13.1.3 反证法 课件 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

13.1.3　反证法 第13章　13.1　勾股定理及其逆定理 1.掌握反证法证题的基本步骤.(重点) 2.会用反证法证明简单的命题.(难点) 学习目标 情境引入 从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么，王戎说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 反证法 问题1　“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b(b≤a≤c)，a2＋b2≠c2，则这个三角形不是直角三角形，”请说明理由. 提示　假设它是一个直角三角形，由勾股定理，一定有a2＋b2＝c2，与已知条件a2＋b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 知识梳理 先假设结论的反面是_____的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相______；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确，这种证明的方法叫做“反证法”.即：(1)反设； (2)推理得矛盾； (3)假设不成立，原命题正确. 注意点：用反证法证明命题时，应注意的事项： (1)周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； (2)推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； (3)在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的. 正确 矛盾 问题2　在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2是真命题吗？ 提示　 (1)假设a2＋b2＝c2； (2)由勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形且∠C＝90°与已知条件∠C≠90°相矛盾； (3)因此假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立. (课本P127例5)证明：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点. 例1 证明　假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2，这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. (课本P128例6)证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 例2 证明　假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即 ∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 反思感悟 反证法的第一步是假设，假设原命题结论的反面成立； 若反面不止一种情况，要把所有可能情况都列出来，再分类证明各种情况均不成立，从而肯定原命题成立. 已知“如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2. 求证：a不平行于b. 跟踪训练1 证明　假设结论不成立，则a∥b， ∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)， 这与已知的∠1≠∠2矛盾， ∴假设不成立， ∴a不平行于b. (课本P128练习第3题)求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数. 跟踪训练2 证明　假设m是奇数. 根据奇数的定义，存在整数n，使得m＝2n＋1. m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝2(2n2＋2n)＋1， 显然，m2＝2k＋1(其中k＝2n2＋2n)，即m2为奇数. 这与题设“m2是偶数”矛盾，故假设不成立. 因此，m必为偶数. 课堂小结 1.“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设 A.a2＝b2 B.a＝b C.a＝－b D.a≠b √ 随堂演练 2.反证法是从反方向证明命题的论证方法.如图，想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D.”先假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，由“同位角相等，两直线平行”，可 得A'B'∥CD.这样过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不正确的，于是有∠EOB＝∠EO'D，上述材料中的“基本事实”是指 随堂演练 A.两点确定一条直线 B.两直线平行，内错角相等 C.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 √ 随堂演练 3.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设________ ___________________.  4.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设“在三角形中每一个角都　　　60°”(填“大于”“等于”或“小于”).  小于 一个三角 形中至少有两个钝角 随堂演练 本课结束 $