13.1.2 直角三角形的判定 课件 2025-2026学年 东师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的判定，核心内容为勾股定理的逆定理及勾股数。通过古埃及人用绳结构作直角三角形的情境引入，引导学生从历史现象中发现数学问题，衔接勾股定理（性质）与逆定理（判定）的知识脉络，以“画图猜想-推理证明-应用辨析”的问题链搭建学习支架。 其特色在于深度融合数学核心素养，情境引入培养数学眼光，让学生从现实中抽象数量关系，问题探究通过动手画图与严格证明发展推理能力，例题及训练强化符号运算与应用意识。采用情境启思、探究建构的教学方法，学生能主动参与知识形成过程，教师可直接利用分层例题与随堂演练提升教学实效。

13.1.2　直角三角形的判定 第13章　13.1　勾股定理及其逆定理 1.理解并掌握直角三角形的判定.(重点) 2.运用勾股数解决简单的实际问题.(难点) 学习目标 情境引入 据说，古埃及人找一根长绳，先在长绳上打等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形，这个三角形其中一个角便是直角. 你想知道这是什么道理吗？ 一、直角三角形的判定 问题1　画出边长分别是下列各组数的三角形(单位：厘米). (1)a＝3，b＝4，c＝5； (2)a＝6，b＝8，c＝10. 判断一下上述你所画的三角形的形状.你有什么发现？ 提示　画出的三角形如图所示；都是直角三角形. 问题2　这两组数都满足a2＋b2＝c2吗？ 提示　满足. 问题3　猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.你能证明这个猜想吗？ 提示　已知：如图①，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 证明：如图②，作△A'B'C'，使∠C'＝90°，A'C'＝b，B'C'＝a， 则A'B'2＝a2＋b2＝c2，即A'B'＝c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠C＝∠C'＝90°. 知识梳理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系____________，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 几何语言： ∵在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 注意点：在判定一个三角形是直角三角形时，不能使用“在直角三角形”“直角边”“斜边”进行表述，这些表述只能在已知三角形是直角三角形中出现. a2＋b2＝c2 问题4　完成表格. 勾股定理与其逆定理对比   勾股定理 勾股定理的逆定理 图形     条件     结论     在Rt△ABC中，∠C＝90° 在△ABC中，a2＋b2＝c2 a2＋b2＝c2 ∠C＝90° 区别 “直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论.是直角三角形的性质 数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论.是直角三角形的判定 联系 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2＋b2＝c2有关 (课本P125例4)在△ABC中，AB＝n2－1，BC＝2n，AC＝n2＋1(n为大于1的整数).问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 例1 解　∵AB2＋BC2＝(n2－1)2＋(2n)2 ＝n4－2n2＋1＋4n2 ＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2 ＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 反思感悟 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1)a＝15，b＝8，c＝17； 跟踪训练1 解　∵152＋82＝289，172＝289， ∴152＋82＝172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角. (2)a＝13，b＝14，c＝15. 解　∵132＋142＝365，152＝225， ∴132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 二、勾股数 知识梳理 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 注意点：(1)三个数必须是正整数，不能是分数或小数；(2)一组勾股数扩大相同的正整数倍，仍是勾股数. 请完成以下未完成的勾股数： (1)12，35，　　；  (2)15，12，　　；  (3)10，26，　　；  (4)7，24，　　.  例2 37 9 24 25 反思感悟 勾股数需要满足三个数都是正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方. 下列各组数是勾股数的是 A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 跟踪训练2 √ 课堂小结 1.在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，则 A.∠A＝90° B.∠B＝90° C.∠C＝90° D.不能确定 √ 解析　∵AC2－BC2＝AB2，即AC2＝BC2＋AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°. 随堂演练 2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是 A.1，2，3 B.2，3，4 C.2，4，5 D.12，16，20 √ 随堂演练 解析　∵12＋22≠32， ∴1，2，3不是勾股数，故A选项不符合题意； ∵22＋32≠42， ∴2，3，4不是勾股数，故B选项不符合题意； ∵22＋42≠52， ∴2，4，5不是勾股数，故C选项不符合题意； ∵122＋162＝202， ∴12，16，20是勾股数，故D选项符合题意. 随堂演练 3.木工师傅要做一个长方形桌面ABCD(要求四个角均为直角)，做好后量得长为12 m，宽为5 m，对角线为13 m，则这个桌面　　　(填“合格”或“不合格”).  解析　∵52＋122＝169＝132， 即AD2＋DC2＝AC2， ∴∠D＝90°， 同理∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴这个桌面合格. 合格 随堂演练 4.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上.若EF＝，则AB，CD，EF三条线段首尾顺次相接　　(填“能”或“不能”)构成直角三角形.  解析　AB，CD，EF三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形. 理由：∵AB2＝42＋22＝20，DC2＝22＋22＝8，EF2＝＝28， ∴AB2＋DC2＝EF2， ∴AB，CD，EF三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形. 能 随堂演练 本课结束 $