辽宁省普通高中2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学模拟试题（3）

辽宁省普通高中2025-2025学年上学期期中考试调研试题(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡 (续15题) 17.(本小通满分15分) 姓名 准考证号 填 正确填涂 涂 错误填流示例 要 山区图☑曰 回口☐ 求 ▣▣ 条形码粘贴处 损用消和范项 涂右到动考有记 1.首先，检童是卡有无嘘损及印扇问题，若有问题请及时更模。前m黑色字迹签字笔在 注 规定位填写姓名。准考证号。接对条移上姓名，考证号是香正确，并贴好条形码 意 1进择塑必颈使用出阳笔镇涂：非选择抛必绩使用，如m黑色享睫签字笔作答，字体工整 笔速漓望。 事 玉选样竖修改时请用擦皮博净后再作答：非透样蓝在对应题号答题区内作备，胡出害题区城 16.(本小题满分15分) 项 的答案无效：选择题和幸选择题在试卷，草璃纸上作答无效， 4保持卡面清洁，不可桥叠、污桃。整卡上蒙用涂改滚、修正带和胶带候 第一部分选择题（共58分） (须用2B铅笔填涂) a■■a■■■■■■■■m■■■■ 1.IAI(BIIC][DI 5.IAIIB]IC]ID] 9.A[BHCIIDI ■ 2.[A1IBIICIID]6.[A[B][CIID1 10.1A1IB11C11D1 3.[A]IB]IC]ID]7.[A1IB]ICIID] H1.IA][B]IC]ID] ■ ■ 4.IAIIB]ICIID]s.[AJIBIICIID ■■■■■ 第二部分非选择题（共92分） (须用0.5mm黑色字迹签字笔书写) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 三、填空题：每小题5分，共15分.其中14题第一空2分，第二空3分 12. 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作容，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡第1页（共6页） 高三数学答题卡第2页（共6页） 高三数学答题卡第3页（共6页）亚了着鸡元教等研元中心，监侧 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 (续17题) (续18题) (续19题) 18.(本小题满分17分) 19。(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 字4电教学狮元中心，盟制高三数学答题卡第4页（共6页） 高三数学答题卡第5页（共6页） 高三数学答题卡第6页（共6页） ■ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（3） 高三数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 杨宗祥 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、计数原理与概率统计 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．设是数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 5．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．；如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 10．近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（    ） （2010至2022年我国新生儿数量折线图） A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万 B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万 C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势 D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差 11．已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，y有，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 =，则的值是 ． 13．在圆内接四边形中，已知，，平分．则的值为 ． 14．若，则的值是 ；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知数列的前项和满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 在中，， （1）求角C的大小； （2）求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 18．（本小题满分17分） 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点．记（均为实数）． （1）若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； （2）若，记向量和向量的夹角为，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知函数，（其中，是自然对数的底数）． （1）若关于的方程有唯一实根，求的值； （2）若过原点作曲线的切线与直线垂直，证明：； （3）设，当时，恒成立，求实数的取值范围． 辽宁鸿飞 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（3） 高三数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B D D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD AC BCD 1．A 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解． 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2．A 【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置． 【详解】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A． 3．C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可． 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C． 4．B 【解析】推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解． 【详解】在数列中，，，则，，， 以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列， ，因此，． 故选：B． 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤： （1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数； （2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列． 5．D 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围． 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以． 故选：D 6．D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 7．A 【分析】先根据指数对数的运算性质将变形为，再通过放缩得到不等式，进而利用同构函数，将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可． 【详解】由，得， 即． 因为，，所以，即， 所以， 且． 因为函数在上单调递增， 又， 所以， 即， 故， 所以A正确，B，C，D错误． 故选：A． 8．D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率． 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次． （1）4次均不下雨，概率为：； （2）有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； （3）有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：． 故选：D． 9．ACD 【分析】在和中，分别利用余弦定理，得到，结合，求得，得到，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形的周长，可判定D正确． 【详解】在中，可得， 在中，可得， 可得，即 因为，可得，可得， 又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确； 由 ，所以B不正确； 在直角中，可得，所以C正确； 四边形的周长为， 所以D正确． 故选：ACD 10．AC 【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解． 【详解】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确； 对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误； 对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确； 对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误， 故选：AC． 11．BCD 【分析】根据条件通过赋值可得选项A错误，选项B正确．令，求导可得，由此可得是以4为首项，4为公差的等差数列，可得选项C，D都正确． 【详解】A．令，得，故A错误． B．令，，得，解得， 令，，得，故B正确． 令，得， ∴， 令，得， ∴是以4为首项，4为公差的等差数列， ∴，故C，D都正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题． 13． 【分析】设，利用余弦定理分别解，根据圆的性质可建立方程计算，再根据向量的线性运算及数量积的运算律计算即可． 【详解】设，因为平分，所以． 在中由余弦定理可知：， 作差可得， 又． 故答案为： 14．125 35 【解析】先令求出，再令求出，再根据二项式的通项公式求出，即可求出的值；利用插空法即可求出任取不同的三项，三项均不相邻的取法． 【详解】解：， 令，则， 令，则， ， ； 在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项， 可以利用插空法，从六项所形成的七个空中选取三个空， 则有种． 故答案为：125；35． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是通过观察二项式对进行赋值求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果． 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以． （2） ， ， 数列的前项和为． 16．（本小题满分15分） （1）； （2）． 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出； （2）先得到，，令，应用三角恒等变换及换元得到，由导函数得到在上单调递增，求出． 【详解】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理及，得， 整理得， 由余弦定理得， 又， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 令， ∴． ∴ ． 令，则在上恒成立， 故函数在上单调递增， ∴． 即的取值范围为． 17．（本小题满分15分） （1）分布列见详解， （2） 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【详解】（1）X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． （2）两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为． 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立． 所以P的最小值． 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 18．（本小题满分17分） （1）（i）； （ii） （2） 【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得，（i）可由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；（ii）以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围； （2）以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可． 【详解】（1）解：由到弦的距离是，可得，故 （i）由圆的几何性质得， 故 （ii）记劣弧的中点为，且 ① ② ①+②得 进一步得： ， 其中 故的取值范围为： （2）解：记，由两边平方，得 ，又，∴ ∴ 故 又和向量的夹角为， 记， 显然关于单调递增， 所以当时，． 19．（本小题满分17分） （1）； （2）证明见解析； （3）． 【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识推证；（3）依据题设条件运用导数的知识求解． 试题解析： （1）因为，所以， 设，则， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为方程有唯一根， 所以，且， 故，所以； （2）因为过原点所作曲线的切线与直线垂直，所以切线的斜率为，且方程为． 设与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令，则，所以在（0,1）上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以， 而在上单调递减，所以． 若，因为在上单调递增，且，则， 所以（舍去）． 综上可知，； （3）因为，所以．． ①当时，因为在上递增，所以，所以在上递增，恒成立，符合题意． ②当时，因为在上递增，因为，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又时，，所以不恒成立，不合题意．综合可知，所求实数的取值范围是． 考点：导数在研究函数的单调性和最值等方面的有关知识的综合运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助方程有根，将问题转化为函数有零点的问题，建立了含的方程，从而求得；第二问中借助导数,运用导数的几何意义建立方程，然后构造函数，运用导数进行推证；第三问的求解中则借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想进行分类推证，进而求得实数的取值范围是，从而使得问题简捷巧妙获解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $