广东省佛山市顺德区2026届高三上学期教学质量检测（一）数学试题

2025学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 5 B. 7 C. D. 4. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 5. 某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（ ） A. 不存在最大值 B. C. D. 8. 已知数列是公比为2的等比数列，且．集合，集合的元素个数构成数列，则数列的前100项的和为（ ） A. 480 B. 642 C. 840 D. 5050 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 采购经理指数（PurchasingManagers＇Index，简称PMI）：是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用．PMI涵盖着生产与流通､制造业与非制造业等领域，分为制造业PMI､服务业PMI．制造业PMI指数在以上，反映制造业总体扩张；低于，通常反映制造业衰退．下图为我国制造业采购经理指数（PMI）变化趋势图，则下列说法正确的是（ ） A. 根据上图可知有一半的月份我国的制造业总体在扩张 B. 这13个月的PMI值的平均数不超过 C. 这13个月的PMI值的中位数是 D. 2025年1-4月的PMI的方差小于2025年5-8月的PMI的方差 10. 已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 的内心与外心可能重合 C. 当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D. 设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意实数，函数都存在三个零点 B. 存在实数使得直线是函数的切线 C. 对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D. 当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空2分，第二个空3分． 12. 已知的展开式的所有系数之和为，则__________． 13. 在中，角所对的边分别为．其中，当__________．（填一个符合条件的答案即可）时，有唯一解． 14. 已知函数，其零点个数为__________，函数，则函数与函数的所有零点之和为__________． 四､解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 16. 已知函数的最大值为1． （1）求使成立的的集合； （2）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． （1）求椭圆的方程； （2）证明：点到直线的距离是定值； （3）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）设，求的零点并判断的单调性； （2）若，且，证明： （i）； （ii）． 2025学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空2分，第二个空3分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一）. 【14题答案】 【答案】 ①. 10 ②. 100 四､解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）， 所以. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）因为底面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，为的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，平面，， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：依题意，可设直线的方程为，， 由，消去，整理得， 可得， 设，则， 因，则 ， 去分母得， 化简得. 则点到直线的距离为，为定值. （3） 【19题答案】 【答案】（1）的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $