辽宁省普通高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学模拟试题（1）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（1） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心数学调研组 命题范围：【（人教B版）选择性必修一第一章、第二章2.6及之前】双曲线的几何性质及之前 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知空间三点，，共线，则实数的值为 （    ） A．3 B．5 C． D． 2．已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 3．已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．求点到直线的距离的最大值为 （    ） A．3 B． C． D．5 5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 （    ） A． B． C． D． 6．已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为椭圆的左､右焦点，点在椭圆的外部为轴上一点，线段与椭圆交于点内切圆的直径为，则椭圆的离心率为 （    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知空间中三点，则 （    ） A．向量与向量垂直 B．平面的一个法向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 10．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是 （    ） A．三角形的周长是10 B．若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C．若，则点的轨迹方程是 D．若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 11．如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列说法正确的是 （    ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面平面 C．不存在点，使得 D．不存在点，使得四棱锥有内切球 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，，经过点作直线l，若直线l与线段总有公共点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是 ． 13．两圆和恰有一条公切线，则的最大值为 ． 14．在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．（本小题满分15分） 如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆C的标准方程． （2）若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹． 18．（本小题满分17分） 如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ （1）求证：平面 （2）求三棱锥 外接球的体积： （3）F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC所成角的大小为求FQ的长． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求的方程． （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0． （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：． 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2025~2026学年上学期期中考试调研试题（1） 高二数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC CD ABD 1．A 【分析】利用空间向量共线定理列出方程组，求解即得． 【详解】由，，可得， 因三点共线，故存在，满足，即， 则有，解得． 故选：A． 2．D 【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答． 【详解】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是． 故选：D 3．B 【分析】由面面垂直性质，平行线传递性，线面平行判定定理结合面面平行性质可判断各选项正误． 【详解】对于A，由，，则与相交或（为两个平面的交线时），故A错误； 对于B，由线面垂直的性质知时，，故B正确； 对于C，当，则或，故C错误； 对于D，若，则与无公共点，则或与异面，故D错误． 故选：B 4．D 【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果． 【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为． 故选：D 5．C 【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解． 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，即，离心率， 故选：C． 6．A 【分析】取的中点，由题可得，从而可得点在圆上，直线与圆相交或相切，据此可得答案． 【详解】取的中点，因为，所以，所以，又， 所以点在圆上， 又在直线上，所以直线与圆相交或相切， 所以直线到圆圆心距离小于等于5， 又圆心坐标为． 则，所以． 故选：A． 7．C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解． 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 8．B 【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值． 【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示． 由切线长定理可得， 则 ． 因为，所以， 由圆的几何性质可得，故四边形为正方形， 且其边长为． 由对称性可知，由椭圆定义可得，① 又因为，所以，② 联立①②可得． 由勾股定理可得，即， 整理可得，即， 即，整理可得， 因此，． 故选：B． 9．AC 【分析】计算数量积是否为0判断A，根据法向量的定义判断B，由向量夹角的坐标表示计算后判断C，坐标法求向量的模判断D． 【详解】由已知，则，所以，A对； 由，则，与不垂直，B错； 由，则，C对； 由，D错． 故选：AC 10．CD 【分析】根据条件，分别求得A、、坐标，根据两点间距离公式，可求得的周长，即可判断A的正误；先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误，即可得答案． 【详解】选项A：由题意圆心，，则， 所以，， 所以三角形的周长等于，故A错误； 选项B：双曲线C的渐近线方程为， 所以设双曲线E的方程为， 因为双曲线的焦距为4，即，解得， 所以，解得， 所以双曲线E的方程为，即，故B错误； 选项C：因为， 所以M的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以长轴，即，焦距，即， 又， 所以的轨迹方程是，故C正确； 选项D：因为是双曲线右支上一动点， 所以，故D正确． 故选：CD 11．ABD 【分析】当与重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量（含参），根据垂直关系求参数值判断B；同B分析，应用空间向量模长的坐标表示列方程求参数判断C；根据棱锥内切球在侧面上投影圆的半径相等列方程求参数判断D． 【详解】对于A ，连接交于点，则分别为中点， 当与重合时，有，即， 因平面，平面，故平面，即平面，故A正确； 对于B，因，则，而，，则， 由且都在平面内，故平面， 如下图所示，在平面内过作，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面一个法向量为， 则， 取，有， 设且，， 设平面的一个法向量为， 则，取，有， 若平面平面，则，可得， 所以存在点，使得平面平面，故B正确； 对于C，同B分析，可得，若， 所以，可得， 所以，则， 所以，可得，故C错误； 对于D，假设存在球与平面、平面、平面都相切，设且， 如下左视图，则，，，则， 俯视图角度，球心在下底面投影为的内心，则， 要使四棱锥有内切球，则在内有解， 所以，整理得， 所以，显然无解，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案． 【详解】如图： 由题意知直线的斜率分别为． 直线与线段总有公共点， ， 故答案为：． 13．1 【分析】两个圆只有一条公切线，则两圆内切，利用圆与圆的位置关系可得，结合基本不等式求解即可． 【详解】两圆的标准方程为，和，圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆和恰有一条公切线， 所以两圆内切，即， 得，则，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故答案为：1． 14． 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解． 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2）或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解． 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2） 【分析】（1）结合正六边形的性质，利用面面垂直的判定定理进行证明． （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 在正六边形中，因， 则，即． 又平面，，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，两两垂直，故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，． 因为是上靠近的三等分点，， 所以，所以． 所以，，． 设平面的法向量为， 则，． 所以，， 设直线与平面所成的角为，则． 即直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本小题满分15分） （1） （2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是 【分析】（1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹． 【详解】（1）线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为． 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即． 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得． 故圆心的坐标为． 圆的半径 所以圆C的标准方程为． （2）设，由于是线段的中点，且． 所以． 又由于点在圆上，故． 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 18．（本小题满分17分） （1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由面面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）根据几何体外接球半径的求法，结合球的体积公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，根据向量的线性运算可得，再利用线面角的向量法求出，再根据空间向量的模长公式即可求解． 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）知平面， 平面，所以， 所以Rt的外心为的中点， 所以，所以平面， 因为，所以Rt的外心为的中点， 所以点为三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为； （3）因为平面， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以 设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为， 设， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则，因为与平面所成角的大小为， 所以，即，整理得， 所以，此时点与点重合，所以，则． 19．（本小题满分17分） （1） （2）证明见解析． 【分析】（1）根据离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）（i）设，，利用齐次化结合韦达定理可得，故可求直线所过的定点； （ii）设，联立直线方程和椭圆方程结合韦达定理可得，从而化简后可得，故可证． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故可设， 故椭圆方程为：，代入，故， 故即椭圆方程为：． （2）（i）由椭圆方程可得，故． 设直线，， 由题设，否则由直线关于轴对称可得重合，这与题设矛盾． 又椭圆方程可化为，整理得到：，联立直线方程和椭圆方程可得：， 故， 设，则， 故（▲）， 又，故为▲的两个解， 因为直线关于轴对称，故， 因为的斜率存在且不为零，故，故， 故直线，令，故， 故直线过定点． （ii）由题设． 设，联立椭圆方程可得， 故， 故即． 又，故， 直线，，, 由可得，同理， 故 ， 故为的中点即． 辽宁鸿飞 25-26高二上10月月考数学（2）答案第1页，共2页 25-26高二上10月月考数学（2）答案第1页，共2页 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $辽宁省普通高中2025-2026学年上学期期中考试调研试题(1) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高二数学答题卡 (续15题) 17.(本小通满分15分) 姓名 准考证号 填 正确填涂 涂 错误填流示例 要 山区图☑曰 回口☐ 求 ▣▣ 条形码粘贴处 损用消和范项 ▣ 涂右到动考有记 1.首先，检童是卡有无嘘损及印扇问题，若有问题请及时更模。前m黑色字迹签字笔在 注 规定位填写姓名。准考证号。接对条移上姓名，考证号是香正确，并贴好条形码 意 1进择塑必颈使用出阳笔镇涂：非选择抛必绩使用，如m黑色享睫签字笔作答，字体工整 笔速漓能。 事 玉选样竖修改时请用擦皮博净后再作答：非透样蓝在对应题号答题区内作备，胡出害题区城 16.(本小题满分15分) 项 的答案无效：选择题和幸选择题在试卷，草璃纸上作答无效， 4保持卡面清洁，不可桥叠、污桃。整卡上蒙用涂改滚、修正带和胶带候。 第一部分选择题（共58分） (须用2B铅笔填涂) a■■a■■■■■■■■m■■■■ 1.IAI(BIIC][DI 5.[AIIB]IC]ID] 9.AJBHCIIDI ■ 2.[A1IBIICIID]6.[A[B][CIID1 10.1A1IB11C11D1 ■ 3.[A]IB]ICIIDI 7.[AIIBIICIID] H1.IA][B]IC]ID] ■ ■ 4.IAIIB]ICIID]s.[AJIBI[CIID ■■■■■ 第二部分非选择题（共92分） (须用0.5mm黑色字迹签字笔书写) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 三、填空题：每小题5分.共15分 2 13. 14. 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作容，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 高二数学答题卡第1页（共6页） 高二数学答题卡第2页（共6页） 高二数学答题卡第3页（共6页）亚了着鸡元教等时元中心，监侧 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 (续17题) (续18题) (续19题) 18.(本小题满分17分) 19。(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 字4电教学狮元中心，盟制高二数学答题卡第4页（共6页） 高二数学答题卡第5页（共6页） 高二数学答题卡第6页（共6页） ■