的图象上都存在关于y轴对称的两个点 D. 当时，记，若有5个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析和的函数部分值域，然后综合研究判断A；利用分段函数单调性判定方法分析判断B；构造关于轴对称的点，得到关于的方程，进而转化为函数的零点问题，利用零点存在定理判定C；利用数形结合法分析的解的个数，确定的范围，判断D. 【详解】对于A，当时，当时，，函数单调递增，值域为， 当时，，对称轴为， 最小值为，所以有最小值； 对于B，当时，当时，，函数单调递增， 当时，，对称轴为，函数单调递增， 其中，所以在R上不单调递增，故B错误； 对于C，设点关于轴对称的点为，需满足， ，，即， 设，则. 解法一：因为在的图像是连续不断的，当时，， 所以，函数在开区间内总有零点，故C正确； 解法二：设，当时，，当时，，所以当时，， 所以对于任意的，函数在开区间内有零点，故C正确； 对于D，当时，，图象如图所示： 解得，解得. 的零点就是关于的方程（记作①）的实数解的个数. 令，，则方程①的解集为对于关于的方程（记作②）的每一个的值，所得到的关于的方程（记作③）的所有的不同的解的集合,换言之函数的零点的集合，根据题意. 方程②的解是函数和的交点的横坐标，可以参照的图象与直线的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数的图象与直线的交点的横坐标，其中是方程②的每一个解. 方程③有解时，必有，方程②有解，必有， 因此下面可以只考虑的情况和方程②中的非负实数解. （1）当时，方程②有一个非负实数解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合题意； （2）当时，②只有2个非负实数解且， 对于方程③有三个解，对于方程③有两个解， 这5个解是直线和函数的图象的5个不同交点的横坐标， 由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数有且只有5个零点，符合题意； （3）当时，②只有1个非负实数解，此时方程③有两个解，所以方程①有2解，即只有2个零点，不合题意； （4）当，方程②只有1个非负解且，此时③只有1个解，不合题意； （5）当时，方程②有两个解，或， 对于，方程③有1个解；对于，此时方程③有1个解，故方程①只有2个解，不合题意； （6）当，方程②只有一个解且，此时方程③只有1个解，故方程①只有1个解，不合题意. 综上所述，若有5个零点，则，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若存在，满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，消去得，根据为增函数，推出，从而得，根据的范围可得结果. 【详解】设，则， 所以，即， 因为为增函数，所以， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算及对数函数的性质判断即可． 【详解】解：由得 ， 即， ， 又， ， ， ， ， 综上：． 故答案为：． 14. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在上的单调性； （3）当为何值时，方程在上有实数解. 【答案】（1） （2）在上为减函数 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解， （2）由单调性的定义即可求解, （3）由单调性求解函数的值域，即可求解. 【小问1详解】 是上的奇函数，. 又为最小正周期，. 设，则， 【小问2详解】 设，由于所以，， 所以 在上为减函数. 【小问3详解】 在上为减函数，，即. 同理，在上时，. 又， 当或时，在内有实数解. 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解； （2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可 【小问1详解】 为偶函数， 对任意，有， 对恒成立. 对恒成立， 对恒成立， ； 【小问2详解】 由（1）知，， 由题意知有且只有一个实数根. 令， 则关于的方程（*）有且只有一个正根. 若，则，不合题意，舍去； 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根. 方程（*）有两相等正根等价于，解得； 方程（*）的两根异号等价于，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义求得参数值； （2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围． 【小问1详解】 由偶函数定义知：， 即， ∴对成立，. 【小问2详解】 由（1）得：； ∵，∴，当且仅当即时等号成立， ∴， ∴，即，解得：或 ， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可； （2）根据恒成立的定义，结合换元法、构造函数法，然后利用函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 由，得，即， 解得或，则或， 故的解集为； 【小问2详解】 因为，令，则， 则可化为，即在上恒成立， 令，易知在上单调递增， 则，故，即的取值范围是. 19. 已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． （1）对于第1项为的K列，写出它的第2项． （2）设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； （3）证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】（1）或 （2）不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）证明： 法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设， . 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【解析】 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【小问1详解】 根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； 【小问2详解】 不能，理由略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省天立教育2025—2026学年度高三秋期10月调研考试 数学试题 本试题卷共3页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数则“”是“函数有两个零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知定义在上的奇函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 函数不具有奇偶性 B. C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知集合，，则（ ） A. 当时，集合含有2个元素 B. 集合中的元素个数可能为5 C. 当时， D. 当时， 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图像关于直线对称 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线与关于直线对称 11. 已知函数其中a为实数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，在R上单调递增 C. ，的图象上都存在关于y轴对称的两个点 D. 当时，记，若有5个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若存在，满足，则的取值范围为______. 13. 已知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接） 14. 已知，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在上的单调性； （3）当为何值时，方程在上有实数解. 16. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若对于任意恒成立，求的取值范围． 19. 已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． （1）对于第1项为的K列，写出它的第2项． （2）设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； （3）证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $