辽宁省普通高中2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学模拟试题（2）

辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（2） 高三数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C C A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 CD ABC ACD 1．D 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数． 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3． 故选：D． 2．B 【分析】写出集合，计算真子集个数． 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为． 故选：B． 3．D 【分析】用首项和公差表示出已知条件并求解，再由等差数列前项和公式计算． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 4．C 【分析】利用向量模长和向量垂直的性质求解． 【详解】由，两边平方得，即． 又， 所以，即， 所以． 故选：C 5．C 【分析】根据函数的奇偶性，结合特值，可判断各选项． 【详解】A选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，A选项错误； B选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，B选项错误； D选项：， 则， 即此函数为奇函数， 又，不符合图像，D选项错误； C选项：， 则， 又，，满足图像，C选项正确； 故选：C． 6．A 【分析】根据题意，过作轴于点，结合函数图像可得函数的解析式，从而可得，代入计算，即可得到结果． 【详解】 过作轴于点，则， 因为是等腰直角三角形，所以，故， 则，且，则， 因为，所以， 所以，，， 所以，解得，， 因为，所以，则， 则， 故． 故选：A 7．A 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式． 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：A． 8．D 【分析】举反例即可求解AB，利用基本不等式即可求解CD． 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B, ,则，故B错误， 对于CD，，则，且，， 故，故D正确，C错误， 故选：D 9．CD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断． 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD． 10．ABC 【分析】做差法可判断AD；利用基本不等式可判断BC． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，，所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，，， ， 所以，故D错误． 故选：ABC． 11．ACD 【分析】根据奇偶性得，两边求导可判断A；利用奇偶性构造方程组求出的解析式，基本不等式结合函数性质可判断B；利用二次求导可判断C；构造函数，两边求导，整理后构造函数，利用导数即可判断D． 【详解】对A，因为是奇函数，所以，两边同时求导得， 即，又的定义域为，所以为偶函数，正确； 对B，因为①， 所以②， 联立①②可得，， 因为，当且仅当时等号成立， 当趋于时，趋于，所以有最小值，无最大值，错误； 对C，记，则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，所以为定义在上的增函数，正确； 对D，记，求导得， 所以 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，则 ，即，即， 综上，当时，，正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或1 【分析】将题设化为，解此方程即可． 【详解】因为，所以， 即，即，又因为， 所以，，解得或． 故答案为：或1 13． 【分析】先求出平移后的解析式，结合图形分析可知要使在区间上的最大值为1，则在区间上单调递增，即，求解即可． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 则， 当时，， 由于在区间上的最大值为1， 则在区间上单调递增，即， 所以，解得：． 故答案为： 14． 【分析】结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得． 【详解】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或． 即该不等式解集为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果． 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则． （2）由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得． 故的面积为． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）结合和与项的递推关系进行转化即可求解； （2）利用裂项求和即可求解． 【详解】（1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故． （2）， 17．（本小题满分15分） （1）的最小值为1． （2） 【分析】（1）变形化简为，再由进行求解； （2）由（1）知，得，则进行求解． 【详解】（1）由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以． 又， 所以的最小值为1． （2）由（1）知． ． ． ． 18．（本小题满分17分） （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题； （2）不等式恒成立，即恒成立， 设，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论． （2）由（2）知，，令，则 从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论． 【详解】（1），令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值， 所以，即． （2）证明：不等式恒成立，即恒成立， 设，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即 当时，，当时， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ， ， ， 恒成立，故结论成立． （3）证明：由（2）知，，令， 则． 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，， 累加得： ， 又， 所以． 【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点： 1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性； 2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数； 3、求函数的极值（最值）； 4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围； 5、证明不等式； 解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决， 在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数， 对新函数求导再结合导数与单调性等解决． 19．（本小题满分17分） （1）答案见解析 （2）0 （3）证明见解析 【分析】（1）求出，分类讨论和时，的正负，得到函数的单调区间，从而求出函数在的最小值； （2）当时，，得到在上单调递减，从而； （3）由（2）知， ，得到，求出，分以及可证明结论． 【详解】（1）由题可得，因为，所以， 当时，，所以函数在上单调递增，， 当时，令，即， 因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由于，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，当时，， 当时，， 当时， （2）由题可得，因为时，， 当，，等号仅在某些特殊值时取得，所以在上单调递减， 所以 （3）由（2）知，当，时，，即， 令，则 ， 令，① ，② ①②可得：， 化简得：， 所以， 当或2时，， 则成立 当时，， 则成立； 当时，， 所以， 综上：对，都有，得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $辽宁省普通高中2025-2025学年上学期期中考试调研试题(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡 (续15题) 17.(本小通满分15分) 姓名 准考证号 填 正确填涂 涂 错误填流示例 要 山区图☑曰 回口☐ 求 ▣▣ 条形码粘贴处 损用消和范项 ▣ 涂右到动考有记 1.首先，检童是卡有无嘘损及印扇问题，若有问题请及时更模。前m黑色字迹签字笔在 注 规定位填写姓名。准考证号。接对条移上姓名，考证号是香正确，并贴好条形码， 意 1进择塑必颈使用出阳笔镇涂：非选择抛必绩使用，如m黑色享睫签字笔作答，字体工整 笔速漓望。 事 玉选样竖修改时请用擦皮博净后再作答：非透样蓝在对应题号答题区内作备，胡出害题区城 16.(本小题满分15分) 项 的答案无效：选择题和幸选择题在试卷，草璃纸上作答无效， 4保持卡面清洁，不可桥叠、污桃。整卡上蒙用涂改滚、修正带和胶带候 第一部分选择题（共58分） (须用2B铅笔填涂) a■■a■■■■■■■■m■■■■ 1.IAI(BIIC][DI 5.[AIIB]IC]ID] 9.AJBHCIIDI ■ 2.[A1IBIICIID]6.[A[B][CIID1 10.1A1IB11C11D1 ■ 3.[A]IB]ICIIDI 7.[AIIBIICIID] H1.IA][B]IC]ID] ■ ■ 4.IAIIB]ICIID]s.[AJIBI[CIID ■■■■■ 第二部分非选择题（共92分） (须用0.5mm黑色字迹签字笔书写) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 三、填空题：每小题5分.共15分 2 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作容，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高三数学答题卡第1页（共6页） 高三数学答题卡第2页（共6页） 高三数学答题卡第3页（共6页）亚了着鸡元教等研元中心，监侧 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 (续17题) (续18题) (续19题) 18.(本小题满分17分) 19。(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 字4电教学狮元中心·盟制高三数学答题卡第4页（共6页） 高三数学答题卡第5页（共6页） 高三数学答题卡第6页（共6页） ■ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（2） 高三数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 关照曦 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 2．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．4 B．3 C．0 D．7 3．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．-4 B．-16 C．-32 D．-64 4．已知非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 5．下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（    ）． A． B． C． D． 6．函数的部分图像如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图像与轴的交点，为图像的最高点，且，则（    ） A． B． C． D． （第5题图） （第6题图） 7．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，是函数图象上的两个不同的点，则（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若且,，则与垂直 10．设，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（ ） A．是偶函数 B．存在最大值 C．是增函数 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等比数列的前项和为，若，则公比 ． 13．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则 ． 14．已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 16．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17．（本小题满分15分） 已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，求的值． 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中为自然对数的底数，． （1）当时，函数有极小值，求； （2）证明：恒成立； （3）证明：． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求函数在的最小值； （2）当时，求函数在的最大值； （3）求证：对，都有． 辽宁鸿飞 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $