二次函数：销售问题、面积问题、动态几何问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

二次函数：销售问题、面积问题、动态几何问题专项训练 二次函数：销售问题、面积问题、动态几何问题专项训练 考点目录 销售问题 面积问题 动态几何问题 考点一 销售问题 例1．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【详解】（1）解：由题意，得，即； （2）由题意，得． （3）， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 例2．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ (3)降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)降价元时，商家每星期获得利润5280元 (3)降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元 【详解】（1）①每件商品的利润为元， 故答案为：； ②每星期卖出商品的件数为：， 故答案为：； （2）设每件商品降价元，依题意得： 关于的函数关系式是：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：降价元时，商家每星期获得利润5280元． （3）解：设总利润为，依题意得： ， ∴， 当时，取得最大值6750，此时售价为（元， 答：降价元才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元． 例3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与的函数解析式为； (2)销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得：，解得：， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； （2）解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店购入一批进价为10元/个的商品进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价，且日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． (1)直接写出y与x的函数表达式； (2)当商品销售单价定为多少元时，可使日销售利润最大，且最大利润是多少？ (3)要使得销售利润不低于1500元，则销售单价应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)单价为30元时，最大利润为1600元 (3) 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，则有 ，解得， 故y与x的函数表达式为； （2）解：设利润为元，则有 ∵函数图象开口向下，对称轴为：直线 ∴当时，． 答：销售单价定为30元时，可使日销售利润最大，最大利润为1600元； （3）解：令，则， 解得，， ∵， ∴， 答：销售单价应控制在元范围内． 变式1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 (1)求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； (2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（）； (2)每辆汽车的定价为万元，平均每周的利润最大，最大利润为万元． 【详解】（1）由题意得：， ∴（）； （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元， 则 ， ∴时，S最大为50． ∵（万元）， ∴每辆汽车的定价为万元时，销售利润最大，最大利润为50万元． 变式2．（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 变式3．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克． 根据题意得，， 因为， 所以当时，有最大值， 答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元． 变式4．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元．经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元），满足一次函数关系，部分数据如表所示： 售价（元／千克） 50 60 70 销售量（千克） 100 80 60 (1)求与之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 【答案】(1) (2)售价为65元时获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：设， 将代入得：  ，   解得：， ． （2）解：由题意可得：， ， ∴当时，随着的增大而增大， 当时，最大， ∴W的最大值为， 答：售价为65元时获得最大利润，最大利润是元． 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）∵， ∴， ∴将，代入得， 解得 ∴； （2）当时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， 解得或 ∴点P的坐标为或； 当时， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为 综上所述，符合要求的点P的坐标为或或． 例3．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 例4．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 变式1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标是，面积的最大值是． 【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）解：如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 当时，， 点的坐标是． 变式3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，抛物线，经过，，三点． (1)求抛物线的函数关系式，并求出顶点坐标； (2)在直线上方的抛物线上求一点，使的面积最大，并求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）把点，，代入中， ， 解得， ， 二次函数顶点坐标为， ，， 顶点坐标为． （2）点的位置如图所示，过点作轴交于， 设直线的解析式为， ，， ， ， 点在抛物线上面， 设， 轴，且点在直线上面， ， ， 延长交轴于点，过点作， 则，， ， ， ， 当时，的面积最大为， ， ， ． 变式4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．          (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． （3）解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 考点三 动态几何问题 例1．（25-26九年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：，， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 例2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当为时，的长度等于； (3)当时，的面积有最大值，为． 【详解】（1）解：设运动时间为秒（），由题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴当为时，的长度等于； （3）解：存在的值，使的面积最大， 理由：由（）得，，， ∵当点运动到点时，两点停止运动 ∴， 设的面积为， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)点P运动开始后第或秒时，的面积等于 (2)点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由题意可得：，， ∴， 则， 解得：，， ∴点P运动开始后第或秒时，的面积等于； （2）解：设点P运动开始后第秒时，的面积等于， 由（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为， ∴点P运动开始后第秒时，的面积最大，最大面积为． 例4．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 变式1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)秒或秒 (2)，时，的值最小 (3)，结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于则： ，， 所以，即， 解得：或， 即经过秒或秒，的面积等于． （2）解：根据（1）中所求出的， 整理得． 则， ∴ 当时，， 故当秒，五边形的面积最小，最小值是， （3）解：， ， ， 结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 【答案】(1)运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． (2) (3)或 【详解】（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么． 由题意可得：，解得：或4． 所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解：根据题意，得， 所以． （3）解：由题意可得：，即， ∵， ∴或， ∴对于不等式，对应的方程的根为或， ∴的解集为或， ∵， ∴或． 变式3．（19-20九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，y有最大值是；即面积的最大值是 【详解】（1）证明：过E作，交于M，交于N，则， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：在中，由勾股定理得：， E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动， ，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 当时，y有最大值是；即面积的最大值是． 变式4．（25-26九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 【答案】(1) (2)当秒时,的长度等于 (3)①；②2；48． 【详解】（1）解：∵，点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴当秒时,的长度等于； （3）解：①根据题意得，，，，，，， ∴ ， 故答案为：； ②由①可知，， ∵， ∴当秒时，取得最小值，最小值为， 故答案为：2，48． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：销售问题、面积问题、动态几何问题专项训练 二次函数：销售问题、面积问题、动态几何问题专项训练 考点目录 销售问题 面积问题 动态几何问题 考点一 销售问题 例1．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 例2．（25-26九年级上·天津滨海新·期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元． (1)当商品降价元时，用含的代数式表示下列各量． ①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件． (2)降价多少元时，商家每星期获得利润5280元？ (3)降价多少元才能使每星期的利润最大，其最大值是多少？ 例3．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店购入一批进价为10元/个的商品进行销售，经市场调查发现，销售单价不低于进价，且日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． (1)直接写出y与x的函数表达式； (2)当商品销售单价定为多少元时，可使日销售利润最大，且最大利润是多少？ (3)要使得销售利润不低于1500元，则销售单价应控制在什么范围内？ 变式1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 (1)求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； (2)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 变式2．（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 变式3．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 变式4．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元．经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元），满足一次函数关系，部分数据如表所示： 售价（元／千克） 50 60 70 销售量（千克） 100 80 60 (1)求与之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)求的面积． 例2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，O为原点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上的一点，连接，，若，求符合要求的点P的坐标． 例3．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 例4．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，抛物线，经过，，三点． (1)求抛物线的函数关系式，并求出顶点坐标； (2)在直线上方的抛物线上求一点，使的面积最大，并求出点的坐标． 变式4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 动态几何问题 例1．（25-26九年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 例2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： (1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于； (2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积． 例4．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 变式2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 变式3．（19-20九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 变式4．（25-26九年级上·四川达州·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边终点以速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空： ______；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，，记的面积为． ① ______（用含的代数式表示）； ②当______秒时，的最小值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $