辽宁省普通高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学模拟试题（3）

辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（3） 高二数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A B A D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD BD ACD 1．C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 2．B 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：， 故选：B 3．A 【分析】利用空间向量研究空间位置关系，一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 易得，故C错误； 对于D，若，则，即，易得， 故D错误. 故选：A 4．B 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：B. 5．A 【分析】对圆的方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长. 【详解】由可得， 令，解得或， 故动圆恒过两个定点， 故定弦长为. 故选：A. 6．D 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直判断A；求出平面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值判断B；由法向量与相等，证明平面可判断C；由点到平面距离的向量法可求得点到平面的距离可判断D. 【详解】在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 7．A 【分析】先通过空间向量垂直的坐标运算求得，然后计算出，最后利用求解最小值即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，故的最小值为. 故选：A 8．D 【分析】结合题意讨论的存在性，设，联立直线和椭圆方程，利用判别式等于0，得出，联立直线和圆的方程，结合根与系数关系求得，利用弦长公式和点到直线距离公式得出，根据，整理后利用基本不等式求最值. 【详解】由题可知，当斜率不存在时，点P在圆和椭圆交点处，不符合题意， 则直线的斜率存在，设， 由，得， 由，得， 由图可知，， 设点到直线的距离为，则， ， ， 由，得，则有： ，， ， ， ． 而，，， ， ， 四边形的面积： ． 当且仅当，即时取“”， 即四边形面积的最大值为4. 故选：D． 9．ABD 【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 10．BD 【分析】通过举特例可判断A；根据基底定义可判断B；由直线的方向向量与斜率的关系可判断C；先利用向量的线性关系得到，的位置关系，进而得平面的位置关系即可判断D. 【详解】对于A，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，故A不正确； 对于B，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，故B正确； 对于C，若直线的一个方向向量，则直线的斜率为，与直线的斜率矛盾，故C不正确； 对于D，由，得∥，所以.故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】根据题意得等量关系，即可代入点坐标求解，进而可判断A，根据点的对称可判断B，由分类讨论可求解C，根据基本不等式求解D. 【详解】设曲线C上的动点，则， 因为曲线C过点，所以有，解得，负根舍去，故A正确； C的方程为，若在曲线上，则也在曲线上，不在曲线上，故曲线C的图象关于y轴对称，不关于x轴对称，B错误； 当时，可化为，即， 当时，可化为，即， 当且仅当时，，即C上的点的横坐标的最大值为，C正确； 令，，则，，，， 因为，所以，当且仅当时取到等号，即的最小值为1，D正确． 故选：ACD 12． 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】设在上的投影向量为，与的夹角为， 则，， 而， 则. 故答案为：. 13． 【分析】根据圆的标准方程求得圆心坐标，然后根据求得直线的斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可. 【详解】由题意可知圆心坐标，由于点为弦的中点，则， 又，所以， 所以弦所在直线的方程为，整理得：. 故答案为： 14． 【分析】根据已知正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为，构建合适的空间直角坐标系得出相关点的坐标，应用向量法求点到平面的距离，进而确定圆的半径，并求出，利用点与圆的位置关系求的最小值. 【详解】由题意，得正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，令，可得， 故点到平面的距离为， 故圆的半径， 由得，， 故，故的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2）证明见解析 【分析】（1）棱柱体积等于底面乘以高，进而计算可得体积； （2）先求平面的法向量，进而证明即可得证. 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 16．（本小题满分15分） （1） （2）． 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可． （2）根据已知条件确定是直角三角形，然后求得外接圆半径和圆心坐标，即可求出圆的方程． 【详解】（1）因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形． 所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 17．（本小题满分15分） （1）证明见解析； （2）； （3） 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； （2）由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 18．（本小题满分17分） （1） （2） （3） 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据椭圆定义，结合两点间距离公式，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案． （2）因为直线关于直线对称，所以，设直线的方程为：，与椭圆联立，根据韦达定理，表达式，根据，化简整理，可得k值，进而可得直线l方程，与联立，可得M点坐标，即可得答案． （3）若直线的斜率时，直线的方程为，可得各点坐标，根据斜率值，可猜想，再进行证明，分别求得和表达式，分析即可得证． 【详解】（1）由题意可知，， ，即， 所以，所以椭圆的标准方程为； （2）直线的方程为：， 因为直线关于直线对称，所以， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：， 联立方程组：，得：， 设，则， 因为 即， 整理得：， 所以，即，解得， 所以直线的方程为：， 当时，，则， 所以； （3）若直线的斜率时，直线的方程为，所以， 此时，再结合（2），猜想，． 证明如下： 直线，所以，则，即， 由（2）知： ， 所以成立， 综上， 19．（本小题满分17分） （1）证明见解析； （2），几何意义为以向量构成的平行六面体的体积； （3）. 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（3） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 命题范围：【（人教B版）选择性必修一第一章、第二章2.6及之前】双曲线的几何性质及之前 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 2．过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 3．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若直线与直线平行，则两直线间距离为（   ） A． B． C． D． 5．已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 7．已知空间向量，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知椭圆，、为焦点，过椭圆上点作椭圆的切线交圆：于不同的两点（其中点在点的右侧），则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 10．下列给出的命题正确的是（   ） A．点为平面上的一点，且，则 B．若为空间的一组基底，则不能作为空间的一组基底 C．若平面内直线的方程为，则该直线一个方向向量 D．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 11．已知曲线C过点，且C上的点满足到坐标原点O的距离与到定直线的距离之和为2，则（    ）． A． B．曲线C的图象关于x轴对称 C．C上的点的横坐标的最大值为 D．的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在向量上的投影向量的坐标为 . 13．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为 ． 14．记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． （1）求直三棱柱的体积； （2）若是的中点，证明：平面； 16．（本小题满分15分） 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线关于直线对称，求； （3）探究的数量关系． 19．（本小题满分17分） 向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； （1）证明：； （2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． （3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $辽宁省普通高中2025-2026学年上学期期中考试调研试题(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高二数学答题卡 (续15题) 17.(本小通满分15分) 姓名 准考证号 填 正确填涂 涂 错误填流示例 要 山区图☑曰 回口☐ 求 ▣▣ 条形码粘贴处 损用消和范男 ▣ 涂右到动考有记 1.首先，检童是卡有无嘘损及印扇问题，若有问题请及时更模。前m黑色字迹签字笔在 注 规定位填写姓名。准考证号。接对条移上姓名，考证号是香正确，并贴好条形码 意 1进择塑必颈使用出阳笔镇涂：非选择抛必绩使用，如m黑色享睫签字笔作答，字体工整 笔速漓能。 事 玉选样竖修改时请用擦皮博净后再作答：非透样蓝在对应题号答题区内作备，胡出害题区城 16.(本小题满分15分) 项 的答案无效：选择题和幸选择题在试卷，草璃纸上作答无效， 4保持卡面清洁，不可桥叠、污桃。整卡上蒙用涂改滚、修正带和胶带候。 第一部分选择题（共58分） (须用2B铅笔填涂) a■■a■■■■■■■■m■■■■ 1.IAI(BIIC][DI 5.[AIIB]IC]ID] 9.AJBHCIIDI ■ 2.[A1IBIICIID]6.[A[8][C1ID1 10.1A1IB11C11D1 3.[A]IB]ICIIDI 7.[AIIBIICIID] H1.IA][B]IC]ID] ■ ■ 4.IAIIB]ICIID]s.[AJIBI[CIID ■■■■■ 第二部分非选择题（共92分） (须用0.5mm黑色字迹签字笔书写) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 三、填空题：每小题5分.共15分 2 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作容，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高二数学答题卡第1页（共6页） 高二数学答题卡第2页（共6页） 高二数学答题卡第3页（共6页）亚了着鸡元教等时元中心，监侧 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 (续17题) (续18题) (续19题) 18.(本小题满分17分) 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 字4电教学狮元中心·盟制高二数学答题卡第4页（共6页） 高二数学答题卡第5页（共6页） 高二数学答题卡第6页（共6页） ■