精品解析：安徽省合肥市长丰县2025-2026学年九年级上学期期中抽测数学试卷

2025年秋学期九年级数学学科期中抽测试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出，，，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，由可得，进而推导其他选项，发现选项D不成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 3. 已知y与x成反比例，当x = 3时，y = 4，那么当y = 3时，x的值为（ ）； A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【详解】设 ， ∵当x = 3时，y = 4， ∴k=3×4=12, . ∴当x = -4时，. 故选A. 4. 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A. y＝3x2－5x＋3 B. y＝4x2－12x＋9 C. y＝x2－2x＋3 D. y＝2x2＋3x－4 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：选项A，△=25-36=-11＜0，抛物线与x轴没有交点； 选项B，△=144-144=0，抛物线与x轴有一个交点； 选项C，△=4-12=-8＜0，抛物线与x轴没有交点； 选项D，△=9+32=41＞0，抛物线与x轴有两个交点. 故选D. 5. 若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( ) A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质分析判断即可. 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3， ∴△ABC和△A′B′C′对应边上的高的比为2：3. 故选A. 【点睛】熟知“相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比”是解答本题的关键. 6. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是（1，﹣2） C. 对称轴是直线 x＝﹣1 D. 函数有最小值为 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解；A、由于a＝1＞0，所以开口向上，故A错误． B、由二次函数y＝(x﹣1)2+2可知顶点为(1，2)，故B错误． C、由二次函数y＝(x﹣1)2+2可知对称轴为x＝1，故C错误． D、当x＝1时，函数有最小值2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h，k)，对称轴是x=h． 7. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形， A中的位似中心是点C， B中的位似中心是点O， C中的位似中心是点O. 只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像. 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 8. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 9. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A. B. C. AB2＝AC2+BC2 D. BC2＝AC•BA 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴， ∴选项A符合题意， ， ∴选项D不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键． 10. 如图， 二次函数．的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，故A错误； 观察图象得：，， ∴， ∴，故B正确； 观察图象得：当时时，， ∴，故C正确； ∵图象经过点和， ∴，， ∴， ∴，故D正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数的图象如图所示，则时，对应的的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数图象与轴的交点再结合函数图象，即可得出答案． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线与轴的交点分别为、， 又∵该抛物线开口向上， ∴当时，对应的的取值范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合的思想，准确识图是解本题的关键． 12. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案：． 13. 如图，点为等边边中点，连接，取中点，作射线交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作，交于点H，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为__________； （2）若的面积为3，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：（1）点在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为； 把代入，得： 解得： ∴ ∴，， 16. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）直接利用位似图形的性质以C为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】由△OAP是等腰直角三角形得到PA=OA，可以设P点的坐标是（a，a），然后把（a，a）代入解析式求出a=2，从而求出P的坐标，接着求出OA的长，再根据△ABC是等腰直角三角形得到BC=AB，可以设C的纵坐标是b，因而横坐标是b+2，把C的坐标代入解析式即可求出B的坐标． 【详解】解：如图， ∵△OAP是等腰直角三角形 ∴PA=OA ∴设P点的坐标是（a，a） ∵点在函数的图象上， ∴．∴（，舍去）． ∴P的坐标是（2，2） 则OA=2 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴BC=AB ∴设C的纵坐标是b， ∴横坐标是b+2， 把C的坐标代入解析式， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为（，0）． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 18. 如图，，交于点，交于点.已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由平行可得进而可得，由 得，由平行可得，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∵, ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例等相关知识，得出 是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】（1）当时，花园面积最大，为100平方米； （2）当花园面积最大时，的长为8米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； 【小问2详解】 由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 20. 如图，在中，，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证明，从而得，即． （2），由可求出值，再由勾股定理即可求出CD的长． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． （2）∵，， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理，可得． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握三角形相似的判定和性质进行推理证明是解答本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； （2）已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； （3）若，试求函数的最小值． 【答案】（1）完全平方公式 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【小问1详解】 解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若正方形的边长为4， ①当取最大值时，的长为多少？ ②试确定的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①2；②． 【解析】 【分析】（1）通过证明可得出，，即可得证； （2）①设，，由（1）知可得出y关于x的解析式并化为顶点式，即可求出答案； ②过点作于点，通过证明可求得取值范围． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，， ∴． （2）解：①设，， ∴． 由（1）知， ∴．即． ∴． ∵， ∴当时，y有最大值1， 即当取得最大值时，的长为2． ②如图．过点作于点． ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴当点与点重合时，长最小，此时长为4； 当点与点重合时，长最大，此时长为． ∴．（答案写成也可以）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的性质以及二次函数的有关知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 设二次函数（，为常数），且． （1）若该二次函数的图象过点，求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点，探究实数，满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：，，，，试求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入二次函数解析式得到，结合求出，的值，即可解题； （2）根据得到，将其代入二次函数解析式整理得到，进而推出二次函数图象过定点，将定点代入一次函数，并结合求解，即可解题； （3）根据，在二次函数的图象上，得到，进而得到，再同样根据，在二次函数的图象上，得到，进而推出，对其进行整理求解，即可解题． 【小问1详解】 解：该二次函数的图象过点， ， ， 由得：， 解得， 将代入②中，得， 解得， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ， 将其代入二次函数中有， ， 当时，， 即二次函数的图象过定点， 一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点， ， ， ， 整理得； 【小问3详解】 解：二次函数的图象上有四个不同的点：，，，， ， ， ， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期九年级数学学科期中抽测试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出，，，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知y与x成反比例，当x = 3时，y = 4，那么当y = 3时，x的值为（ ）； A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 4. 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A. y＝3x2－5x＋3 B. y＝4x2－12x＋9 C. y＝x2－2x＋3 D. y＝2x2＋3x－4 5. 若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( ) A. 2∶3 B. 3∶2 C. 4∶9 D. 9∶4 6. 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是（1，﹣2） C. 对称轴是直线 x＝﹣1 D. 函数有最小值为 2 7. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A. B. C. AB2＝AC2+BC2 D. BC2＝AC•BA 10. 如图， 二次函数．的图象经过点和，与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数的图象如图所示，则时，对应的的取值范围为______． 12. 如果，那么_____． 13. 如图，点为等边边的中点，连接，取中点，作射线交于点，则__________． 14. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接； （1）的值为__________； （2）若面积为3，则的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 16. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，，均是等腰直角三角形，点，在反比例函数的图象上，直角顶点，均在轴上，求点的坐标． 18. 如图，，交于点，交于点.已知，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20. 如图，在中，，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数最小值为4． 根据上面回答下列问题 （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； （2）已知，则函数最小值为_____，此时的值为_____； （3）若，试求函数的最小值． 七、（本题满分12分） 22. 如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点． （1）若点是的中点，求证：； （2）若正方形的边长为4， ①当取最大值时，的长为多少？ ②试确定的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 设二次函数（，为常数），且． （1）若该二次函数图象过点，求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（为常数，）的图象也经过这个定点，探究实数，满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：，，，，试求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $