江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

苏州工业园区星海实验中学2022-2023学年第二学期初一数学 期中考试试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请填在答题纸相对应的位置上） 1.下列图形中，把△ABC平移后能得到△DEF的是（ ） A. B. C. D. 2.三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（ ） A.15 B.21 C.8 D.9 3.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5.若，，，．则（ ） A.b＜a＜d＜c B.a＜b＜c＜d C.a＜c＜b＜d D.a＜b＜d＜c 6.下列命题中，真命题有（ ）个 ①同旁内角相等，两直线平行； ②若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④三角形的三条高至少有一条在三角形内部； ⑤△ABC在平移过程中，对应线段一定是平行的． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF＝（ ） A.10° B.12° C.15° D.18° 8.如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ） A.2S B.S C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小空格2分，共16分．请填在答题纸相对应的位置上） 9.“春有约，花不误，年年岁岁不相负．”苏州工业园区星海实验中学的空中花园鲜花盛放，数郁金香最为耀眼，某品种郁金香花粉直径约为0.000000032米，则数据0.000000032用科学记数法表示为______． 10.已知：，，则的值是______． 11.计算：______． 12.已知a＋b＝1，则代数式的值为______． 13.若是完全平方式，x＋n与x＋2的乘积中不含x的一次项，则的值为______． 14.如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1＋∠2＝115°，则∠EMF的度数是______度． 15.如图，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为______度． 16.如图，点C为直线AB外一动点，AB＝5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为6时，线段AC长度的最小值为______． 三、解答题（本大题共68分） 17.计算 （1） （2） （3） 18.把下列各式因式分解 （1） （2） （3） 19.先化简，再求值：，其中． 20.已知a＋b＝11，ab＝1，求的值． 21.若x满足，求的值． 22.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点，点、分别是B、C的对应点． （1）请画出平移后的，则的面积为______； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是______； （3）画出△ABC的高CE，标出垂足E； （4）在方格纸中，能使的格点P的个数有______个． 23.如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．∠DOB＝50°，求∠GOC的度数． 24.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． （1）【解决问题】数53______“完美数”（填“是”或“不是”）； （2）【探究问题】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； （3）【拓展结论】已知实数x，y满足，求x－2y的最大值． 25.（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由； （2）如图2，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝50°，射线AB、CD分别绕点A、点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t． 26.如图1，已知∠MON＝76°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上异于点O的动点． （1）在图1中连接AB，若AB∥OC，则∠ABE的度数为______°； （2）如图2，连接AC，若射线AB平分∠MAC，则∠ABO与∠ACO的数量关系是______； （3）如图3，连接AC交射线OE于点D（不与点B重合），当AB⊥OM且△ADB中有两个角相等时，求∠OAC的度数． 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请填在答题纸相对应的位置上） 1.【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等解答． 【详解】解：由图可知，只有A选项△ABC平移后，才能得到△DEF． 故选：A． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 2.【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：设此三角形第三边长为x， ∵三角形的两边长分别是9、17， ∴17－9＜x＜17＋9， ∴8＜x＜26， 观察四个选项，此三角形的第三边的长不可能是8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3.【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：A、，故原题计算错误； B、，故原题计算正确； C、，故原题计算错误； D、，故原题计算错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是掌握各计算法则． 4.【答案】C 【解析】 【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得． 【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D、等式右边中的不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 5.【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂、零次幂进行计算，然后判断大小即可求解． 【详解】解：∵，，，． ∴，，c＝4，d＝1． ∴a＜b＜d＜c． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂、零次幂，正确的计算是解题的关键． 6.【答案】A 【解析】 【分析】①根据平行线的判定方法进行判断；②举反例即可判断；③根据平行线的性质进行判断即可； ④根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各边上的高线情况进行判断即可；⑤根据平移的方向进行分类判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行所以结论错误，是假命题；②如a＝1、b＝5、c＝2，满足1＋5＞2，但a、b、c为边不能组成三角形，所以结论错误，是假命题；③两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，所以结论错误，是假命题；④锐角三角三条高线都在内部，直角三角形和钝角三角形都有一条高线在三角形的内部，所以结论正确，是真命题；⑤对应线段也可能在同一条直线上，所以结论错误，是假命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了判定命题的真假，熟练掌握平行线的性质，三角形的三边关系，平移的性质，三角形的高线是解题的关键． 7.【答案】C 【解析】 【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠CFG＝120°，进而得出∠GFD＝30°，∠EFG＝15°，根据FG∥AG，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD，∴FG∥AB∥CD， ∵∠FCD＝60°， ∴∠CFG＝180°－∠FCD＝120°， ∵∠CFD＝90°， ∴∠GFD＝∠CFG－∠DFC＝120°－90°＝30°， ∵∠EFD＝45°， ∴∠EFG＝∠EFD－∠GFD＝45°－30°＝15°， ∵FG∥AG， ∴∠AEF＝∠EFG＝15°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，三角板中的角度计算，数形结合是解题的关键． 8.【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的特征分析出大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积，再通过等底、等高的三角形面积相等，分析出，，进而推出阴影部分面积为，找出与长方形HIFG的面积的倍数关系即可得到答案． 【详解】解：如图，在大正方形ABCH与小正方形EBDF的背景下， ∴长方形IEBC和长方形ABDG面积相等， ∴大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积， 又∵，， ∴阴影部分面积为， 又∵长方形HIFG的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的特征和等积转化，学会等积转化是解题关键．总结：等底、等高的三角形面积相等；等高的三角形，面积比等于底之比；等底的三角形，面积比等于高之比． 二、填空题（本大题共8小题，每小空格2分，共16分．请填在答题纸相对应的位置上） 9.【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000032用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10.【答案】16 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为16． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 11.【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 12.【答案】10 【解析】 【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得a＋b＋9，即可求解． 【详解】解： 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 13.【答案】－8或－2 【解析】 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴或， ∵x＋n与x＋2的乘积中不含x的一次项，， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，， 则或－2． 故答案为：－8或－2． 【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 14.【答案】50 【解析】 【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180°进行计算，得到△EFM中除∠EMF外的两个角度和，最后有三角形内角和180°得到∠EMF． 【详解】∵长方形纸条， ∴AD∥BC， ∴∠DEG＝∠1，∠AFH＝∠2， 由折痕EG，FH得到∠DEG＝∠GEM＝∠1，∠AFH＝∠MFH＝∠2， ∵∠FEM＋2∠1＋∠EFM＋2∠2＝360°， ∴， ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键． 15.【答案】72 【解析】 【分析】先求出四边形，五边形，六边形的内角，再求出∠4＋∠6＝150°，∠2＋∠4＋∠1＋∠6＝222°，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：四边形每个内角为90°，五边形每个内角为108°，六边形每个内角为120°， ∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°－60°－90°＝30°， ∴∠4＋∠6＝180°－30°＝150°， ∵∠2＋∠4＝180°－90°＝90°，∠1＋∠6＝360°－108°－120°＝132°， ∴∠2＋∠4＋∠1＋∠6＝90°＋132°＝222°， ∴∠1＋∠2＝222°－150°＝72°， 故答案为72． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解题目中的数量关系是关键． 16.【答案】 【解析】 【分析】如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H， ∵点D、E分别是AB、BC的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴AC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共68分） 17.【答案】（1）9 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据有理数的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂的运算法则，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求解； （2）首先进行积的乘方运算，再进行整式的混合运算，即可求解； （3）根据完全平方公式及平方差公式，进行运算，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂的运算，积的乘方运算，整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 18.【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用提公因式法即可求解； （2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （3）利用十字相乘法即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19.【答案】5 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 20.【答案】－17 【解析】 【分析】将去括号，再将a＋b＝11和ab＝1代入即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 21.【答案】12 【解析】 【分析】设7－x＝a，x－5＝b，再表示出ab，a＋b，然后根据，代入计算即可． 【详解】解：设7－x＝a，x－5＝b， 所以，， 则． 所以． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用等，掌握整体代入思想是解题的关键． 22.【答案】（1）图见解析，3.5 （2）平行且相等 （3）见解析 （4）4 【解析】 【分析】（1）根据点A与点的位置变换确定平移的方向与距离，再利用网格特点作出B、C的对应点、，然后利用矩形的面积减去直角三角形的面积去计算的面积； （2）根据平移的性质进行判断； （3）先过B点作AB的垂线得到格点M，然后把BM平移到CN的位置，则CN与AB的交点即为E点； （4）利用等高模型解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 故答案为：3.5； 【小问2详解】 解：如图，连接，，则与平行且相等． 故答案为：平行且相等； 【小问3详解】 解：如图，点CE为所作； 【小问4详解】 解：如图，在方格纸中，能使的格点P有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了作图－平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，也考查了三角形的面积． 23.【答案】∠GOC＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，结合角平分线的性质得到∠DAC＋∠FCA＝90°－∠EBC，再根据OG⊥BC可推算出∠DAC＋∠FCA＝∠GOB，结合三角形的外角得到∠DOC＝∠GOB，从而推算出∠GOC＝∠DOB． 【详解】解：∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°， ∴2∠DAC＋2∠FCA＋2∠EBC＝180°， ∴∠DAC＋∠FCA＝90°－∠EBC， ∵OG⊥BC， ∴∠EBC＋∠GOB＝90°， ∴∠DAC＋∠FCA＝∠GOB， ∵∠DOC＝∠DAC＋∠FCA， ∴∠DOC＝∠GOB， ∴∠GOC＝∠DOB， ∴∠GOC＝50°． 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是结合角平分线的性质和三角形内角和定理推算出∠DAC＋∠FCA＝90°－∠EBC． 24.【答案】（1）是 （2）k＝36； （3）x－2y的最大值为2． 【解析】 【分析】（1）把53分为两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （3）由已知等式表示出y，代入x－2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：． ∴数53是“完美数”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：当k＝36时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S是完美数， ∴是完全平方式， ∴k＝36； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴ ， 当x＝2时，x－2y最大，最大值为2． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25.【答案】（1）光线a与光线b平行，理由见解析；（2）存在，当t＝5秒或95秒时，CD与AB平行． 【解析】 【分析】（1）由邻补角的定义可求得∠5＝∠6，从而可求得∠ABC＝∠BCD，即可判定AB∥CD； （2）分两种情况：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：（1）光线a与光线b平行，理由如下： 如图， ∵∠3＝∠4，∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，即∠ABC＝∠BCD， ∴AB∥CD，即光线a与光线b平行； （2）存在．分两种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝120°，∠DCF＝50°， ∴∠ACD＝180°－50°－3°t＝130°－3°t，∠BAC＝120°－t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即130°－3°t＝120°－t°， 解得t＝5；不符合题意； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图②， ∵∠BAF＝120°，∠DCF＝50°， ∴∠DCF＝360°－3°t－50°＝310°－3°t，∠BAC＝120°－t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即310°－3°t＝120°－t°， 解得t＝95°， 此时，，符合题意； 综上所述，存在，当t＝5秒或95秒时，CD与AB平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 26.【答案】（1）142 （2） （3）∠OAC的度数为14°或38°或26°． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质求得∠BOC，再根据平行线的性质求得∠ABO，再根据补角性质求得结果； （2）根据角平分线的定义及三角形外角的性质得出，再由三角形外角的性质即可求得； （3）由直角三角形的两锐角互余求得∠ABO，再分三种情况：当∠ABD＝∠ADB时，当∠ABD＝∠BAD时；当∠ADB＝∠BAD时，分别求得结果便可． 【小问1详解】 解：∵∠MON＝76°，OE平分∠MON， ∴， ∵AB∥OC， ∴∠ABO＝∠BOC＝38°， ∴∠ABE＝180°－∠ABO＝180°－38°＝142°． 故答案为：142； 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°， ∵， ∴∠ABO＝90°－38°＝52°， 当∠ABD＝∠ADB时，∠OAC＝∠ADB－∠AOD＝52°－38°＝14°； 当∠ABD＝∠BAD时，∠OAC＝90°－∠BAD＝90°－52°＝38°； 当∠ADB＝∠BAD时，， 则∠OAC＝90°－∠BAD＝90°－64°＝26°． 故∠OAC的度数为14°或38°或26°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180度，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和． 学科网（北京）股份有限公司 $