21.3一元二次方程的判别式(1)学案2025- 2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的判别式，通过课前预习配方法解方程衔接旧知，交流预习任务引出判别式概念，构建学习支架，明确了解概念及不解方程判定根的情况的学习目标。 资料以“预习-归纳-应用”为主线，通过例题解析与分层练习覆盖基础到综合证明，培养学生推理意识与模型意识，助力学生用数学思维推导判别式逻辑，用数学语言解决方程根的判定问题，提升自主学习与问题解决能力。

一元二次方程的判别式（1） 一、学习目标 1.了解一元二次方程的判别式的概念； 2.不解方程能判定一元二次方程根的情况． 二、课前预习 阅读课本P78-79完成下列任务 1. 用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0). 2. 不解方程判别根的情况 (1)64x²-5x-4=0; (2)-x²-3x+9=0; (3)0.2x²+0.6x+0.05=0; (4)3x(x-2)=-7; (5)9x²=4(3x-1); (6)x²-2x+1=0. 三、新课学习 1.一元二次方程判别式的概念 交流预习任务1用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0). 配方整理得 . 讨论一元二次根的情况 归纳：我们把b²-4ac叫作该一元二次方程的_______，通常用符号“△”(读作“/'deltɔ/”)来表示，记作____________. 对一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0): 当△=b²-4ac>0时，方程_______________实数根； 当△=b²-4ac=0时，方程_______________实数根； 当△=b²-4ac<0时，方程_________________实数根. 上述判断反过来说也是正确的，即 当方程有两个不相等的实数根时，△_______; 当方程有两个相等的实数根时，△_______; 当方程没有实数根时，△_______; 2.不解方程判定一元二次方程实数根的情况 例1  不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）4x2－5x－3＝0； （2）2y2＋3＝4y； （3）2x2+3＝2x 例2关于x的方程x²+(m—1)x—m=0(m是实数)一定有实数根吗?为什么? 挑战自己： 1.不解方程，判别下列方程实数根的情况： （1）3x2+4x－2=0； （2）2y2+5=6y； （3）4p(p－1)－3＝0； （4） (x－2)2＋2(x－2)－8＝0； （5） 2关于x的方程mx2+（m+1）x+1=0(m)一定有实数根吗？为什么？ 四、课内练习 1．不解方程，判别下列方程实数根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y； (3)5(x2+1)－7x＝0． (4)a2x2－ax－1＝0（a≠0） (5)(2m2＋1)x2－2mx＋1=0． (6)x2 +2kx+k2=0 2．下列一元二次方程有实数根的是 ( ) A．x2＋x＋1=0 B．x2－2x＋3=0 C．x2＋x－1=0 D．x2＋4=0 3．方程x2－3x＋1=0的根的情况是 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 4．试判别方程x2＋2mx＋m－1=0 的根的情况； 五、课后练习 1.判断下列语句是否正确，正确的在括号里打“√”,错误的在括号里打“×”: (1)方程x²-8=0有两个相等的实数根；( ) (2)方程5x²=-2x没有实数根；( ) (3)如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，那么△>0;( ) (4)如果a、c异号，那么关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根.( ) 2.关于x的一元二次方程x²+px+q=0的判别式是________; 3．一元二次方程x2+2x+4=0根的情况是 A．有一个实数根 B．没有实数根 ( ) C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．一元二次方程,若与异号，则方程 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法判断． 5．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是 ( ) A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 （ 　 ） A．x2+4＝0　 　B．4x2-4x+1=0 C．x2+x+3＝0　 　D．x2+2x-1=0 7． 不解方程，判别方程根的情况； （1）2x2+3x－4=0 （2）16y2+9=24y （3）5(x2+7)－x=0 （4）0.2x2－5=x （5）3x2+4x－2=0 （6）2y2+5=6y （7）4p(p－1)－3=0 （8）x2+5=2x 8．设关于x的方程 证明：不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 9.求证：方程必有实根 10. 已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0． 求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． 11．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：方程无实数根． 12.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k- 12）=0． （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $