二次函数：销售问题、几何问题、拱桥问题、投球问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数：销售问题、几何问题、拱桥问题、投球问题专项训练 二次函数：销售问题、几何问题、拱桥问题、投球问题专项训练 考点目录 销售问题 几何问题 拱桥问题 投球问题 考点一 销售问题 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． (1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? (3)在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 【答案】(1) (2)销售价格为75元时，销售利润最大，最大值为625元 (3)见解析 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为． 将，代入得：， 解得，即； （2）解：由于每件足球的利润为， 所以每天的利润为：， 则当时，w取得最大值625， 答：销售价格为75元jf ,销售利润最大，最大值为625元； （3）解：如图，所以每件足球的销售价格x为时，w每天的销售利润在400元以上． 例2．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元 【详解】（1）解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； （2）解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 例4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求关于x的函数表达式． (2)当销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时．糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 【详解】（1）解：设， 将，代入， 解得 ； （2）解：设日销售利润为w元． 则可得 ， ∵， ∴，即， 当时，w取最大值为400， 答：糖果销售单价定为20元时，所获日销售利润最大，最大利润是400元． 变式1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式． (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润为800元 【详解】（1）解：设书店一天可获利润y元，每套书降价x元时， 则， ∴． （2）解：， ∵， ∴当时，y有最大值为800， 即当每套书降价10元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为800元． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)求每月利润与的函数关系式； (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 【详解】（1）解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，销售单价为元， 所以月销量（件） （2）解：由题意得； （3）解：∵，， ∴当时，有最大值为， 故当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每月可卖出300件．市场调查表明：售价每上涨1元，月销量减少10件． (1)设售价上涨x元，求月销量y（件）与x的函数关系式； (2)求当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为65元时，月利润最大，最大利润是6250元 【详解】（1）解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为300件，售价上涨x元， 所以月销量， ∵， ∴． ∴， ∴； （2） ， ∴当 时，w 最大． ∴最大利润 元 ， ∴售价：元． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）祁门红茶是安徽名茶之一．某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现，其日销售量与售价x元之间的函数关系如图所示． (1)y与x之间的函数表达式为 ； (2)设日利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出最大日利润； (3)若公司想获得不低于2000元的日利润，求售价x的范围． 【答案】(1) (2)，最大日利润为2450元 (3) 【详解】（1）解：设函数表达式为， 将代入解析式得， 解得， ∴函数表达式为， 故答案为：； （2）解：根据题意得， ， 因为，所以当时，w取得最大值2450，即最大日利润为2450元； （3）解：当时，解得 ， 因为，所以公司想获得不低于2000元的日利润，售价x的范围为． 考点二 几何问题 例1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大值为800 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 例2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】(1) (2)最大为75平方米 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 例3．（25-26九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，S取得最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故 （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元 【详解】（1）解：， 即花圃的面积为； （2）解：∵通道面积与花圃面积之比等于， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 即此时通道的宽； （3）解：设修建通道和花圃的总造价为w元，根据题意得： ， ∵修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米， ∴， ∵， ∴当时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 即通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元． 变式1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，用一根长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成矩形花圃，中间有三道篱笆，均平行于墙．设边的长为． (1)若围成的花圃的面积为，求边的长； (2)当取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S取得最大值，此时花圃的面积是 【详解】（1）解：∵该花圃的边的长为，则的长为， 由题意，得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴的长是； （2）设花圃的面积为S，则． ， ∴当时，S取得最大值，此时花圃的面积是． 变式2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． （2）①当时，如图1，； ②当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． （3）当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 变式3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：分以下两种情况： 当点P在上时，根据题意得， ∴； 当点P在上时，根据题意得， ∴． 综上，或； （2）解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， 当点P、Q相遇时，， 解得， 分以下两种情况： 当点P在上时，， 根据题意得，，， ； 当点P在上时，，，， ． 综上所述，S与t的函数关系式为； （3）解：当点P在上时，令， 解得或； 当点P在上时，令， 解得（不符合舍去）， 综上，t的值为或． 变式4．（25-26九年级上·上海·期中）在四边形中，，，，，点在线段上，连接，过点作，与交于点，设的长为． (1)当时，求线段的长； (2)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点三 拱桥问题 例1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 【答案】图象见解析；二次函数； （1）0.88；（2）；（3）米 【详解】解：图象如下： 由此可得是关于的二次函数． 故答案为：二次函数． （1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米． 例2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】(1) (2)该大桥拱内实际桥长为388米 【详解】（1）解：由图知，该抛物线经过点，，， 点为抛物线的顶点， 可设， 代入点，得， 解得， 图（2）中这条抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解方程得，， （）． 根据大桥截面的比例为，可得（）． 该大桥拱内实际桥长为388米． 例3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上． (1)求门拱所在抛物线的解析式； (2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）． 【答案】(1) (2)这两个钢笔造型的建筑的高度为 【详解】（1）解：由题意垂直平分，， ， ， 且 ， ∴， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； （2）∵， ∴对称轴为轴， 由题意，关于对称轴对称， ∴， 当时，； 故这两个 钢构造型的建筑的高度为． 例4．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 变式1．（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 变式3．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能顺利通过隧道，理由见解析 (3)能顺利通过隧道，理由见解析 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点坐标为，点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 当时，， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； （3）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接， ∵为弧的中点， ∴，， 又由题意可得，， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ，， ， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 考点四 投球问题 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． (1)求石弹运行的函数关系式； (2)若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 例2．（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析； (3) 【详解】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 例3．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】(1) (2)足球能越过人墙，能直接射进球门，理由见解析 【详解】（1）解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； （2）解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 例4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 【答案】(1) (2)这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物，理由见解析 【详解】（1）∵当石子运动到距小明时，达到了最大高度， ∴根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）将代入， 将代入 ∴这个石子在此次飞行过程中，能越过障碍物． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩达标，理由见解析 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴着陆点的坐标为， ∵， ∴该运动员的成绩达标． 变式2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 变式3．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)，能够投中； (2)能够盖帽拦截成功． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中； （2）解：当时，， 能够盖帽拦截成功． 变式4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：销售问题、几何问题、拱桥问题、投球问题专项训练 二次函数：销售问题、几何问题、拱桥问题、投球问题专项训练 考点目录 销售问题 几何问题 拱桥问题 投球问题 考点一 销售问题 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，某足球供销商以每件50元的价格购进一批足球，销售中发现这种足球每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）近似满足一次函数关系，其图象如图所示，且销售这种足球不会低于成本价． (1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求该供销商每天销售这种足球的销售利润w与x之间的函数关系式并求出当销售价格x为何值时，销售利润w的值最大，最大值是多少? (3)在网格坐标系中画出w关于x的函数的大致图象，再利用图象分析每件足球的销售价格在什么范围内时，每天的销售利润在400元以上． 例2．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 例3．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 例4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求关于x的函数表达式． (2)当销售单价不低于进价，且日销售量至少40盒时．糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 变式1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式． (2)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 变式2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． (1)求与的函数关系式； (2)求每月利润与的函数关系式； (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 变式3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某商场销售一种商品，进价为每件40元．当售价为每件60元时，每月可卖出300件．市场调查表明：售价每上涨1元，月销量减少10件． (1)设售价上涨x元，求月销量y（件）与x的函数关系式； (2)求当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）祁门红茶是安徽名茶之一．某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现，其日销售量与售价x元之间的函数关系如图所示． (1)y与x之间的函数表达式为 ； (2)设日利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出最大日利润； (3)若公司想获得不低于2000元的日利润，求售价x的范围． 考点二 几何问题 例1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，用总长为75米的篱笆围成一个矩形场地，其中边靠墙（墙足够长），边有一部分靠墙（墙米），靠墙部分不需要篱笆；设长为x米，矩形场地面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示和的长． (2)求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值． 例2．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 例3．（25-26九年级上·天津北辰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 变式1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，用一根长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成矩形花圃，中间有三道篱笆，均平行于墙．设边的长为． (1)若围成的花圃的面积为，求边的长； (2)当取何值时所围成的花圃的面积最大？最大面积是多少？ 变式2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 变式3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 变式4．（25-26九年级上·上海·期中）在四边形中，，，，，点在线段上，连接，过点作，与交于点，设的长为． (1)当时，求线段的长； (2)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 考点三 拱桥问题 例1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 例2．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 例3．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图为某学校大门的示意图，门拱的形状可以近似地看作抛物线，将门拱底部与地面的交点记为、，最高点记为点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组的成员测得，，，且于点，点在此抛物线上． (1)求门拱所在抛物线的解析式； (2)线段和线段分别表示大门两侧的钢笔造型的建筑（点、在轴上，点、在抛物线上，该造型建筑物的宽度忽略不计）．已知与等高，、均垂直于轴，且与之间的水平距离为，求这两个钢笔造型的建筑的高度（即线段和线段的长）． 例4．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 变式1．（2024·福建三明·模拟预测）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 变式2．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 变式3．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 考点四 投球问题 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． (1)求石弹运行的函数关系式； (2)若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 例2．（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 例3．（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 例4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏（确保安全），打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石子，石子在距离小明5m远的水面重新弹了起来，当石子运动到距小明时，达到了最大高度，以小明所在的位置为原点，水面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距小明的水平距离，是石子距水面的高度．（小明所在地面、水面在同一平面内，且石子形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)求抛物线的解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若在水面上有一个截面宽，高的矩形障碍物（浮力忽略不计），，这个石子在此次飞行过程中，能否越过障碍物？并说明理由． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 变式2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 变式4．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $